Loading article…
数理論理学と哲学において、スコレムのパラドックスは、一階集合論の可算モデルが非可算集合を含む可能性があるという、一見矛盾する現象である。このパラドックスは、レーヴェンハイム＝スコレムの定理の一部から生じる。トーラルフ・スコレムは、この定理の矛盾する側面を初めて議論し、現在では非絶対性として知られる集合論的概念の相対性を発見した人物である。これはラッセルのパラドックスのような実際のアンチノミーではないが、この結果は一般的にパラドックスと呼ばれ、スコレムはこれを「逆説的な事態」と表現した。[ 1 ]
モデル理論において、モデルは形式言語または理論の特定の解釈に対応する。それは、領域（オブジェクトの集合）と、その言語における記号と式の解釈から成り、その構造内で理論の公理が満たされる。レーヴェンハイム＝スコレムの定理は、一階述語論理における集合論のモデルが矛盾しない場合、可算な同値モデルが存在することを示している。これは、ゲオルク・カントールが可算でない集合が存在することを証明したため、矛盾しているように見える。したがって、一見矛盾しているのは、それ自体が可算であり、したがって可算集合のみを含むモデルが、「不可算集合が存在する」と直感的に述べる一階述語論理の文を満たすということである。
このパラドックスが数学的に真の矛盾ではないことを示す数学的な説明は、1922年にスコレムによって初めて提示された。彼は、集合の可算性は絶対的なものではなく、濃度を測定するモデルに相対的なものであると説明した。スコレムの研究は、一階述語論理の限界とスコレムの「相対性」の概念に反論したエルンスト・ツェルメロから厳しい批判を受けたが、その結果はすぐに数学界に受け入れられるようになった。
スコレムのパラドックスの哲学的含意は、これまで多くの研究の対象となってきた。一つの研究の流れは、あらゆる一階述語論理の文が実際に「数えきれない集合が存在する」と述べていると主張できるかどうかという点である。この考え方は、あらゆる集合が絶対的な意味で数えきれないものなのかどうかを問うことにまで拡張できる。近年では、ヒラリー・パトナムなどの学者が、このパラドックスとスコレムの相対性の概念を言語哲学の研究に導入している。
集合論における初期の成果の一つは、1874年にカントールによって発表された、無限集合の異なるサイズ、すなわち濃度の存在であった。[ 2 ]無限集合は、と の間に1 対 1 の対応を与える関数が存在する場合に可算であると呼ばれます。そして自然数、そしてそのような対応関数が存在しない場合、は非可算である。 [ 3 ] [ 4 ] 1874年、カントールは実数が非可算であることを証明した。1891年、彼は対角線論法によって、カントールの定理として知られるより一般的な結果を証明した。すなわち、すべての集合に対して、のべき集合と一対一の関係にはなり得ないそれ自体。[ 5 ]ツェルメロが1908年に集合論の公理を提案したとき、彼はその公理からカントールの定理を証明して、その強さを示した。[ 6 ]
1915年、レオポルド・レーヴェンハイムは、1920年と1922年にスコレムがより一般的に証明することになるレーヴェンハイム＝スコレムの定理の最初の証明を与えた。[ 7 ] [ 8 ]レーヴェンハイムは、モデルを持つ任意の一階述語論理の文には、可算領域を持つモデルも存在することを示した。スコレムはこれを文の無限集合に一般化した。レーヴェンハイム＝スコレムの定理の下方形式は、可算な一階述語論理の公理の集合が無限構造によって満たされるならば、同じ公理が何らかの可算無限構造によって満たされることを示している。[ 9 ]集合論の標準的な公理の一階述語論理バージョン（ツェルメロ＝フレンケル集合論など）は可算な公理の集合であるため、これらの公理が充足可能であれば、何らかの可算モデルで充足可能であることを意味する。[ 4 ]
1922年、スコレムは、ツェルメロの公理の可算モデルが存在することを示唆するレーヴェンハイム＝スコレムの定理と、ツェルメロの公理から証明可能な非可算集合が存在することを述べるカントールの定理との間の、一見矛盾する点を指摘した。「私の知る限り、誰もこの特異で一見逆説的な状況に注意を向けていない」とスコレムは書いている。「公理のおかげで、より高い濃度の存在を証明できるのに、どうして領域全体B［ツェルメロの公理の可算モデル］が有限の正の整数によって既に列挙できるのだろうか？」[ 1 ]
しかし、これは見かけ上のパラドックスにすぎません。集合論の特定のモデルの文脈では、「集合」という用語は任意の集合を指すのではなく、実際にモデルに含まれる集合のみを指します。可算性の定義では、集合と自然数の間に特定の一対一対応が存在しなければなりません。この対応自体が集合です。スコレムは、そのような集合が可算モデルに必ずしも存在するとは限らない、つまり可算性はモデルに対して「相対的」であり[ 10 ]、可算な一階モデルは不完全であると結論づけることで、このパラドックスを解決しました[ 11 ]。
スコレムはツェルメロの公理に関して結果を示したが、それはZFC [ 4 ]のような任意の標準的な一階集合論[ 12 ]にも当てはまる。カントールの定理をZFCの形式言語における長い式として考えてみよう。ZFCにモデルが存在する場合、このモデルをと呼ぶ。そしてその領域要素記号の解釈、 またはは、要素の順序対の集合です。-言い換えると、は、レーヴェンハイム・スコレムの定理は、が可算名詞であれば、 も可算名詞でなければならない2つの特別な要素自然数をモデル化するそして自然数の冪集合順序対の集合は可算無限個しかない。形式、 なぜならは可算である。つまり、 の要素は可算個だけである。数えられない集合の模範的なメンバーしかし、カントールの定理とは矛盾しない。なぜなら、カントールの定理は単に、どの要素もから全単射関数をモデル化するに[ 13 ]
スコレムは、ある集合論のモデルでは同じ集合が可算であるが、別のモデルでは可算でない場合を説明するために「相対的」という用語を使用した。あるモデルに対しては、列挙関数によってある集合を自然数に対応させることはできないが、別のモデルに対しては、この対応が存在する可能性がある。[ 14 ]彼はこれを1922年の論文で「最も重要な」結果と表現した。[ 10 ]現代の集合論者は、推移的モデルの選択に依存しない概念を絶対的と表現する。[ 15 ]彼らの観点からすると、スコレムのパラドックスは、可算性が一階述語論理における絶対的な性質ではないことを示しているにすぎない。[ 16 ] [ 17 ]
スコレムは自身の研究を、（一階）集合論に対する批判であり、基礎体系としての集合論の弱点を明らかにするためのものだと説明した。
集合による公理化が数学の満足のいく究極的な基礎ではないことは明白であり、数学者のほとんどはそれにあまり関心を持たないだろうと私は信じていました。しかし最近、驚くべきことに、多くの数学者が集合論のこれらの公理が数学の理想的な基礎を提供すると考えているのを見て、批判の時が来たように思えました。[ 18 ]
—トーラルフ・スコレム、『公理化された集合論に関する若干の考察』（1922年）[注1 ]
一階述語論理の理論が十分に発展し、数学者たちがスコレムの結果の原因を理解できるようになるまでには時間がかかり、1920年代にはパラドックスの解決策は広く受け入れられていなかった。1928年、アブラハム・フランケルは依然としてこの結果をアンチノミーと表現していた。
矛盾についてはまだ決着がついておらず、その意義や可能な解決策についても合意には至っていない。[ 18 ]
—アブラハム・フランケル、『集合論入門』（1928年）[注2 ]
1925年、ジョン・フォン・ノイマンは集合論の新しい公理化を発表し、それがNBG集合論へと発展した。スコーレムの1922年の論文をよく知っていたフォン・ノイマンは、自身の公理の可算モデルを詳細に調査した。[ 19 ] [ 20 ]結論として、フォン・ノイマンは集合論の圏論的公理化、あるいは無限モデルを持つ他のいかなる理論も存在しないと述べた。スコーレムのパラドックスの影響について、彼は次のように書いている。
現時点では、集合論について懸念を抱く理由がまた一つ増えたこと、そして今のところこの理論を回復させる方法は知られていないことを指摘するにとどまる。[ 19 ]
—ジョン・フォン・ノイマン、『集合論の公理化』（1925年）[注3 ]
ツェルメロは当初、スコレムのパラドックスをでっち上げだと考え、1931年にスコレムの「相対主義」に反対した。[ 21 ]スコレムの結果は現在一階述語論理と呼ばれるものにのみ適用されるが、ツェルメロは一階述語論理の根底にある有限メタ数学に反対した。 [ 22 ]ツェルメロは数学的プラトン主義者であり、数学における直観主義と有限主義に反対していた。 [ 23 ]ツェルメロは、ある種の無限のプラトン的論理の理想を信じており、数学は本質的に無限の性質を持つと主張した。[ 24 ]ツェルメロは、自分の公理は代わりに二階述語論理で研究されるべきだと主張した。[ 25 ]二階述語論理ではスコレムの結果は適用されない。[ 12 ]ツェルメロは1930年に集合論の2次公理化を発表した。[ 26 ]スコレムの論文以降、ツェルメロが集合論の基礎について行ったさらなる研究は、累積階層の発見と無限論理の形式化につながった。[ 27 ]
1920年代に集合論者がスコレムのパラドックスに驚いたのは、当時の時代背景によるものであった。一階述語論理の振る舞いを明らかにし、その有限性を確立したゲーデルの完全性定理とコンパクト性定理は、1929年まで初めて証明されなかった。 [ 28 ]現在では一貫性のある一階述語論理の可算モデルを構築するための標準的な手法となっているレオン・ヘンキンの完全性定理の証明は、1947年まで発表されなかった。[ 29 ] [ 30 ]したがって、1920年代には、スコレムのパラドックスを許容する一階述語論理の特定の性質はまだ理解されていなかった。[ 31 ]現在では、スコレムのパラドックスは一階述語論理に特有のものであることが知られている。集合論を完全な意味論を持つ高階述語論理で研究すると、可算モデルは存在しない。[ 12 ]ツェルメロが1937年にパラドックスに対する最終的な反駁を執筆していた頃には、論理学者や集合論者のコミュニティは一階述語論理の不完全性をほぼ受け入れていた。ツェルメロはこの反駁を未完成のまま残した。[ 32 ]
後世の数学的論理学者は、スコレムのパラドックスを集合論の致命的な欠陥とは見なさなかった。スティーブン・コール・クリーネは、この結果を「明白な矛盾という意味でのパラドックスではなく、むしろ一種の異常」と表現した。[ 33 ]スコレムの、この結果は矛盾していないという主張を検討した後、クリーネは「絶対的な可算性の概念は存在しない」と結論付けた。[ 33 ]ジェフリー・ハンターはこの矛盾を「パラドックスとさえ言えない」と表現した。[ 34 ]フランケルらは、現代の数学者は、一階理論の範疇性の欠如を、ゲーデルの不完全性定理の結論、すなわち、一貫性があり、有効で、十分に強い一階公理の集合は完全ではないという結論を悩ませるのと同様に、悩ませていないと主張した。[ 35 ]
ルーベン・グッドスタインや王浩などの他の数学者は、「スコレム派」と呼ばれる見解を採用するまでに至った。すなわち、レーヴェンハイム＝スコレムの定理は、集合論における可算性の概念がモデルに相対的であることを証明するだけでなく、すべての集合は「絶対的」な観点から可算であると主張する。[ 36 ] LEJ ブロウワーも絶対的可算性の考え方の初期の支持者であり、数学的直観主義の観点からすべての集合は可算であると主張した。[ 37 ]スコレム派の見解とブロウワーの直観主義はどちらも数学的プラトン主義に反対しているが、[ 38 ]カール・ポージーはブロウワーの立場が以前の集合論的パラドックスへの反動であったという考えを否定している。[ 39 ]スコレムもまた数学的直観主義者であったが、彼は自分の考えがブロウワーに影響を受けたことを否定した。[ 40 ]
ツェルメロ・フレンケル集合論の可算モデルは、集合論の研究において一般的なツールとなっている。集合論を拡張するポール・コーエンの方法である強制法は、しばしば可算モデルの観点から説明され、金森明弘はこれをスコレムのパラドックスの一種の拡張として説明した。[ 41 ]これらのツェルメロ・フレンケル集合論の可算モデルが、依然として非可算集合が存在するという定理を満たすという事実は、病理とはみなされていない。ジャン・ファン・ヘイエノールトはこれを「パラドックスではなく、形式体系の斬新で予期せぬ特徴」と表現した。[ 42 ]
ヒラリー・パトナムは、スコレムの結果をパラドックスと考えたが、それは集合論や形式論理のパラドックスではなく、言語哲学のパラドックスであるとした。[43] 彼はスコレムのパラドックスを拡張し、集合論的なメンバーシップの概念が相対的であるだけでなく、言語の意味論的な概念も相対的であると主張した。つまり、言語における用語や述語には「絶対的な」モデルは存在しないということである。[ 44 ]ティモシー・ベイズは、パトナムの議論はレーヴェンハイム＝スコレムの定理を下方へ適用しすぎていると主張したが、[ 45 ]ティム・ボタンは、レーヴェンハイム＝スコレムの定理の使用または誤用にかかわらず、パトナムの主張は成り立つと主張した。[ 46 ]スコレムのパラドックスは科学哲学において何度か取り上げられており、学者たちはモデル構造の相対性というスコレムの考えを利用している。[ 47 ] [ 48 ]
