ノイマン不等式

数学において、マックス・ノイアーにちなんで名付けられたノイアー不等式は、基礎となる位相4 次元多様体の位相型を制限するコンパクトな極小複素曲面の特性です。これは、代数的に閉じた体上の一般型の極小射影面に対してより一般的に当てはまります。

Xを代数的に閉じた体（または一般型の滑らかな極小 コンパクト複素面）上で定義された、標準因子K = − c ₁ ( X )を持つ一般型の滑らかな極小射影 面とし、p _g = h ⁰ ( K )を正則2形式空間の次元とすると、

${\displaystyle p_{g}\leq {\frac {1}{2}}c_{1}(X)^{2}+2.}$

複素曲面の場合、この不等式は、基になる実有向四次元多様体の位相不変量によって表現される。一般型の曲面はケーラー面であるため、第 2 コホモロジー上の交差形式における最大正部分空間の次元はb ₊ = 1 + 2 p _gで与えられる。さらに、ヒルツェブルッフの署名定理により c ₁ ² ( X ) = 2 e  + 3 σとなる。ここでe = c ₂ ( X ) は位相オイラー特性であり、σ = b ₊  −  b _{− は}交差形式の署名である。したがって、ノイマン不等式は次のようにも表現できる。

${\displaystyle b_{+}\leq 2e+3\sigma +5}$

または、e = 2 – 2 b ₁ + b ₊ + b _{−と等価である。}

${\displaystyle b_{-}+4b_{1}\leq 4b_{+}+9.}$

ノイマン不等式とノイマン公式12χ= c ₁ ² + c ₂を組み合わせると、

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 12q}$

ここで、q は表面の不規則性であり、わずかに弱い不等式につながります。これはノイマン不等式とも呼ばれます。

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{even}})}$

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+30\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{奇数}}).}$

等式が成り立つ面（つまり、ノイマン線上にある面）は、堀川面と呼ばれます。

最小の一般型条件から、 K ² > 0となる。したがって、不等式は自動的に成り立つため、 p _g > 1 と仮定できる。特に、K を表す有効な因子D があると仮定できる。すると、正確な数列が得られる 。

${\displaystyle 0\to H^{0}({\mathcal {O}}_{X})\to H^{0}(K)\to H^{0}(K|_{D})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\to }$

それで${\displaystyle p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D}).}$

D が滑らかであると仮定する。付加公式により、 D は標準線束 を持つため、 は特殊因子となり、クリフォードの不等式が適用され、次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(2K)}$${\displaystyle K|_{D}}$

${\displaystyle h^{0}(K|_{D})-1\leq {\frac {1}{2}}\deg _{D}(K)={\frac {1}{2}}K^{2}.}$

一般に、より一般的なバージョンのクリフォード不等式を使用して、双対直線束と自明直線束の 1 次元切断との局所完全交差に対して本質的に同じ議論が適用されます。これらの条件は、曲線Dに対して、付加公式とDが数値的に連結であるという事実によって満たされます。

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• Liedtke, Christian (2008)、「正の標数で小さな c12 を持つ一般型の代数面」、名古屋数学誌、191 : 111–134
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