セール・スワン定理

数学の位相幾何学とK 理論の分野において、セール・スワンの定理 (スワンの定理とも呼ばれる) は、ベクトル束の幾何学的概念を射影加群の代数的概念に関連付け、数学全体にわたって共通の直感を生み出します。「可換環上の射影加群は、コンパクト空間上のベクトル束に似ている」。

定理の 2 つの正確な定式化は多少異なります。1955年にJean-Pierre Serreによって述べられた元の定理は、より代数的な性質を持ち、代数的に閉じた体(任意の特性)上の代数多様体上のベクトル束に関するものです。1962 年にRichard Swanによって述べられた補完的な変種は、より解析的で、滑らかな多様体またはハウスドルフ空間上の(実、複素、または四元数の) ベクトル束に関するものです。

M が滑らかな多様体（必ずしもコンパクトではない）で、E がM上の滑らかなベクトル束であるとします。すると、Eの滑らかなセクションの空間Γ(E)は、 C ^∞ ( M )（ M上の滑らかな実数値関数の可換代数）上の加群です。スワンの定理は、この加群がC ^∞ ( M ) 上に有限生成かつ射影的であることを述べています。言い換えると、すべてのベクトル束は、あるkに対して、ある自明なバンドルの直和です。この定理は、自明なバンドルからバンドルエピモーフィズムを構築することで証明できます。これは、たとえば、各点pに対して、 { s _i ( p )} がp上のファイバーを張るという性質を持つセクションs ₁ ... s _{k を}示すことで証明できます。 ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}\to E.}$

Mが連結な場合、逆もまた真である。つまり、C ^∞ ( M )上のすべての有限生成射影加群は、このようにしてM上の何らかの滑らかなベクトル束から生じる。そのような加群は、何らかのnに対してn × n冪等行列に値を持つM上の滑らかな関数fとして見ることができる。この場合、 x上の対応するベクトル束のファイバーはf ( x )の値域である。Mが連結でない場合、非定数階数のベクトル束を許容しない限り（つまり、非定数次元の多様体を許容しない限り）、逆は成立しない。たとえば、Mがゼロ次元の 2 点多様体の場合、加群は有限生成で 上に射影的であるが自由ではないため、 M上の任意の（定数階数の）ベクトル束の切断（すべて自明である）に対応できない。 ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus 0}$${\displaystyle C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

上記のことを別の方法で述べると、任意の連結な滑らかな多様体Mに対して、M上の滑らかなベクトル束のカテゴリから有限生成の射影 的な C ^∞ ( M )-加群のカテゴリへの切断関数 Γ は完全、忠実、かつ本質的に射影的である。したがって、 M上の滑らかなベクトル束のカテゴリは、有限生成の射影的な C ^∞ ( M )-加群のカテゴリと同値である。詳細は (Nestruev 2003) を参照のこと。

X がコンパクトなハウスドルフ空間で、C( X )がX上の連続実数値関数の環であるとします。上記の結果と同様に、 X上の実ベクトル束のカテゴリは、 C( X )上の有限生成射影加群のカテゴリと同等です。「実数値」を「複素数値」に、「実ベクトル束」を「複素ベクトル束」に置き換えても同じ結果が成り立ちますが、フィールドを有理数のような完全に分離したフィールドに置き換えた場合は成り立ちません。

詳細には、Vec( X ) をX上の複素ベクトル束のカテゴリとし、ProjMod(C( X )) をC*-代数C( X ) 上の有限生成射影加群のカテゴリとします。X上の各複素ベクトル束E をセクションのC(X)-加群 Γ(X,E) に送る関手Γ : Vec ( X ) → ProjMod(C( X)) があります。が X上のベクトル束の射である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \tau :(E_{1},\pi _{1})\to (E_{2},\pi _{2})}$${\displaystyle \pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}}$

${\displaystyle \forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi _{2}\circ \tau \circ s=\pi _{1}\circ s={\text{id}}_{X},}$

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${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma \tau :\Gamma (X,E_{1})\to \Gamma (X,E_{2})\\s\mapsto \tau \circ s\end{cases}}}$

これはモジュール構造を尊重します(Várilly, 97)。スワンの定理は、関数 Γ がカテゴリの同値であることを主張します。

代数幾何学における類似の結果は、セール (1955, §50) によるもので、アフィン多様体のカテゴリのベクトル束に適用されます。Xを構造層とX上の -加群のコヒーレント層を持つアフィン多様体とします。このとき、有限次元ベクトル束の芽の層が であるための必要十分条件は、の切断空間が可換環上の射影加群である場合です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},X),}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle A=\Gamma ({\mathcal {O}}_{X},X).}$

• Karoubi、Max (1978)、K 理論: 入門、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-08090-1
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• スワン、リチャード G. (1962)、「ベクトル束と射影加群」、アメリカ数学会誌、105 (2): 264–277、doi : 10.2307/1993627、JSTOR  1993627。
• ネストゥルエフ、ジェット（2003）、滑らかな多様体と観測可能量、数学の大学院テキスト、第220巻、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-95543-7
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