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ソリッドモデリング（またはソリッドモデリング）は、3次元形状（ソリッド）の数学的およびコンピュータモデリングのための一貫した一連の原則です。ソリッドモデリングは、 3Dモデリングなどの幾何学的モデリングやコンピュータグラフィックスといったより広範な関連分野の中で、物理的な忠実性を重視している点で区別されます。 [ 1 ]幾何学的モデリングとソリッドモデリングの原則は、3Dコンピュータ支援設計の基礎を形成し、一般的に、物理オブジェクトのデジタルモデルの作成、交換、視覚化、アニメーション、照会、および注釈をサポートします。
ソリッドモデリング技術を用いることで、設計プロセスの一環として行われる複雑なエンジニアリング計算の自動化が可能になります。機械加工や組立などのプロセスのシミュレーション、計画、検証は、ソリッドモデリング開発の主な推進力の一つでした。近年では、サポートされる製造アプリケーションの範囲が大幅に拡大し、板金加工、射出成形、溶接、配管などが含まれるようになりました。従来の製造業にとどまらず、ソリッドモデリング技術は、物理オブジェクト上のサンプリング点からソリッドを再構築することによるラピッドプロトタイピング、デジタルデータアーカイブ、リバースエンジニアリング、有限要素法を用いた機械解析、モーションプランニングとNCパス検証、機構の運動学的および動的解析などの基盤となっています。これらのアプリケーションすべてにおいて中心的な課題となるのは、実際の物体の物理的挙動と整合性のある方法で、3次元形状を効果的に表現および操作することです。ソリッドモデリングの研究開発は、これらの課題の多くに効果的に対処しており、コンピュータ支援エンジニアリングの中心的な焦点であり続けています。
今日実践されているソリッドモデリングの概念は、機械幾何モデリングシステムにおける情報完全性の必要性に基づいています。つまり、あらゆるコンピュータモデルは、対応する物理オブジェクトに対して行われる可能性のあるすべての幾何学的クエリをサポートする必要があります。この要件は、2つの表現が矛盾しない限り、同じ物理オブジェクトの複数のコンピュータ表現の可能性を暗黙のうちに認めています。物理オブジェクトの概念が計算可能な数学的特性によって定義され、特定の表現に依存しない限り、表現の情報完全性を計算によって検証することは不可能です。このような推論が、今日私たちが知っているソリッドモデリングの分野を形作ってきたモデリングパラダイムの開発につながりました。[ 2 ]
製造されたすべての部品は有限のサイズと適切な境界を持つため、当初は、追加または削除可能な均質等方性材料で作られた剛体部品を数学的にモデル化することに重点が置かれていました。これらの想定された特性は、3 次元ユークリッド空間の部分集合である領域の特性に変換できます。「固体性」を定義する 2 つの一般的なアプローチは、それぞれ点集合トポロジーと代数トポロジーに基づいています。どちらのモデルも、固体が単純なピースまたはセルからどのように構築できるかを規定しています。
固体の連続点集合モデルによれば、任意のX ⊂のすべての点はXに対する近傍に基づいて、内部点、外部点、または境界点として分類できます。典型的なユークリッド距離が与えられている場合、点p ∈ Xの近傍は開球の形をとります。X が固体であるとみなされるためには、任意のp ∈ Xのすべての近傍が一貫して 3 次元である必要があります。より低い次元の近傍を持つ点は、固体性の欠如を示します。近傍の次元の均一性は、内部の閉包に等しい集合として定義される閉じた正則集合のクラスに対して保証されます。任意のX ⊂は、その内部の閉包を取ることによって閉じた正則集合に変換、または「正則化」することができ、したがって、ソリッドのモデリング空間は、数学的には、の閉じた正則部分集合の空間として定義されます。（ハイネ・ボレル定理により、すべての立体はコンパクト集合であることが暗黙のうちに示されています。）さらに、立体は集合の和集合、積集合、差集合のブール演算に関して閉じている必要があります（材料の追加と除去後の立体性を保証するため）。閉じた正則集合に標準のブール演算を適用しても閉じた正則集合が得られない場合があります。しかし、この問題は標準のブール演算を適用した結果を正則化することで解決できます。[ 3 ]正則化された集合演算は、∪ ∗、∩ ∗、および − ∗で表されます。
集合X ⊂の組み合わせ的特徴付け立体とは、X を向き付け可能なセル複合体として表現し、それによってセルが、そうでなければ無数の連続体内の点に対して有限の空間アドレスを提供するものである。[ 1 ]ユークリッド空間の半解析的有界部分集合のクラスは、ブール演算 (標準および正則化) の下で閉じており、すべての半解析的集合が次元 0、1、2、3 の互いに素なセルの集合に層化できるという追加の性質を示す。半解析的集合を点、線分、三角形の面、および四面体要素の集合に三角分割することは、一般的に使用される層化の例である。立体の組み合わせモデルは、半解析的有界部分集合であることに加えて、立体は 3 次元位相多面体、具体的には境界を持つ 3 次元向き付け可能多様体であると要約される。[ 4 ]特にこれは、多面体の組み合わせ境界[ 5 ]のオイラー標数が 2 であることを意味します。固体性の組み合わせ多様体モデルは、ジョルダン・ブロワーの定理の結果として、固体の境界が空間をちょうど 2 つのコンポーネントに分割することを保証し、製造不可能とみなされる非多様体近傍を持つ集合を排除します。
立体の点集合モデルと組み合わせモデルは完全に互いに整合しており、必要に応じて連続体特性または組み合わせ特性に基づいて相互に交換可能であり、n次元に拡張できます。この整合性を促進する重要な特性は、閉じた正則部分集合のクラスがこれは、均質なn次元トポロジカル多面体と正確に一致する。したがって、すべてのn次元立体は、その境界によって明確に表現でき、その境界は、均質なn-1次元近傍を持つn-1次元多面体の組み合わせ構造を持つ。
仮定された数学的性質に基づくと、立体の表現方法はいずれも、ユークリッド空間の半解析的部分集合のクラスに関する情報を捉える方法である。つまり、すべての表現方法は、同じ幾何学的データと位相データをデータ構造の形で整理する異なる方法である。すべての表現方法は、プリミティブの集合に対する有限個の演算によって構成される。したがって、特定の表現のモデリング空間は有限であり、単一の表現方法ではすべての種類の立体を完全に表現することはできない。例えば、正規化されたブール演算の組み合わせによって定義される立体は、非常に単純な場合を除いて、空間軌道に沿って移動するプリミティブの掃引として必ずしも表現できるとは限らない。このため、現代の幾何モデリングシステムでは、立体の複数の表現方法を維持し、表現方法間の効率的な変換を容易にする必要がある。
以下は、ソリッドモデルを作成または表現するために使用されるテクニックの一覧です。[ 4 ]最新のモデリングソフトウェアは、ソリッドを表現するためにこれらのスキームの組み合わせを使用する場合があります。
この方式は、オブジェクトのファミリーという概念に基づいています。ファミリー内の各メンバーは、いくつかのパラメータによって区別されます。各オブジェクトファミリーは汎用プリミティブと呼ばれ、ファミリー内の個々のオブジェクトはプリミティブインスタンスと呼ばれます。たとえば、ボルトのファミリーは汎用プリミティブであり、特定のパラメータセットで指定された単一のボルトはプリミティブインスタンスです。純粋なパラメータ化インスタンス化方式の特徴は、インスタンスを組み合わせて、より複雑な新しいオブジェクトを表す新しい構造を作成する手段がないことです。この方式のもう1つの主な欠点は、表現されたソリッドの特性を計算するアルゴリズムを作成するのが難しいことです。かなりの量のファミリー固有の情報をアルゴリズムに組み込む必要があるため、各汎用プリミティブは特別なケースとして扱われ、全体的な統一的な処理はできません。
このスキームは基本的に、立体が占める空間セルのリストです。セル（ボクセルとも呼ばれる）は固定サイズの立方体で、固定された空間グリッドに配置されます（他の多面体配置も可能ですが、立方体が最も単純です）。各セルは、セルの重心などの単一点の座標で表すことができます。通常、特定の走査順序が課せられ、対応する順序付き座標セットは空間配列と呼ばれます。空間配列は曖昧さのない一意の立体表現ですが、「マスター」表現や定義表現として使用するには冗長すぎます。ただし、パーツの粗い近似を表すことができ、特に構成的立体形状などの他の表現と組み合わせて使用すると、幾何学的アルゴリズムのパフォーマンスを向上させるために使用できます。
このスキームは、上記で詳述した立体の組み合わせ論的（代数的位相的）記述に基づいています。立体は、複数のセルへの分解によって表現できます。空間占有列挙スキームは、すべてのセルが立方体で規則的なグリッド上に位置するセル分解の特殊なケースです。セル分解は、立体の連結性（ピースの数）や種数（穴の数）などの特定の位相的特性を計算する便利な方法を提供します。三角形分割の形式のセル分解は、偏微分方程式の数値解法のための3D有限要素で使用される表現です。ホイットニー正則層化やモース分解などの他のセル分解は、ロボットの動作計画のアプリケーションに使用される場合があります。[ 6 ]
境界表現と同様に、オブジェクトの表面が表現されます。ただし、複雑なデータ構造やNURBSではなく、頂点と辺からなる単純な表面メッシュが使用されます。表面メッシュは、構造化されたもの（STLファイル内の三角形メッシュや、四角形の水平方向と垂直方向のリングを持つ四角形メッシュなど）と、ランダムにグループ化された三角形と高レベルの多角形からなる非構造化メッシュの2種類があります。
構成的ソリッドジオメトリ (CSG) は、上記で説明した正規化集合演算を介して、剛体をブール構成またはプリミティブの組み合わせとして表現するスキームのファミリーです。CSG と境界表現は、現在、ソリッドの最も重要な表現スキームです。CSG 表現は順序付き二分木の形をとり、非終端ノードは剛体変換 (向きを保持する等長変換) または正規化集合演算のいずれかを表します。終端ノードは、閉じた正則集合を表すプリミティブの葉です。CSG 表現のセマンティクスは明確です。各サブツリーは、サブツリーのプリミティブの葉によって表される集合に、指定された変換/正規化集合演算を適用した結果得られる集合を表します。CSG 表現は、材料の追加または除去に対応するフィーチャ (ボス、穴、ポケットなど) の形で設計意図を捉えるのに特に役立ちます。 CSGの魅力的な特性には、簡潔性、ソリッドの妥当性の保証、計算が便利なブール代数特性、ソリッドの基本要素とその位置と向きを定義する高レベルパラメータによるソリッド形状の自然な制御などが含まれます。比較的単純なデータ構造と洗練された再帰アルゴリズム[ 7 ]も、CSGの人気にさらに貢献しています。
スイープスキームの基本概念は単純です。空間内を移動する集合は、移動する集合とその軌跡によって表現される体積（立体）をトレースまたはスイープすることができます。このような表現は、指定された軌跡に沿って移動するカッターから除去される材料の検出、相対運動する2つの立体の動的干渉の計算、モーションプランニング、さらにはキャンバス上で移動するブラシの動きをトレースするなどのコンピュータグラフィックスアプリケーションといった用途において重要です。ほとんどの商用CADシステムは、主に空間軌跡に沿って移動する2次元断面の形でスイープ立体を構築するための（限定的な）機能を提供しています。しかし、現在の研究では、1つのパラメータに沿って移動する3次元形状、さらには複数のパラメータの動きの近似がいくつか示されています。
点の集合Xを定義する非常に一般的な方法は、空間内の任意の点で評価できる述語を指定することです。言い換えれば、 X は、述語によって指定された条件を満たすすべての点から構成されると暗黙的に定義されます。述語の最も単純な形式は、実数値関数の符号に関する条件であり、等式と不等式による集合の馴染み深い表現につながります。たとえば、 条件、、 そしてこれらはそれぞれ、平面と2つの開いた線形半空間を表します。より複雑な関数プリミティブは、より単純な述語のブール結合によって定義できます。さらに、R関数の理論では、このような表現を任意の閉じた半解析的集合に対する単一の関数不等式に変換できます。このような表現は、例えばマーチングキューブアルゴリズムなどの多角形化アルゴリズムを使用して境界表現に変換できます。
フィーチャは、固有の幾何学的パラメータ（長さ、幅、深さなど）、位置と向き、幾何公差、材料特性、および他のフィーチャへの参照などの属性に関連付けられたパラメトリック形状として定義されます。 [ 8 ]フィーチャは、関連する製造プロセスやリソース モデルへのアクセスも提供します。したがって、フィーチャは、プリミティブな閉じた正規セットよりも意味的に高いレベルにあります。フィーチャは一般的に、CAD と下流の製造アプリケーションをリンクするための基盤を形成し、設計データの再利用のためのデータベースを整理するためにも使用されることが期待されます。パラメトリック フィーチャ ベースのモデリングは、エンジニアリングにおける複雑なオブジェクトのシステムを完全に記述するために、構成的バイナリ ソリッド ジオメトリ (CSG) と頻繁に組み合わされます。
ソリッド モデラーの歴史的発展は、 CAD の歴史全体の中で見る必要があり、重要なマイルストーンは、研究システム BUILD の開発とその後の商用スピンオフRomulusであり、Romulus はParasolid、ACIS、Solid Modeling Solutionsの開発に影響を与えました。独立国家共同体(CIS)で最初の CAD 開発者の 1 つです。ASCON は 1990 年代に独自のソリッド モデラーの内部開発を開始しました。[ 9 ] 2012 年 11 月、ASCON の数理部門は独立した会社となり、C3D Labsと名付けられました。C3D は、スタンドアロン製品としてC3D幾何モデリング カーネルを開発する任務を負いました。これはロシア唯一の商用 3D モデリング カーネルです。[ 10 ]その他、GWB を開発した Mäntylä や、1980 年代初頭にハイブリッド モデリング技術などを提供した GPM プロジェクトからの貢献もありました。また、この時期にローマ大学で固体モデリング用プログラミング言語PLaSMが考案された。
ソリッドのモデリングは、CAD システムの機能の最低限の要件にすぎません。 ソリッド モデラーは、コンピュータの高速化とソフトウェアの価格競争力により、過去 10 年間でエンジニアリング部門で一般的になっています。 ソリッド モデリング ソフトウェアは、機械設計および解析用のコンポーネントの仮想 3D 表現を作成します。 [ 11 ]一般的なグラフィカル ユーザー インターフェイスには、プログラム可能なマクロ、キーボード ショートカット、および動的なモデル操作が含まれます。リアルタイムのシェーディング 3D でモデルを動的に再配置する機能が重視されており、設計者が頭の中で 3D イメージを維持するのに役立ちます。
ソリッド部品モデルは一般的に、モデルが完成するまで一度に 1 つずつ追加されるフィーチャのグループで構成されます。エンジニアリングソリッドモデルは、主にスケッチャベースのフィーチャを使用して構築されます。これは、パスに沿ってスイープされて 3D になる 2D スケッチです。たとえば、これらはカットや押し出しです。コンポーネントの設計作業は通常、アセンブリ モデリング手法を使用して製品全体のコンテキスト内で行われます。アセンブリ モデルには、製品を構成する個々の部品モデルへの参照が組み込まれています。[ 12 ]
もう一つのモデリング手法は「サーフェシング」（自由曲面モデリング）です。この手法では、サーフェスを定義、トリミング、結合し、塗りつぶしてソリッドを作成します。サーフェスは通常、空間内の基準曲線と様々な複雑なコマンドで定義されます。サーフェシングはより難しい手法ですが、射出成形などの製造方法にはより適しています。射出成形部品のソリッドモデルには、通常、サーフェシングとスケッチャベースの機能の両方が含まれます。
エンジニアリング図面は半自動的に作成でき、ソリッドモデルを参照することができます。
パラメトリックモデリングでは、パラメータ（寸法など）を使用してモデルを定義します。パラメータの例としては、モデルフィーチャを作成するために使用される寸法、材料密度、スイープフィーチャを記述する数式、インポートされたデータ（参照サーフェスを記述するデータなど）があります。パラメータは後で変更することができ、モデルは変更を反映して更新されます。通常、部品、アセンブリ、および図面の間には関係があります。部品は複数のフィーチャで構成され、アセンブリは複数の部品で構成されます。図面は、部品またはアセンブリのどちらからでも作成できます。
例：直径100mmの円を押し出してシャフトを作成します 。シャフトの端にハブを取り付けます。その後、シャフトの 長さを200mmに変更します（シャフトをクリックし、長さの寸法を選択して200に変更します）。モデルを更新すると、シャフトの 長さは200mmになり、ハブは取り付けられていたシャフトの端に移動し、設計図と質量特性にすべての変更が自動的に反映されます。
パラメータに関連しているが、少し異なるのが制約です。制約とは、特定の形状を構成するエンティティ間の関係です。窓の場合、側面は平行で同じ長さであると定義されることがあります。パラメトリック モデリングは明白で直感的です。しかし、CAD の最初の 30 年間はそうではありませんでした。修正とは、再描画するか、古いものの上に新しいカットや突起を追加することを意味しました。エンジニアリング図面の寸法は、表示されるのではなく作成されました。パラメトリック モデリングは非常に強力ですが、モデル作成にはより高度なスキルが必要です。射出成形部品の複雑なモデルには1000 個のフィーチャーがあり、初期のフィーチャーを変更すると、後のフィーチャーが失敗する可能性があります。熟練して作成されたパラメトリック モデルは、保守と修正が容易です。パラメトリック モデリングは、データの再利用にも適しています。たとえば、キャップ スクリューのファミリー全体を1 つのモデルに含めることができます。
最新のコンピュータ断層撮影装置（CT）や磁気共鳴画像装置（MRI）は、ボクセルベースモデルと呼ばれる体内構造の立体モデルを作成するために使用でき、画像はボリュームレンダリングによって生成されます。光学式3Dスキャナーは、体外構造の点群モデルやポリゴンメッシュモデルを作成するために使用できます。
医療用ソリッドモデリングの用途；
スキャンデータの可視化にとどまらず、より高度な用途に利用する場合、スキャンデータの正確かつ現実的な幾何学的記述を生成するために、画像セグメンテーションや画像ベースのメッシュ生成といった処理が必要となる。
コンピュータ上で動作するCADプログラムは、複雑な形状を構成する真の幾何学的構造を「理解」するため、3次元立体の重心、体積、質量といった多くの属性を迅速に計算できます。例えば、この記事の冒頭に示されている角が丸みを帯びた立方体は、 辺の長さが8.4mmです。多くの半径を持ち、6つの面それぞれに浅いピラミッド状の形状があるにもかかわらず、右側のスクリーンショットに示すように、設計者はその特性を容易に計算できます。
{{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)