πシステム

数学において、π系（パイシステム）とは、集合 の特定の部分集合の集まりであり、 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \オメガ,}$

• ${\displaystyle P}$空ではありません。
• もしそうなら${\displaystyle A,B\in P}$${\displaystyle A\cap B\in P.}$

つまり、は、空でない有限交差の下で閉じている、の空でない部分集合の族です。^{[注 1]} πシステム の重要性は、2 つの確率測度がπシステム上で一致する場合、そのπシステムによって生成された𝜎-代数上でも一致するという事実から生じます。さらに、積分の等式などの他の特性がπシステムで成り立つ場合、生成された 𝜎-代数でもそれらが成り立ちます。これは、特性が成り立つ部分集合のコレクションが𝜆-システムである場合に常に当てはまります。πシステムは、ランダム変数の独立性を確認する場合にも役立ちます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \オメガ}$

これは、実際にはπシステムのほうが 𝜎 代数よりも扱いが簡単なことが多いため望ましいことです。たとえば、無限個の集合によって生成される 𝜎 代数を扱うのは面倒な場合があります。そのため、代わりに有限個の集合によって生成されるすべての 𝜎 代数の和集合を調べることができます。これにより、目的の 𝜎 代数を生成するπシステムが形成されます。もう 1 つの例は、実数直線のすべての区間と空集合のコレクションです。これは、実数直線の部分集合の非常に重要なボレル 𝜎 代数を生成するπシステムです。 ${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}$${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n})。}$

π系は、空でない有限交差の下で閉じた集合の空でない集合であり、その集合の任意の2つの要素の交差を含むことと同等である。このπ系のすべての集合が の部分集合である場合、それはπ系と呼ばれる。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Omega .}$

の空でない部分集合族に対して、 によって生成されるπ系と呼ばれるπ系が存在し、これはのすべての元を含むの唯一の最小のπ系です。これは を含むすべてのπ系 の共通集合に等しく、 の元のすべての可能な空でない有限共通集合の集合として明示的に記述できます。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \オメガ,}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle \Sigma ,}$${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ および }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}。}$$

空でない集合族は、それが生成するπ系に空集合が要素として含まれない 場合にのみ、有限交差特性を持ちます。

• 任意の実数と区間はπシステムを形成し、空集合も含まれる場合、区間はπシステムを形成します。${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle (-\infty ,a]}$${\displaystyle (a,b]}$
• 任意の位相空間の位相（開いた部分集合の集合）はπ系です。
• すべてのフィルターはπシステムです。空集合を含まないすべてのπシステムはプレフィルター(フィルター ベースとも呼ばれます) です。
• 任意の測定可能な関数 に対して、集合は  π系を定義し、によって生成されるπ系と呼ばれる（あるいは、によって生成されるπ系を定義する）${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle f.}$
• と がそれぞれとのπ系である場合、 は直積のπ系である。${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle \Omega _{2},}$${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$
• すべての𝜎-代数はπ-システムです。

上の𝜆系は、を満たす 部分集合の集合である。${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \オメガ,}$

• ${\displaystyle \Omega \in D,}$
• もしそうなら${\displaystyle A\in D}$${\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}$
• が（ペアワイズ）互いに素な部分集合の列である場合、${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

任意の 𝜎-代数はπシステムと 𝜆-システムの両方の性質を満たすというのは事実ですが、任意のπシステムが 𝜆-システムであるということは真実ではなく、さらに任意のπシステムが 𝜎-代数であるということは真実ではありません。ただし、𝜆-システムとπ-システムの両方である任意の集合システムは 𝜎-代数であるという分類は有用です。これはπ -𝜆 定理を証明するステップとして使用されます。

を𝜆系とし、を  π系とする。π -𝜆定理[ 1 ^]は、によって生成される𝜎代数がに含まれることを述べている。${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

π -𝜆定理は、多くの基本的な測度論的結果を証明するのに使用できます。たとえば、𝜎有限測度に対するカラテオドリ拡大定理の一意性の主張を証明するために使用されます。 ^[2]

π -𝜆定理は単調類定理と密接に関連しており、単調類と代数の間に同様の関係を提供し、同じ結果の多くを導くために使用できます。π システムは代数よりも単純なクラスであるため、そこに含まれる集合を識別する方が簡単ですが、一方で、検討中のプロパティが𝜆システムを決定するかどうかを確認するのは比較的簡単です。2つの定理の違いにもかかわらず、π -𝜆定理は単調類定理と呼ばれることもあります。^[1]

を𝜎代数上の2つの測度とし、π系によって生成されると仮定する。 ${\displaystyle \mu_{1},\mu_{2}:F\to \mathbb{R} }$${\displaystyle F,}$${\displaystyle F=\sigma (I)}$${\displaystyle I.}$

1. ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}$すべての人のために${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}$

これ は有限測度のカラテオドリ拡張定理の一意性ステートメントです。この結果がそれほど注目に値しないと思われた場合は、通常、𝜎代数のすべてのセットを完全に記述することは非常に困難または不可能であるため、測度の等化の問題はそのようなツールなしではまったく絶望的であるという事実を考慮してください。 ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}.}$

証明のアイデア^[2] 集合の集合を定義する 最初の仮定により、およびはに一致するので2番目の仮定により、およびはさらに が𝜆-システムであることが示される。π -𝜆定理から、およびが成り立つので つまり、測度はに一致する$${\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.}$$${\displaystyle \mu_{1}}$${\displaystyle \mu_{2}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\subseteq D.}$${\displaystyle \Omega \in D,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}$${\displaystyle D=\sigma (I).}$${\displaystyle \sigma (I).}$

π系は、測度論の一般分野よりも確率論の研究でよく使用されます。これは主に独立性などの確率的概念によるものですが、 π -𝜆 定理が確率論者ユージン・ディンキンによって証明されたという事実の結果である可能性もあります。標準的な測度論のテキストでは、通常、 π系 ではなく単調クラスを介して同じ結果を証明しています。

π -𝜆定理は、累積分布関数の観点からランダム変数の確率分布の一般的な定義の根拠となります。ランダム変数の累積分布は と定義されます が、変数の一見より一般的な法則は確率測度 であり 、 はボレル 𝜎-代数であることを思い出してください。ランダム変数と(2 つの異なる可能性のある確率空間上)は、同じ累積分布関数を持つ場合、で示される分布(または法則) が等しくなります。つまり、 の場合です。定義の根拠は、 の場合、 となるという観察から来ています。つまり、 と は、を生成するπ -システムで一致するということです。したがって、上記の例により、 ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

ランダムベクトルの結合分布についても同様の結果が得られる。例えば、 と が、それぞれ生成されたπシステムを持つ同じ確率空間で定義された2つのランダム変数であるとする。 の結合累積分布関数は、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$${\displaystyle (X,Y)}$$${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

ただし、および はランダムなペアによって生成された π システムであるため、 π -𝜆 定理を 使用して、結合累積分布関数が の結合法則を決定するのに十分であることを示します。言い換えると、と が同じ分布を持つのは、それらが同じ結合累積分布関数を持つ場合のみです。 ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$${\displaystyle (X,Y),}$${\displaystyle (X,Y).}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (W,Z)}$

確率過程の理論では、2つの過程が分布において等しいとみなされるのは、すべての有限次元分布で一致する場合のみである。つまり、すべての${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

この証明はπ -𝜆定理の別の応用である。^[3]

πシステムの理論は、独立性の確率的概念において重要な役割を果たします。と が同じ確率空間で定義された 2 つのランダム変数である場合、ランダム変数が独立であるためには、それらのπシステムがすべてのとに対して を満たす必要があります。 つまり、は独立です。これは、実際にはの分布を決定するためにπシステムを使用する特別なケースです。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$${\displaystyle (X,Y).}$

をIID標準正規乱数変数とする。半径と引数（アークタンジェント）変数を定義する。 ${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$$${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}$$

とは独立した確率変数です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \Theta }$

これを証明するには、 π系が独立であることを示すだけで十分である。つまり、すべてのπ系とπ系に対して、${\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}$${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].}$$

これが事実であることを確認するには、変数を変更する練習が必要です。固定すると、確率は確率密度関数の積分として表すことができます。${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$${\displaystyle Z.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}$$

• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• イデアル（集合論）  - 有限和集合と部分集合の下で閉じている空でない集合族
• 独立性（確率論）  - ある出来事の発生が別の出来事の発生確率に影響を与えない場合
• 𝜆システム（ディンキンシステム）  – 補集合と可算な離散和集合に関して閉じた族
• 単調類定理
• 確率分布 – 実験で特定の結果が発生する確率を表す数学的関数
• 集合の環 – 結合と相対的補集合の下で閉じた集合族
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• 𝜎-イデアル – 部分集合と可算和集合に関して閉じた族
• 𝜎環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

• ガット、アラン（2005）。確率：大学院コース。Springer Texts in Statistics。ニューヨーク：Springer。doi ：10.1007/b138932。ISBN 0-387-22833-0。
• ウィリアムズ、デイビッド（1991）。マーチンゲール法による確率。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-40605-6。
• ダレット、リチャード（2019）。確率：理論と例（PDF）。ケンブリッジ統計および確率数学シリーズ。第49巻（第5版）。ケンブリッジニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . 2020年11月5日閲覧。