近づきがたい枢機卿

集合論 において、基数は、非可算かつ正則であり、かつ強極限基数である場合に、強到達不能基数と呼ばれる。基数は、非可算かつ正則であり、かつ弱極限基数である場合に、弱到達不能基数と呼ばれる。

1950年頃から、「到達不能基数」は通常「強く到達不能な基数」を意味するようになったが、それ以前は「弱く到達不能な基数」を意味していた。弱く到達不能な基数は、ハウスドルフ（1908）によって導入された。強く到達不能な基数は、シェルピンスキー＆タルスキ（1930）とツェルメロ（1930）によって導入された。後者では、それらは、$\displaystyle \aleph _{0}}$Grenzzahlen（英語の「限界数」）として。 ^{[ 1 ]}

強く到達不可能な基数は、弱く到達不可能な基数でもある。一般化された連続体仮説によれば、弱く到達不可能な基数は、強く到達不可能でもある。

到達不可能な基数の2つの概念${\displaystyle \kappa }$基数を表す${\displaystyle \kappa }$これは、濃度が 未満の集合のみを含む典型的な集合論的演算の結果の濃度として得られない。${\displaystyle \kappa }$したがって、「アクセス不可能」という言葉が使われる。アクセス不可能な基数を不可算数とすることで、それらは非常に大きな数になる。

特に、到達不可能な基数は必ずしも存在するとは限りません。つまり、選択公理（ZFC）を用いたツェルメロ＝フレンケル集合論のモデルの中には、到達不可能な基数が存在しないものもあると考えられています。 ^{[ 2 ]}一方、ZFCのモデルの中には、強い到達不可能な基数さえ存在するものもあると考えられています。ZFCがこれらの大きな集合を収容できるが、必ずしも必要としないという事実は、大きな基数公理への導入となります。モデルと一貫性も参照してください。

強く到達不可能な基数の存在は、グロタンディーク宇宙の存在と同等である。${\displaystyle \kappa }$フォン・ノイマン段階は、非常にアクセス不可能な基数である。${\displaystyle V_{\kappa }}$はグロタンディーク宇宙である。逆に、${\displaystyle U}$がグロタンディーク宇宙であるならば、強く到達不可能な基数が存在する。${\displaystyle \kappa }$そのため${\displaystyle V_{\kappa }=U}$強い到達不能基数との対応関係から予想されるように、グロタンディーク宇宙は集合論的演算に関して非常に良く閉じている。

順序数が弱到達不能基数であるのは、それが正則順序数であり、かつ正則順序数の極限である場合に限る。（ゼロ、イチ、${\displaystyle \omega }$は通常の序数ですが、通常の序数の制限ではありません。)

ある観点からは、弱到達不能基数または強到達不能基数が不可算数であるという要件は不自然または不必要である。$\displaystyle \aleph _{0}}$は可算名詞であり、規則的で、強い極限基数です。 $\displaystyle \aleph _{0}}$は最小の弱極限正則基数でもある。選択公理を仮定すると、他のすべての無限基数は正則基数か弱極限基数のいずれかである。しかし、かなり大きな基数だけが両方である可能性がある。基数は${\displaystyle \kappa }$より大きい$\displaystyle \aleph _{0}}$は必然的に不可算名詞である。${\displaystyle \kappa }$また、正則かつ弱い限界基数である場合${\displaystyle \kappa }$弱く到達不可能な基数でなければならない。

仮に${\displaystyle \kappa }$は基数です。選択付きツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）は、${\displaystyle \kappa }$フォン・ノイマン宇宙の第 1 レベル${\displaystyle V_{\kappa }}$ZFCのモデルであるときはいつでも${\displaystyle \kappa }$非常にアクセス不可能である。さらに、ZFはゲーデル宇宙を意味する。$\displaystyle L_{\kappa }}$ZFCのモデルであるときはいつでも${\displaystyle \kappa }$は弱く到達不可能である。したがって、ZF と「弱く到達不可能な基数が存在する」という条件が揃うと、ZFC は無矛盾であることがわかる。したがって、到達不可能な基数は大きな基数の一種である。

もし${\displaystyle V}$ZFCの標準モデルであり、${\displaystyle \kappa }$アクセスできない${\displaystyle V}$、 それから

1. ${\displaystyle V_{\kappa }}$これは、ツェルメロ・フレンケル集合論の意図されたモデルの一つである。
2. ${\displaystyle Def(V_{\kappa })}$これは、グローバルな選択を排除し、サイズの制限を置換と通常の選​​択に置き換える、メンデルソン版フォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論の意図されたモデルの一つである。
3. そして${\displaystyle V_{\kappa +1}}$これは、モース・ケリー集合論の意図されたモデルの一つである。

ここ、${\displaystyle Def(X)}$は、$\displaystyle \Delta _{0}}$-定義可能な部分集合${\displaystyle X}$（構築可能な宇宙を参照）。最初の主張は弱めることができる点に留意すべきである。${\displaystyle \kappa }$アクセスできない必要はなく、基数である必要もありません。${\displaystyle V_{\kappa }}$ZFの標準モデルとなる（下記参照）。

仮定する${\displaystyle V}$ZFCのモデルです。${\displaystyle V}$強力なアクセス不能なものは含まれておらず、${\displaystyle \kappa }$最も小さく、強く、アクセスできない${\displaystyle V}$、${\displaystyle V_{\kappa }}$は、強いアクセス不能要素を含まない ZFC の標準モデルです。したがって、ZFC の一貫性は、ZFC + 「強いアクセス不能要素が存在しない」の一貫性を意味します。同様に、${\displaystyle V}$弱くてアクセスできないものはなく、${\displaystyle \kappa }$任意の標準サブモデルに対して弱くアクセス不可能な最小の順序数である${\displaystyle V}$、 それから$\displaystyle L_{\kappa }}$これは、弱いアクセス不能基数を含まないZFCの標準モデルです。したがって、ZFCの無矛盾性は、ZFC＋「弱いアクセス不能基数は存在しない」の無矛盾性を意味します。これは、ZFCがアクセス不能基数の存在を証明できないことを示しており、したがってZFCはアクセス不能基数の非存在と無矛盾です。

ZFCが到達不可能な基数の存在と整合しているかどうかという問題は、より微妙です。前の段落で概説した、ZFCの無矛盾性がZFC + 「到達不可能な基数は存在しない」の無矛盾性を意味するという証明は、ZFCで形式化できます。しかし、ZFCが無矛盾であると仮定すると、ZFCの無矛盾性がZFC + 「到達不可能な基数が存在する」の無矛盾性を意味するという証明は、ZFCで形式化できません。これは、ゲーデルの第2不完全性定理から導かれます。この定理は、ZFC + 「到達不可能な基数が存在する」が無矛盾であれば、ZFCは自身の無矛盾性を証明できないことを示しています。ZFC + 「到達不可能な基数が存在する」はZFCの無矛盾性を証明しているので、ZFCが自身の無矛盾性がZFC + 「到達不可能な基数が存在する」の無矛盾性を意味することを証明すれば、後者の理論は自身の無矛盾性を証明できてしまいますが、ZFCが無矛盾であればこれは不可能です。

ZFCでは形式化できない到達不可能な基数の存在を主張する議論がある。Hrbáček & Jech (1999 、p. 279)が提示したそのような議論の一つは、特定のモデルのすべての順序数のクラスが到達不可能な基数であるということである。 ${\displaystyle M}$集合論のより大きなモデルが拡張された場合、それ自体が到達不可能な基数となるだろう${\displaystyle M}$そして要素のパワーセットを保存する${\displaystyle M}$。

集合論には、関心のある述語を満たす基数の適切なクラスの存在を主張する重要な公理が数多く存在する。到達不能性の場合、対応する公理は、すべての基数に対して次の主張である。${\displaystyle \mu }$アクセスできない基数があります${\displaystyle \kappa }$これは厳密にはより大きい、${\displaystyle \mu <\kappa }$したがって、この公理は到達不可能な基数の無限の塔の存在を保証する（そして時折、到達不可能な基数公理と呼ばれることもある）。任意の到達不可能な基数の存在の場合と同様に、到達不可能な基数公理は ZFC の公理からは証明できない。ZFC を仮定すると、到達不可能な基数公理はグロタンディークとヴェルディエの宇宙公理と同等である。すなわち、すべての集合はグロタンディーク宇宙に含まれる。宇宙公理（または同等の到達不可能な基数公理）とともに ZFC の公理は ZFCU と表記される（ Urelements付き ZFC と混同しないように）。この公理系は、例えばすべての圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明するのに役立つ。

これは比較的弱い大基数公理であり、それは次のように言っていることになる。${\displaystyle \infty }$次のセクションの言語では 1-アクセス不可です。${\displaystyle \infty }$は、${\displaystyle V}$つまり、モデル内のすべての順序数のクラスです。

用語 "${\displaystyle \alpha }$-アクセスできない基数」は曖昧で、著者によって異なる定義が用いられています。ある定義では、基数は${\displaystyle \kappa }$と呼ばれる${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-アクセス不可、任意の序数に対して${\displaystyle \alpha }$、 もし${\displaystyle \kappa }$アクセスできず、すべての序数${\displaystyle \beta <\alpha }$、セット${\displaystyle \beta }$-アクセスできない${\displaystyle \kappa }$は無制限である${\displaystyle \kappa }$（したがって基数）${\displaystyle \kappa }$、 以来${\displaystyle \kappa }$は正規です）。この場合、0 到達不能基数は強く到達不能基数と同じです。別の定義としては、基数が${\displaystyle \kappa }$と呼ばれる${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-弱くアクセスできない 場合${\displaystyle \kappa }$は規則的で、すべての序数に対して${\displaystyle \beta <\alpha }$、セット${\displaystyle \beta }$-弱くアクセスできない${\displaystyle \kappa }$は無制限である${\displaystyle \kappa }$この場合、0-弱到達不能基数は通常の基数であり、1-弱到達不能基数は弱到達不能基数である。

の${\displaystyle \alpha }$-到達不能基数は、より低い到達不能基数を数える関数の不動点として記述することもできます。たとえば、で表​​します。${\displaystyle \psi _{0}(\lambda )}$の${\displaystyle \lambda }$^番目の到達不可能な基数、次に固定点$\displaystyle \psi _{0}}$は 1-到達不可能な基数です。${\displaystyle \psi _{\beta }(\lambda )}$になる${\displaystyle \lambda }$^th${\displaystyle \beta }$-到達不可能な基数、固定点${\displaystyle \psi _{\beta }}$は${\displaystyle (\beta +1)}$-アクセスできない基数（値${\displaystyle \psi _{\beta +1}(\lambda )}$。 もし${\displaystyle \alpha }$は限界順序数であり、${\displaystyle \alpha }$-アクセスできないものはすべての固定点です${\displaystyle \psi _{\beta }}$のために${\displaystyle \beta <\alpha }$（値）${\displaystyle \psi _{\alpha }(\lambda )}$は${\displaystyle \lambda }$^{このような基数を生成する関数の固定点を取るこのプロセスは、}大きな基数の研究でよく見られます。

ハイパーアクセス不能という用語は曖昧で、少なくとも 3 つの相容れない意味があります。多くの著者は、これを強くアクセス不能な基数の通常の極限 (1-アクセス不能) を意味するものとして使用しています。他の著者は、これを次のように使用しています。${\displaystyle \kappa }$は${\displaystyle \kappa }$-アクセスできない。(決してアクセスできない)${\displaystyle \kappa +1}$-アクセスできない。）時折、マロー枢機卿を意味するのに使われる。

用語${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-hyper-inaccessibleも曖昧です。一部の著者はこれを次の意味で使用しています。${\displaystyle \alpha }$-アクセス不可。他の著者は、任意の序数に対してという定義を使用しています。${\displaystyle \alpha }$枢機卿${\displaystyle \kappa }$は${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$- 極めてアクセス不能なのは、${\displaystyle \kappa }$極めてアクセスしにくく、すべての序数${\displaystyle \beta <\alpha }$、セット${\displaystyle \beta }$- 超アクセス不能な${\displaystyle \kappa }$は無制限である${\displaystyle \kappa }$。

極めて到達困難な基数などは同様の方法で定義できますが、いつものようにこの用語は曖昧です。

「アクセスできない」の代わりに「弱くアクセスできない」を使用すると、「弱くアクセスできない」についても同様の定義が可能になります。${\displaystyle \alpha }$-アクセス不可」、「弱超アクセス不可」、および「弱${\displaystyle \alpha }$「極めてアクセスしにくい」。

マロー枢機卿は近づきがたい、極めて近づきがたい、極めて極めて近づきがたい、…などなど。

まず、枢機卿${\displaystyle \kappa }$アクセスできないのは、${\displaystyle \kappa }$すべての部分集合に対して、次の反射特性を持つ。${\displaystyle U\subset V_{\kappa }}$存在する${\displaystyle \alpha <\kappa }$そのため${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$は、​${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$（実際、そのような集合は${\displaystyle \alpha }$閉じた無限${\displaystyle \kappa }$。） したがって、${\displaystyle \kappa }$は$\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$言葉では言い表せない​​${\displaystyle n\geq 0}$一方、必ずしも順序があるとは限りません${\displaystyle \alpha >\kappa }$そのため${\displaystyle V_{\kappa }}$そしてこれが成り立つならば、${\displaystyle \kappa }$に違いない${\displaystyle \kappa }$到達不可能な基数。^{[ 3 ]}

ZFでは、${\displaystyle V}$反射特性がやや弱く、サブ構造が${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$有限個の公式に関して「初歩的」であるだけでよい。最終的に、この弱化の理由は、モデル理論的な満足関係が${\displaystyle \vDash }$定義できる意味論的真理そのもの（つまり${\displaystyle \vDash _{V}}$タルスキーの定理により、それは不可能である。

第二に、ZFCの下では、ツェルメロの圏論定理が示され、それは次のように述べている。${\displaystyle \kappa }$アクセスできないのは、${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$これは2次ZFCのモデルである。

この場合、上記の反射特性により、${\displaystyle \alpha <\kappa }$そのため${\displaystyle (V_{\alpha },\in )}$これは（一階）ZFCの標準モデルである。したがって、到達不可能な基数の存在は、ZFCの推移的モデルの存在よりも強い仮説である。

アクセスできない${\displaystyle \kappa }$は$\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$上の物件${\displaystyle V_{\kappa }}$[ ^{4 ]}枢機卿^が${\displaystyle \pi }$アクセスできない（特定のモデルでは${\displaystyle \mathrm {ZF} }$含む${\displaystyle \pi }$） は$\displaystyle \Pi _{1}}$[ ^{5 ]​}

選択公理のない ZF では、強くアクセス不可能であるとはどういうことかを定義できます。順序数 κ は、ω < κ かつすべての α < κ に対して、V _αからκ へのすべての関数に対して、関数の像が β の部分集合となるような β < κ が存在する場合に限り、強くアクセス不可能です。^{[ 6 ]}

同様に、順序数 κ は、ω < κ かつすべての α < κ に対して、α ⁺からκ へのすべての関数に対して、関数の像が β の部分集合となるような β < κ が存在する場合に限り、弱く到達不可能である。ここで、α ^{+は α の}後継基数(すなわちハルトッグス数)である。

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