ハースト指数

ハースト指数は、時系列の長期記憶の尺度として使用されます。これは、時系列の自己相関と、値のペア間のラグが増加するにつれてこれらの自己相関が減少する速度に関係しています。ハースト指数に関する研究は、もともと、長期間にわたって観測されたナイル川の変動の激しい降雨と干ばつの状況に対して最適なダムのサイズを決定するという実際的な問題のために水文学で開発されました。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}「ハースト指数」または「ハースト係数」という名前は、これらの研究の主任研究者であったハロルド・エドウィン・ハースト（1880～1978）に由来し、係数の標準表記Hの使用も彼の名前に関連しています。

フラクタル幾何学では、一般化ハースト指数は、ブノワ・マンデルブロ(1924–2010)によって、ハロルド・エドウィン・ハーストとルートヴィヒ・オットー・ヘルダー(1859–1937)の両方に敬意を表して、HまたはH q_と表記されています。^{[ 3 ]} Hはフラクタル次元Dと直接関係があり、データ系列の「穏やかな」または「激しい」ランダム性の尺度です。^{[ 4 ]}

ハースト指数は「依存度指数」または「長距離依存度指数」と呼ばれます。これは、時系列が平均に強く回帰するか、ある方向にクラスター化するかの相対的な傾向を定量化します。^{[ 5 ]} 0.5～1 の範囲のH値は、長期的に正の自己相関を持つ時系列を示します。これは、自己相関の減衰が指数関数よりも遅く、べき乗則に従うことを意味します。この系列では、高い値の後に別の高い値が続く傾向があり、将来さらに高い値への変動が起こることを意味します。0～0.5 の範囲の値は、隣接するペアで高い値と低い値が長期的に切り替わる時系列を示します。これは、単一の高い値の後に低い値が続く可能性が高く、その後の値は高くなる傾向があり、この高い値と低い値の切り替わりの傾向が将来に長く続き、これもべき乗則に従うことを意味します。H = 0.5の値は短期記憶を示し、（絶対）自己相関は指数関数的に急速にゼロに減衰します。

ハースト指数Hは、時系列の時間スパンの関数として再スケーリングされた範囲の漸近挙動に関して次のように定義されます。 ^{[ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,}$$ どこ

• ${\displaystyle R(n)}$最初の範囲は${\displaystyle n}$平均からの累積偏差
• ${\displaystyle S(n)}$最初の n 個の標準偏差の系列（合計）です
• ${\displaystyle \mathbb {E} \left[x\right]\,}$期待値は
• ${\displaystyle n}$は観測期間（時系列におけるデータポイントの数）を表します。
• ${\displaystyle C}$定数です。

自己相似時系列の場合、 Hはフラクタル次元Dと直接関係があり、1 < D < 2でD = 2 - Hとなります。ハースト指数の値は 0 から 1 の間で変化し、値が大きいほど、より滑らかな傾向、より低い変動性、およびより低い粗さを示します。^{[ 8 ]}

より一般的な時系列や多次元プロセスの場合、ハースト指数とフラクタル次元は独立して選択できます。ハースト指数は漸近的に長い期間にわたる構造を表し、フラクタル次元は漸近的に短い期間にわたる構造を表すためです。^{[ 9 ]}

文献では、長距離依存性の推定方法が数多く提案されている。最も古く、最もよく知られているのは、マンデルブロとウォリス^{[ 3 ] [ 10 ]}によって普及した、いわゆる再スケーリング範囲（R/S）分析であり、ハースト^{[ 1 ]} の以前の水文学的発見に基づいている。代替案としては、 DFA、周期図回帰^{[ 11 ]} 、集約分散^{[ 12 ]}、局所ウィットル推定量^{[ 13 ]} 、ウェーブレット分析^{[ 14 ] [ 15 ]}などがあり、これらは時間領域と周波数領域の両方で用いられる。

基本的なハースト指数は、観測間のラグの関数として、変化の期待値と関連付けることができ、これは E(| X _{t + τ} − X _t | ² ) で測定されます。係数の一般化された形式では、ここで指数は、qで表されるより一般的な項に置き換えられます。

Hを推定するためのさまざまな手法が存在しますが、推定の精度を評価することは複雑な問題となる可能性があります。数学的には、ある手法では、ハースト指数は次のように推定できます。^{[ 19 ] [ 20 ]}$${\displaystyle H_{q}=H(q),}$$ 時系列データの場合 $${\displaystyle g(t),t=1,2,\dots }$$構造関数 のスケーリング特性によって定義される可能性がある${\displaystyle S_{q}}$（$\displaystyle \tau }$): $${\displaystyle S_{q}=\left\langle \left|g(t+\tau )-g(t)\right|^{q}\right\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},}$$ どこ${\displaystyle q>0}$、$\displaystyle \tau }$時間遅延と平均化は時間窓にわたって行われます $${\displaystyle t\gg \tau ,}$$ 通常、システムの時間スケールの中で最も長いもの。

実際、自然界では時間に制約はなく、したがってHは観測データに基づいて推定することしかできないため、非決定論的です。たとえば、株式市場指数でこれまでに見られた最も劇的な日々の上昇は、その後の日に必ず超えられる可能性があります。^{[ 21 ]}

上記の数学的推定手法において、関数H ( q )は、スケールにおける平均化された一般化ボラティリティに関する情報を含んでいます。$\displaystyle \tau }$（ボラティリティを定義するために使用されるのはq = 1、2のみです。）特に、H _1指数は、トレンドの持続性（H ₁ > 1/2 ）または反持続性（H ₁ < 1/2 ）を示します。

BRW（ブラウンノイズ、$1/f²$) 1つ手に入れる $${\displaystyle H_{q}={\frac {1}{2}},}$$ピンクノイズ の場合（${\displaystyle 1/f}$） $${\displaystyle H_{q}=0.}$$

ホワイトノイズのハースト指数は次元に依存し、^{[ 22 ]} 1Dと2Dの場合は次のようになります。 $${\displaystyle H_{q}^{1D}=-{\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.}$$

パラメータαを持つ一般的なレヴィ安定過程および切断レヴィ過程については、

$${\displaystyle H_{q}=q/\alpha ,}$$のために${\displaystyle q<\alpha }$、 そして${\displaystyle H_{q}=1}$のために${\displaystyle q\geq \alpha }$多重フラクタルデトレンド変動解析^{[ 23 ]}は、推定方法の一つである。 ${\displaystyle H(q)}$非定常時系列から。${\displaystyle H(q)}$は q の非線形関数であり、時系列は多重フラクタルシステムである。

• 長距離依存性– 言語学とデータ分析における現象 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 異常拡散– 時間に対して非線形な関係を持つ拡散過程 
• 再スケーリングされた範囲– 時系列変動の統計的尺度 
• デトレンド変動解析– 時系列におけるべき乗則スケーリングを検出する方法 

• ハースト指数のR/S、DFA、周期図回帰、ウェーブレット推定値およびそれらに対応する信頼区間を計算するためのMatlabコードは、RePEcから入手できます。https: //ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• R/S の Python 実装: https://github.com/Mottl/hurst DFA および MFDFA の Python 実装: https://github.com/LRydin/MFDFA
• 実数ハースト指数と複素数ハースト指数を計算するためのMATLABコード：https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• Excelシートを使って計算することもできます。https: //www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator