滑らかな代数

代数学において、可換k代数 A が0 滑らかであるとは、次の持ち上げ特性を満たす場合を言います。k代数C 、平方がゼロであるCのイデアルN 、およびk代数写像が 与えられたとき、 uがvであり、その後に標準写像が続くようなk代数写像が存在する。このようなv を持ち上げるものが最大で 1 つ存在する場合、Aは0 非分岐(または0 ニート)であると言われます。A が0 滑らかかつ0 非分岐である場合、Aは0 エタールであると言われます。0 滑らかさの概念は、形式的滑らかさとも呼ばれます。 ${\displaystyle u:A\to C/N}$${\displaystyle v:A\to C}$

有限生成k代数Aがk上で 0 滑らかであるためには、 Spec  Aがk上で滑らかなスキームである必要があります。

kの可分 代数 体拡大 Lはk上の 0-エタールである。^[1]形式冪級数環はおよび のときのみ 0-滑らかである（すなわち、k は有限のp基底を持つ）。^[2] ${\displaystyle k[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]}$${\displaystyle \operatorname {char} k=p>0}$${\displaystyle [k:k^{p}]<\infty }$

B をA代数とし、B にI進位相が与えられ、IをBのイデアルとします。 B が持ち上げ特性を満たす場合、B はA上でI滑らかであるといいます。つまり、 A代数C 、平方がゼロであるCのイデアルN 、および離散位相が与えられたときに連続するA代数写像 が与えられた場合、uがvであり、その後に標準写像が続くようなA代数写像が存在します。前と同様に、そのような持ち上げv が最大で 1 つ存在する場合、B はA上でI非分岐(またはI正準)であるといいます。 BがI滑らかかつI 非分岐である場合、 B はIエタールであるといいます。I が零イデアルでA が体である場合、これらの概念は上で定義した 0 滑らかなどと一致します。 ${\displaystyle u:B\to C/N}$${\displaystyle C/N}$${\displaystyle v:B\to C}$

標準的な例は次のとおりです。Aを環とし、 BはA上でI滑らかです。 ${\displaystyle B=A[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]}$${\displaystyle I=(t_{1},\ldots ,t_{n}).}$

A を最大イデアルを持つノイザン局所 k代数とする。このとき、Aがに対して -滑らかであるためには がの任意の有限拡大体に対して正則環となる必要がある。^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A\otimes _{k}k'}$ ${\displaystyle k'}$${\displaystyle k}$

• エタール射影
• 形式的に滑らかな射影
• ポペスクの定理

• 松村 秀 (1989) 可換環論。ケンブリッジ高等数学研究。リード M. 訳。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-36764-6。