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数学において、相殺性（または相殺可能性）の概念は、可逆性の概念の一般化です。
マグマ( M、 ∗ )内の要素a は、 M内のすべてのbとcに対して、a ∗ b = a ∗ c が常にb = cを意味する場合、左消去特性を持ちます(または左消去可能) 。
マグマ( M、 ∗ )内の要素a が右消去特性を持つ(または右消去可能である) とは、 M内のすべてのbとcに対して、b ∗ a = c ∗ a が常にb = cを意味する場合です。
マグマ( M ,∗)内の要素aは、左相殺と右相殺の両方の性質を持つ場合、 両側相殺特性を持つ(または相殺的である)。
マグマ( M ,∗)は、そのマグマ内のすべてのaが左相殺的である場合に左相殺特性を持ちます(または左相殺的です) 。同様の定義が右相殺特性または両側相殺特性にも適用されます。
半群では、左逆元は左相殺可能であり、右逆元および両側逆元についても同様である。a −1 が a の左逆元である場合、a ∗ b = a ∗ cはa −1 ∗ ( a ∗ b ) = a −1 ∗ ( a ∗ c )を意味し、結合法則によりb = cを意味する。
解釈
マグマ( M , ∗ )の元a が左相殺的であるということは、関数g : x ↦ a ∗ xが単射的であるということです。[1]関数gが単射であるということは、形式a ∗ x = bの等式が与えられ、唯一の未知数がxである場合、等式を満たすxの可能な値は 1 つしかないことを意味します。より正確には、 gの逆関数である関数f を定義して、すべてのxに対してf ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x が成り立つようにすることができます。言い換えると、Mのすべてのxとyに対して、 a * x = a * yであれば、x = yです。[2]
同様に、元a が右相殺的であるということは、関数h : x ↦ x ∗ aが単射であり、 M内のすべてのxとyに対して、x * a = y * aであればx = yであるということです。
相殺モノイドと半群の例
正の整数（非負の整数）は、加法の下で相殺的半群を形成します。非負の整数は、加法の下で相殺的モノイドを形成します。これらはそれぞれ、準群ではない相殺的マグマの例です。
実際、任意の自由半群またはモノイドは相殺法則に従い、一般に、グループに埋め込まれる任意の半群またはモノイドは (上記の例が明らかにそうであるように) 相殺法則に従います。
別の観点から言えば、ゼロ因子ではない環の元の乗法半群（これは、問題の環が整数などのドメインである場合、すべての非ゼロ元の集合に過ぎません）には、相殺特性があります。これは、問題の環が非可換および/または非単位であっても有効であることに注意してください。
非相殺代数構造
実数と複素数の加算、減算、乗算、除算には相殺法則が適用されますが(ゼロによる乗算とゼロと別の数による除算は唯一の例外です)、相殺法則が有効でない代数構造も数多くあります。
2 つのベクトルの外積は相殺則に従いません。a × b = a × c の場合、a ≠ 0であってもb = cにはなりません(例: c = b + a )。
行列の乗算も必ずしも相殺則に従うわけではありません。AB = ACかつA ≠ 0の場合、 B = Cと結論付ける前に、行列Aが逆行列である (つまり、det ( A ) ≠ 0である) ことを示さなければなりません。det( A ) = 0の場合、行列方程式AX = B は逆行列でない行列Aに対して一意の解を持たないため、B はCと等しくない可能性があります。
また、AB = CAかつA ≠ 0で行列Aが逆行列である場合（つまり、det ( A ) ≠ 0である場合）、 B = C が必ずしも真であるとは限らないことにも注意してください。キャンセルはAB = ACかつBA = CA の場合にのみ機能し（行列Aが逆行列である場合）、AB = CAかつBA = ACの場合には機能しません。
参照
参考文献
- ^ ワーナー、セス（1965年）。現代代数学第1巻。ニュージャージー州エングルウッドクリフス：プレンティスホール社。50ページ。
- ^ ワーナー、セス（1965年）。現代代数学第1巻。ニュージャージー州エングルウッドクリフス：プレンティスホール社。48ページ。