シャッテンノルム

数学、特に関数解析において、シャッテンノルム（またはシャッテン・フォン・ノイマンノルム）は、トレース類ノルムやヒルベルト・シュミットノルムと同様に、p積分可能性の一般化として生じます。

をヒルベルト空間とし、からへの（線型）有界作用素 とする。 に対して、 のシャッテンpノルムを次のように 定義する。${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle p\in [1,\infty )}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},}$

ここで、平方根演算子を使用します。 ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

がコンパクトで分離可能な場合、 ${\displaystyle T}$${\displaystyle H_{1},\,H_{2}}$

${\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}}$

の特異値、すなわち エルミート演算子の固有値。 ${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

以下では、が演算子ノルムであるという規則に従って、の範囲をに正式に拡張します。 への双対インデックスは です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\infty ]}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$${\displaystyle p=\infty}$${\displaystyle q=1}$

• シャッテンノルムはユニタリ不変である。ユニタリ演算子およびおよびに対して、${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$

${\displaystyle \|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.}$

• これらは、ヘルダーの不等式を満たす。すなわち、 となるすべての および に対して、およびヒルベルト空間との間にそれぞれ定義される演算子に対して、${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$${\displaystyle H_{1},H_{2},}$${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.}$

を満たす場合、 ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$

${\displaystyle \|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}}$。

後者のヘルダーの不等式は、より高い一般性で（​​シャッテンp類ではなく非可換空間に対して）証明されている。^[1] （行列の場合、後者の結果は^[2]に記載されている。） ${\displaystyle L^{p}}$

• 部分乗法性:ヒルベルト空間と間にそれぞれ定義されるすべてのおよび演算子に対して、${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$${\displaystyle H_{1},H_{2},}$${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.}$

• 単調性: の場合、${\displaystyle 1\leq p\leq p'\leq \infty }$

${\displaystyle \|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.}$

• 双対性:を有限次元ヒルベルト空間とし、となると、${\displaystyle H_{1},H_{2}}$${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

${\displaystyle \|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,}$

ここで はヒルベルト・シュミットの内積を表します。${\displaystyle \langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)}$

• をヒルベルト空間の2つの正規直交基底とすると、${\displaystyle (e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}}$${\displaystyle H_{1},H_{2}}$${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.}$

はヒルベルト・シュミットノルム（ヒルベルト・シュミット演算子を参照）、はトレースクラスノルム（トレースクラスを参照）、は演算子ノルム（演算子ノルムを参照）であることに注目してください。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

関数は準形式の例です。 ${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

有限のシャッテンノルムを持つ演算子はシャッテンクラス演算子と呼ばれ、そのような演算子の空間は で表されます。このノルムでは、はバナッハ空間であり、p  = 2 のときはヒルベルト空間です。 ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$

はコンパクト演算子の代数であることに注意してください。これは、和が有限であればスペクトルが有限または原点を極限点として可算になり、したがってコンパクト演算子になるという事実から導かれます (ヒルベルト空間上のコンパクト演算子を参照)。 ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})}$

p = 1の場合、核ノルム（トレースノルム、またはKy Fan nノルム^[3]とも呼ばれる） と呼ばれることが多い。

マトリックスノルム

• Rajendra Bhatia、「マトリックス分析」、第169巻。Springer Science & Business Media、1997年。
• John Watrous、「量子情報理論」、2.3 演算子の規範、講義ノート、ウォータールー大学、2011 年。
• Joachim Weidmann、ヒルベルト空間の線形演算子、Vol. 20. ニューヨーク州スプリンガー、1980 年。