境界表現

ソリッドモデリングとコンピュータ支援設計において、境界表現（B-repまたはBREPと略されることが多い）は、体積の限界を定義することによって3D形状を表現する方法である^[1]。ソリッドは、内部点と外部点の境界を定義する 接続された表面要素の集合として表現される。

モデルの境界表現は、位相的な要素（面、辺、頂点）とそれらの間の接続、およびそれらの要素の幾何学的定義（それぞれ、表面、曲線、点）から構成されます。面は表面の境界で囲まれた部分であり、辺は曲線の境界で囲まれた部分で、頂点は点にあります。その他の要素には、シェル（接続された面の集合）、ループ（面を囲む辺の回路）、およびループエッジリンク（ウィングドエッジリンクまたはハーフエッジとも呼ばれる）があり、これらはエッジ回路を作成するために使用されます。^[2]

プリミティブ オブジェクトとブール演算のみを使用してそれらを結合する構成ソリッド ジオメトリ(CSG) 表現と比較すると、境界表現はより柔軟で、より豊富な操作セットを備えています。ブール演算に加えて、B-rep には押し出し(またはスイープ)、面取り、ブレンディング、製図、シェル化、微調整、およびこれらを使用するその他の操作があります。

BREP の基本的な方法は、1970 年代初頭にケンブリッジ大学の Ian C. Braid (CAD) とスタンフォード大学の Bruce G. Baumgart (コンピューター ビジョン) の両者によって独立して開発されました。Braid は、多くの研究用および商用のソリッド モデリング システムの先駆けとなった研究用ソリッド モデラー BUILD での研究を続けました。Braid は、商用システムROMULUS ( Parasolidの前身)とACISにも取り組みました。Parasolid と ACIS は、今日の多くの商用 CAD システムの基礎となっています。

Braid のソリッドに関する研究に続いて、1980 年代初頭に、Torsten Kjellberg 教授率いるスウェーデンのチームが、ハイブリッド モデル、ワイヤー フレーム、シート オブジェクト、ボリューム モデルを扱うための哲学と手法を開発しました。フィンランドでは、Martti Mäntylä が GWB と呼ばれるソリッド モデリング システムを開発しました。米国では、Eastman と Weiler も境界表現に取り組んでおり、日本では東京大学の木村文彦教授とそのチームも独自の B-rep モデリング システムを開発しました。

当初、CSG は実装が容易であったため、いくつかの商用システムで使用されていました。前述の Parasolid や ACIS などの信頼性の高い商用 B-rep カーネル システムや、その後開発されたOpenCASCADEやC3Dの登場により、CAD での B-rep の採用が広まりました。

境界表現は、本質的には面、辺、頂点を結び付けるローカル表現です。これを拡張して、形状のサブ要素を 幾何学的特徴、または単に特徴と呼ばれる論理単位にグループ化しました。先駆的な作業は、ケンブリッジの Kyprianou によって BUILD システムを使用して行われ、Jared らによって継続および拡張されました。特徴は、比較、プロセス計画、製造などのために形状に関する高度な「幾何学的推論」を可能にする、他の多くの開発の基礎となっています。

境界表現は、非多様体モデルと呼ばれる特殊な非固体モデルタイプも可能にするように拡張されました。Braidによって説明されているように、自然界で見られる通常の固体は、境界上のすべての点で、その点の周りの十分に小さい球が2つの部分に分割され、1つはオブジェクトの内側、もう1つはオブジェクトの外側になるという特性があります。^{[要出典] [3]} 非多様体モデルはこの規則に反します。非多様体モデルの重要なサブクラスはシートオブジェクトであり、これは薄板オブジェクトを表現し、サーフェスモデリングを固体モデリング環境に統合するために使用されます。

境界表現の標準化には時間がかかりました。1979 年に Computer-Aided Manufacturing International (CAM-I) が開催した会議で、ソリッド モデルの転送にIGES形式が議論されました。当時、IGES は適切ではありませんでした。もう 1 つの問題は、当時 2 つの主要な表現、CSG と境界表現が共存していたことです。ただし、商用システムでの CSG の使用は後に減少し始めました。CAM-I 内でのさらなる開発により、XBF として知られる実験的境界形式が生まれ、境界表現モデルをカバーする拡張の可能性として IGES に提案されました。しかし、これは採用されませんでした。1980 年代の終わり頃には、CAD*I と呼ばれるプロジェクトで標準表現が開発され、これが STEP ソリッド モデル形式の開発の基盤の 1 つとなりました。これは、境界表現の最初の広く受け入れられたデータ交換形式です。

データ交換の世界では、STEP (製品モデル データの交換に関する標準)も、特定のデータ構造にマッピングできる中立的な形式での境界表現のデータ モデルをいくつか定義しています。一般的な汎用の位相モデルと幾何学モデルは、ISO 10303-42幾何学的および位相的表現で定義されています。次のアプリケーション統合リソース (AIC) は、汎用の幾何学的および位相的機能の制約となる境界モデルを定義します。

• ISO 10303-511位相的に境界付けられた表面、高度な面の定義、つまり、表面が基本タイプ（平面、円筒形、円錐形、球形、またはトロイダル）、またはスイープ表面、またはB スプライン表面である境界付けられた表面。境界は、線、円錐、ポリライン、表面曲線、または B スプライン曲線によって定義されます。
• ISO 10303-514高度な境界表現、高度な面によって構成される可能性のあるボイドを含むボリュームを定義するソリッド
• ISO 10303-509多様体表面、高度な面によって構成される3Dの非交差領域
• ISO 10303-521多様体表面下、多様体表面のサブ領域
• ISO 10303-508非多様体表面、あらゆる種類の高度な面配置
• ISO 10303-513基本境界表現はISO 10303-514 に似ていますが、基本面のみに制限されています。
• ISO 10303-512ファセット境界表現平面のみで構成された簡略化された表面モデル

• マンティラ、マルッティ (1988)。ソリッド モデリングの概要。コンピューター サイエンス プレス。ISBN 0-88175-108-1。
• 千代倉 秀 (1988)。DESIGNBASEによるソリッドモデリング。Addison - Wesley Publishing Company。ISBN 0-201-19245-4。
• ストラウド、イアン（2006）。境界表現モデリング技術。シュプリンガー。ISBN 1-84628-312-4。
• ゴロバノフ、ニコライ (2014)。幾何学モデリング:図形の数学。CreateSpace独立出版プラットフォーム。ISBN 978-1497473195。

• OpenCascade - BRep ソリッド モデリング用のオープン ソース ライブラリ
• STEP形式でのソース境界表現の実例
• SimpleGeo - モンテカルロ粒子輸送シミュレーション用の B-rep/CSG ハイブリッド モデリング システム
• FreeREP - オープンソースのジオメトリカーネル開発
• Brep - 境界表現ベースのモデラー