平均化の方法

数学、より具体的には力学系において、平均化法（平均化理論とも呼ばれる）は、時間スケールの分離、すなわち高速振動 と低速ドリフトを含む系を利用する。これは、高速振動を解消し、結果として生じるダイナミクスから定性的な動作を観察するために、所定の時間にわたって平均化を実行することを示唆している。近似解は、低速時間スケールを示すパラメータに反比例して有限時間内に保持される。これは、近似解の良し悪しと、近似解が元の解に近づくために保持される時間との間のトレードオフが存在する、慣習的な問題であることが判明している。

より正確には、システムは位相空間変数の次の形式を持ちます 。高速振動は、の 低速ドリフトに対してで与えられます。平均化法は、位相空間の連結されたコンパクトな領域内で の解曲線をの時間に近似する自律動的システムを生成します 。 $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f(x,t,\varepsilon ),\quad 0\leq \varepsilon \ll 1}$$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(y,s,0)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}(y)}$$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle 1/\varepsilon }$

この平均化手法の妥当性の下では、元のシステムの漸近的動作は の動的方程式によって捉えられます。このように、自律動的システムの定性的な方法を使用して、平衡と、遅い多様体や不変多様体などのより複雑な構造、および平均化されたシステムの位相空間における 安定性を分析できます。${\displaystyle y}$

さらに、物理的な応用においては、 の微分方程式の形で与えられる数学モデルを、対応する平均システム に置き換えて、平均システムを使用して予測を行い、その予測を物理的な実験の結果に対してテストすることが合理的または自然なことかもしれない。^[1]${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\dot {y}}}$

平均化法には長い歴史があり、それは天体力学で生じた摂動問題に深く根ざしています（例えば^[2]を参照）。

摂動ロジスティック成長 と平均方程式 を考えてみましょう。平均化法の目的は、一定期間にわたって平均化したときのベクトル場の定性的な動作を伝えることです。これにより、解が時間に対して近似することが保証されます。例外的に、この例では近似はさらに優れており、すべての時間に対して有効です。これについては、以下のセクションで説明します。 $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon (x(1-x)+\sin {t})\quad \quad x\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon y(1-y)\qquad y\in \mathbb {R} .}$$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t={\mathcal {O}}(1/\varepsilon ).}$

ベクトル場は微分可能クラスで（あるいは単に滑らかと言うだけ）であると仮定し、これを と表記する。この時間依存ベクトル場を のべき乗でテイラー級数に展開し、剰余をとする。次の表記を導入する：^[2] ここで は の- 階導関数である。平均化問題を扱うので、一般に はゼロなので、次で与えられるベクトル場が問題となることがわかる。 さらに、次の初期値問題を標準形式 として定義する：^[2]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle f\in C^{r}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+};\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f^{[k+1]}(x,t,\varepsilon )}$ $${\displaystyle f(x,t,\varepsilon )=f^{0}(x,t)+\varepsilon f^{1}(x,t)+\dots +\varepsilon ^{k}f^{k}(x,t)+\varepsilon ^{k+1}f^{[k+1]}(x,t,\varepsilon ),}$$${\displaystyle f^{j}={\frac {f^{(j)}(x,t,0)}{j!}}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle 0\leq j\leq k}$${\displaystyle f^{0}(x,t)}$$${\displaystyle f(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{[1]}(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ).}$$ $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ),\qquad x(0,\varepsilon )=:x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.}$$

連結かつ有界なすべての および について、 およびが存在し、によって与えられる元のシステム（非自律的な動的システム）には 解（ は周期 で周期的であり、有界集合上では両方とも有界）が存在することを考えると、平均化されたシステム （自律的な動的システム） の解がおよびに対してと なる ような定数 が存在することになります。 ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$${\displaystyle L>0}$${\displaystyle \varepsilon \leq \varepsilon _{0}}$$${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,}$$${\displaystyle x(t,\varepsilon )}$${\displaystyle f^{1}\in C^{r}(D\times \mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f^{[2]}\in C^{r}(D\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+};\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle y(t,\varepsilon )}$ $${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}}$$$${\displaystyle \|x(t,\varepsilon )-y(t,\varepsilon )\|<c\varepsilon }$$${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq \varepsilon _{0}}$${\displaystyle 0\leq t\leq L/\varepsilon }$

• この第一近似推定と呼ばれるものには、ベクトル場の平均への縮小と項の無視という2 つの近似があります。${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$
• 初期条件に関する均一性: これを変更すると、およびの推定に影響します。これに関する証明と議論は、J.マードックの本に記載されています。^[3]${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$
• 正則性の縮小: この定理には、リプシッツかつ連続であることのみを要求する、より一般的な形式があります。これはより最近の証明であり、 Sanders ら^[2]で見ることができます。ここで提示されている定理の記述は、近似恒等変換の導入に基づくKrylov-Bogoliubovによって提案された証明フレームワークによるものです。この方法の利点は、無限次元システム (偏微分方程式または遅延微分方程式) などのより一般的な設定に拡張できることです。${\displaystyle f^{1}}$${\displaystyle f^{[2]}}$
• J.ヘイルはほぼ周期的なベクトル場への一般化を提示した。^[4]

クリロフ＝ボゴリュボフは、システムの遅いダイナミクスが漸近解の主要な順序を決定することを認識しました。

それを証明するため、彼らはほぼ恒等変換を提案しました。これは、元のシステムを平均化したシステムに変換する独自の時間スケールでの座標変更であることが判明しました。

1. ほぼ恒等変換の決定: が十分に規則的かつ周期的であると仮定される滑らかなマッピング。提案された座標の変更は によって与えられます。${\displaystyle y\mapsto U(y,t,\varepsilon )=y+\varepsilon u^{[1]}(y,t,\varepsilon )}$${\displaystyle u^{[1]}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x=U(y,t,\varepsilon )}$
2. 平均化理論のホモロジー方程式を適切に解くものを選択してください。${\displaystyle u^{[1]}}$${\displaystyle {\frac {\partial u^{[1]}}{\partial t}}=f^{1}(y,t)-{\bar {f}}^{1}(y)}$
3. 座標の変更により、元のシステムは${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)+\varepsilon ^{2}f_{*}^{[2]}(y,t,\varepsilon ).}$
4. 切り捨てと元の変数との比較による誤差の推定。

平均化技術の歴史の中で、広範囲に研究されてきたシステムのクラスがあり、以下で説明するような意味のある例を与えてくれます。システムのクラスは次のように与えられます。 ここで、は滑らかです。このシステムは、次のように与えられる小さな非線形摂動を伴う線形システムに似ています 。 標準形式とは異なります。したがって、標準形式に明示的に変換する必要があります。^[2]定数法を使用して座標を変更できます。摂動のないシステム、つまり、次のように与えられる システムを見てみましょう。$${\displaystyle {\ddot {z}}+z=\varepsilon g(z,{\dot {z}},t),\qquad z\in \mathbb {R} ,\quad z(0)=z_{0}~\mathrm {and} ~{\dot {z}}(0)=v_{0},}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\\varepsilon ~g(z,{\dot {z}},t)\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {z_{1}}}&=z_{2},&z_{1}(0)&=z_{0}\\{\dot {z_{2}}}&=-z_{1}+\varepsilon g(z_{1},z_{2},t),&z_{2}(0)&=v_{0},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varepsilon =0}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {z_{1}}}\\{\dot {z_{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}}$$

これは回転に対応する基本解を 持ちます。すると、時間依存の座標変化は、標準形式に対応する座標です 。${\displaystyle \Phi (t)=e^{At}}$${\displaystyle z(t)=\Phi (t)x}$${\displaystyle x}$

両辺の時間微分をとり、基礎行列を逆にすると、 $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon e^{-At}{\begin{bmatrix}0\\~{\tilde {g}}(x,{\dot {x}},t)\end{bmatrix}}~{\text{ with }}~{\tilde {g}}(x,{\dot {x}},t)=g(\cos(t)x(t)+\sin(t){\dot {x}}(t),-\sin(t)x(t)+\cos(t){\dot {x}}(t),t).}$$

• 同じことが時間依存の線形部分に対しても行えます。基本的な解を明示的に記述するのは簡単ではないかもしれませんが、手順は同様です。詳細についてはSanders et al. ^{[2]を参照してください。}
• の固有値がすべて純虚数でない場合、これは双曲性条件と呼ばれます。この場合、解が指数関数的に急速に増加するため、 が有界であるかどうかに関係なく、摂動方程式はいくつかの深刻な問題を提示する可能性があります。^{[2]しかし、定性的には、}ハートマン-グロブマン結果などの漸近解を知ることができる場合があります。 ^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle g}$
• 極座標は、解析が簡単な標準形を生成することもあります。初期条件とシステムを決定する を考えてみましょう。${\displaystyle z_{1}=r\sin(t-\phi )~{\text{and}}~z_{2}=r\cos(t-\phi )}$${\displaystyle (r(0),\phi (0))}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {r}}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\varepsilon {\begin{bmatrix}\cos(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\\{\frac {1}{r}}\sin(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\end{bmatrix}}.}$$

原点の近傍を除いた範囲で平均化を適用すると（極座標は使えないので）： 平均化されたシステムは ${\displaystyle g\in C^{1}}$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\bar {f}}_{1}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds\\[4pt]{\bar {f}}_{2}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi r}}\int _{0}^{2\pi }\sin(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds,\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=\varepsilon {\bar {f}}_{1}^{1}({\bar {r}})\\{\dot {\bar {\phi }}}=\varepsilon {\bar {f}}_{2}^{1}({\bar {r}}).\end{array}}}$$

この方法にはいくつかの仮定と制限があります。これらの制限は、標準形式ではない元の方程式を平均化するときに重要な役割を果たし、その反例を議論することができます。この急いで平均化することをやめさせるための例を次に示します。 ^[2] ここでは、前の表記に従ってい ます。$${\displaystyle {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,\qquad z(0)=0,\quad {\dot {z}}(0)=1,}$$${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=-4\cos ^{2}(t){\dot {z}}}$

このシステムは、減衰項がと の間で振動する減衰調和振動子に対応し ます。 の 1 サイクルにわたって摩擦項を平均すると、次の式が得られます。解は で、 原点への収束率は です。 標準形式から得られた平均システムは次のようになります。 これは、直交座標で、原点への収束率が前の粗い平均システムと異なることを明示的に示しています。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4\varepsilon }$${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle {\ddot {\bar {z}}}+2\varepsilon {\dot {\bar {z}}}+{\bar {z}}=0,\qquad {\bar {z}}(0)=0,\quad {\dot {\bar {z}}}(0)=1.}$$$${\displaystyle {\bar {z}}(t)={\frac {1}{(1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}e^{-\varepsilon t}\sin {((1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}t)}.}$$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(2+\cos(2{\bar {\phi }})),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}={\frac {1}{2}}\varepsilon \sin(2{\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$${\textstyle {\frac {3}{2}}\varepsilon }$$${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {3}{2}}\varepsilon t}\sin {t}}$$

ファンデルポールは、 前述の表記法 に従うタイプの方程式の近似解を得ることに関心がありました。このシステムは、ファンデルポール振動子と呼ばれることがよくあります。この非線形振動子に周期平均を適用すると、システムを明示的に解くことなく位相空間の定性的な知識が得られます。 $${\displaystyle {\ddot {z}}+\varepsilon (1-z^{2}){\dot {z}}+z=0,}$$${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=(1-z^{2}){\dot {z}}}$

平均化されたシステムは であり 、固定点とその安定性を分析できます。原点には不安定な固定点があり、 で表される安定したリミットサイクルがあります。 $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(1-{\frac {1}{4}}{\bar {r}}^{2})\\{\dot {\bar {\phi }}}=0,\end{array}}}$$${\displaystyle {\bar {r}}=2}$

このような安定したリミットサイクルの存在は定理として述べることができます。

定理（周期軌道の存在）^[5] ：がの双曲的不動点である場合、 が存在し、 のすべての に対して、 は と同じ安定性タイプの 唯一の双曲的周期軌道を持ちます。 ${\displaystyle p_{0}}$
$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)}$$${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}$$${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon )}$$${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }(t)=p_{0}+{\mathcal {O}}(\varepsilon )}$${\displaystyle p_{0}}$

証明はGuckenheimerとHolmes ^[5] 、 Sandersら ^[2]、および角度の場合についてはChicone ^{[1]で見つけることができます。}

平均定理は、結果の有効性の 時間間隔に影響を与える連結かつ有界な領域の存在を前提としています。次の例でそれを示します。 を考えます。平均システムは で構成され、 この初期条件下では元の解が のように動作し 、 上の有界領域で成り立つことを示します。 ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1,}$$${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=8{\dot {z}}^{2}\cos(t)}$$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=3\varepsilon {\bar {r}}^{2}\cos({\bar {\phi }}),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}=-\varepsilon {\bar {r}}\sin({\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$$${\displaystyle z(t)={\frac {\sin(t)}{1-3\varepsilon t}}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$${\displaystyle 0\leq \varepsilon t\leq L<{\frac {1}{3}}}$

減衰振り子を考えてみましょう。この振り子の吊り下げ点は、小振幅の高周波信号によって垂直方向に振動します (これは通常、ディザリングと呼ばれます)。このような振り子の運動方程式は次のように表されます。 ここで、 は吊り下げ点の運動を表し、は振り子の減衰を表し、 は振り子と垂直線のなす角度です。 $${\displaystyle m(l{\ddot {\theta }}-ak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta )=-mg\sin \theta -k(l{\dot {\theta }}+a\omega \cos \omega t\sin \theta )}$$${\displaystyle a\sin \omega t}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta }$

この方程式の位相空間形式は次のように表されます。 ここで、変数 を導入し、システムを-空間内の自律的な1 次システムとして記述しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {t}}&=1\\{\dot {\theta }}&=p\\{\dot {p}}&={\frac {1}{ml}}(mak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta -mg\sin \theta -k(lp+a\omega \cos \omega t\sin \theta ))\end{aligned}}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle (t,\theta ,p)}$

垂直振動の角周波数 が振り子の固有振動数 よりはるかに大きいと仮定します。また、垂直振動の振幅 が振り子の長さよりはるかに小さいと仮定します。位相空間における振り子の軌道は、曲線 の周囲を螺旋状に描きます。曲線 に沿って低速で移動しますが、曲線の周囲を高速で移動します。曲線 の周りの螺旋の半径は小さく、 に比例します。 よりはるかに長い時間スケールでの軌道の平均的な動作は、曲線 に従うことになります。 ${\displaystyle \omega }$${\textstyle {\sqrt {g/l}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle l}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\sqrt {g/l}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2\pi /\omega }$${\displaystyle C}$

初期値問題の平均法は、これまで オーダーの妥当性誤差推定値で扱われてきました。しかし、推定値をさらに長い時間、さらにはすべての時間に拡張できる状況もあります。^[2]以下では、漸近的に安定した固定点を含むシステムを扱います。このような状況は、図 1 に示されているものを再現します。 ${\displaystyle 1/\varepsilon }$

定理 (Eckhaus ^[6] /Sanchez-Palencia ^[7] )初期値問題を考える。 が存在し、線形近似で 漸近的に安定な不動点を含むと 仮定する 。 さらに、 はについて連続的に微分可能であり、 の領域を持つ。 任意のコンパクト に対して 、および を持つすべての に対して、一般的な場合および周期的な場合で成り立つ。 $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}}$$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle {\bar {f}}^{1}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{0}\subset D}$${\displaystyle K\subset D^{0}}$${\displaystyle x_{0}\in K}$ $${\displaystyle \|x(t)-y(t)\|={\mathcal {O}}(\delta (\varepsilon )),\quad 0\leq t<\infty ,}$$${\displaystyle \delta (\varepsilon )=o(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}$