シューベルト計算

数学において、シューベルト計算^[1]は、19世紀にヘルマン・シューベルトが射影幾何学のさまざまな計数問題を解くために導入した代数幾何学の一分野であり、それ自体、列挙幾何学の一部と見なされています。 これにさらに厳密な基礎を与えることが、ヒルベルトの第15問題の目的でした。 これは、特性類などのいくつかのより現代的な概念に関連しており 、そのアルゴリズム的側面と応用の両方が現在でも関心を集めています。シューベルト計算という用語は、ベクトル空間の線型部分空間の列挙幾何学を意味するために使用されることもあり、これはグラスマン多様体のコホモロジー環を記述することとほぼ同等です。 単純リー群の同次空間である代数多様体のより一般的な列挙幾何学を意味するために使用されることもあります。 さらに一般的には、シューベルト計算は、一般化されたコホモロジー理論における類似の問題の研究を含むものとして理解されることもあります。

シューベルトによって導入されたオブジェクトはシューベルトセル^[2]であり、これは与えられたフラグを持つ射影空間の線型部分空間の接続条件によって定義されるグラスマン多様体内の局所的に閉じた集合である。詳細についてはシューベルト多様体を参照。

これらのセルの交差理論[ ^3]は、グラスマン多様体のコホモロジー環の積構造として見ることができ、関連するコホモロジー類から成り、特にセルの交差が点の有限集合となるケースの決定を可能にする。重要な結果は、シューベルトセル（または、そのザリスキ閉包、シューベルトサイクル、またはシューベルト多様体の類）がコホモロジー環全体に広がることである。

組合せ論的側面は、主にシューベルトサイクルの交差を計算することに関連して生じます。等質空間であるグラスマン多様体から、それに作用する一般線型群へと持ち上げられると、同様の問題が、放物型部分群（ブロック三角行列として） のブリュア分解と分類に関係します。

シュベルト計算はグラスマン多様体のチャウ環 ^[3]を使って構築することができ、ここで生成サイクルは幾何学的に定義されたデータによって表される。^[4]固定次元ベクトル空間における -平面のグラスマン多様体を と表記し、そのチャウ環を と表記する。(グラスマン多様体は、ベクトル空間が明示的に与えられていない場合や、周囲空間とその-次元部分空間がそれらの射影によって置き換えられた場合のように表記されることがある点に注意する。) 任意の完全フラグを選択する${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$${\displaystyle \mathbb {G} (k-1,n-1)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,}$

整数の弱減少組ごとに、ここで ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,}$

つまり、重量の 各区分に

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}$

のヤング図が分割の長方形図に当てはまる場合、シューベルト多様体^{[1] [2]}（またはシューベルトサイクル）を関連付け、次のように定義される。 ${\displaystyle k\times (n-k)}$${\displaystyle (n-k)^{k}}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.}$

これはザリスキー位相幾何学におけるシューベルトセルの閉包である^{[1] [2]}

${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}n-k-a_{i}+i\leq j\leq n-k-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),}$

これは、Chow 環の代わりに細胞ホモロジーを考えるときに使用されます。後者は次元 の互いに素なアフィン空間であり、その和は です。 ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

シューベルトセルの同等の特徴付けは、双対完全フラグによって与えられる。${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

どこ

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{n-i},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).}$

そして、これらの-次元部分空間は、 要素からなる 基底を持ち、${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

部分空間の${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.}$

ホモロジー類はシューベルト類と呼ばれ、完全な旗の選択に依存しないので、次のように書くことができる。 ${\displaystyle [\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).}$

これらのクラスは線形独立であり、その線形スパンとして Chow 環を生成することが示されます。関連する交差理論は、シューベルト計算と呼ばれます。 を持つ特定のシーケンスに対して、シューベルトクラスは通常、単に と表されます。単一の整数 、(つまり、水平分割) によって与えられるシューベルトクラスは、特殊クラスと呼ばれます。以下のGiambelli の公式を使用すると、すべてのシューベルトクラスをこれらの特殊クラスから生成できます。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$${\displaystyle a_{j}>0}$${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}$${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}$${\displaystyle \sigma _{a_{1}}}$

いくつかの文献^{[1] [2]}では、シューベルト細胞とシューベルト多様体はそれぞれ およびと異なる名称で表記されており、 はを で区切った補数である。 ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$${\displaystyle S_{\lambda }}$${\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-a_{k-i+1}}$、

そのヤング図は、長方形図内のの補図形です（水平方向と垂直方向の両方で反転されています）。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle k\times (n-k)}$

およびの別のラベル付け規則はそれぞれ およびで あり、ここで は次 のように定義される多重インデックスである。 ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$${\displaystyle C_{L}}$${\displaystyle {\bar {C}}_{L}}$${\displaystyle L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)}$

${\displaystyle L_{i}:=n-k-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.}$

整数は、簡約された行列階段形式におけるの要素の表現のピボット位置です。 ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{k})}$${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$

定義を説明するために、一般的な-平面を考えてみましょう。 の場合、 との交差はゼロになりますが、 ${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle j\leq n-k}$

${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)=i}$のために${\displaystyle j=n-k+i\geq n-k.}$

たとえば、 では、-平面は 5 つの独立した同次線形方程式のシステムの解空間です。 これらの方程式は、の部分空間に制限されると一般に を張ります。その場合、解空間 ( と の交点) はゼロ ベクトルのみで構成されます。 ただし、 の場合、と は必ず非ゼロの交点を持ちます。 たとえば、との交点の予想される次元は であり、と の交点の予想される次元は であり、などとなります。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} (4,9)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(w)>n=9}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V_{6}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V_{7}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 2}$

シューベルト多様体の定義によれば、 の最初の値はパラメータによって期待される値よりも一般的に小さくなります。これらの制約によって与えられた-平面は の特別な部分多様体を定義します。^[4]${\displaystyle j}$${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)\geq i}$${\displaystyle n-k+i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

全ての-組には半順序があり、任意の に対してとなる。これにより、シューベルト多様体の包含が得られる。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {a} \geq \mathbf {b} }$${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,}$

指標の増加は、サブ多様体のさら​​に大きな特殊化に対応していることを示しています。

シューベルト多様体は、重さに等しい次元を持つ。 ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum a_{i}}$

分割の。あるいは、上記の表記法では、その余次元は重み ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle S_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-|\mathbf {a} |.}$

次元長方形ヤング図の補完分割。 ${\displaystyle \lambda \subset (n-k)^{k}}$${\displaystyle k\times (n-k)}$

これはグラスマン多様体の包含に対して安定である。つまり、包含

${\displaystyle i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$

によって 定義される、${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$

${\displaystyle i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

特性を持つ

${\displaystyle i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },}$

そして包含

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)}$

各平面に追加の基底要素を追加して定義される平面は、 ${\displaystyle e_{n+1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

同様に

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.}$

したがって、と がグラスマン多様体 のセルと部分多様体である場合、と の任意のペアに対して、これらはグラスマン多様体 内のセルと部分多様体とみなすこともできます。 ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$${\displaystyle ({\tilde {k}},{\tilde {n}})}$${\displaystyle {\tilde {k}}\geq k}$${\displaystyle {\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k}$

交差積は、ピエリとジャンベリの公式を使用して初めて確立されました。

特別な場合では、任意のシューベルト類との積の明示的な式が次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },}$

ここで、はパーティションの重みです。これはピエリの公式と呼ばれ、ジャンベリの公式と組み合わせることで、任意の 2 つのシューベルト類の交差積を決定するために使用できます。たとえば、 ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}$${\displaystyle |\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}}$

${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.}$

そして

${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}$

任意の長さの分割のシューベルト類は、特殊類を要素として持つ行列 の行列式として表現できます。${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}$${\displaystyle \ell (\mathbf {a} )\leq k}$${\displaystyle (k\times k)}$

${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}$

これはジャンベリの公式として知られています。これは最初のヤコビ-トゥルディ恒等式と同じ形式を持ち、任意の シューア関数を 完全対称関数の行列式として 表します。 ${\displaystyle s_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \{h_{j}:=s_{(j)}\}}$

例えば、

${\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}$

そして

${\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.}$

任意のシューベルト類の組の間の交差積は 次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },}$

ここで、はリトルウッド・リチャードソン係数である。^[5]ピエリの公式は、長さが のときの特別な場合である。 ${\displaystyle \{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}}$${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \ell (\mathbf {b} )=1}$

グラスマン多様体のコホモロジー環、またはチョウ環は、上の2つの自然なベクトル束のチャーン類を使って簡単に記述できる 。 上のベクトル束の正確な列は次のようになる。${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}$

ここで、はトートロジーバンドルであり、その任意の要素上の繊維は部分空間自身であり、 は を繊維として持つ階数 の自明なベクトルバンドルであり、はを繊維として持つ階数 の商ベクトルバンドルで ある 。バンドルと のチャーン類は、${\displaystyle T}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle V/w}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},}$

ここで、ヤング図は長さの1列と ${\displaystyle (1)^{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}.}$

このトートロジーシーケンスにより、チョウ環は次のように表現される。

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.}$

分析された古典的な例の1つはグラスマン多様体であり、これは 内の直線をパラメータ化するものである。チョウ環を使用すると、シューベルト計算を使用して、立方体表面上の直線の数を計算することができる。^[4]${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))}$

チャウリングにはプレゼンテーションがあります

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

次数付きアーベル群^[6]として次のように表される 。

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}$

内の直線はの次元部分空間、つまり の元を与えることを思い出してください。また、直線の方程式は の切断として与えることができます。3 次曲面は一般的な同次 3 次多項式として与えられるため、これは一般的な切断 として与えられます。直線が の部分多様体であるためには、切断が 上で消える必要があります。したがって、のオイラー類を上で積分すると、 上で一般的な切断が消える点の数が得られます。オイラー類を得るためには、 の全体のチャーン類を計算する必要があり、これは次のように与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)}$${\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$

分割式は次の式で表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},}$

ここで、形式的直線束 は となる。分割方程式は、次の関係を与える。 ${\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }$${\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }$${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }$そして。${\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }$

は形式直線束の直和として見ることができる ので${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$

その合計チャーン類は

${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),}$

すると

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}}$

という事実を利用して

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$そして${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.}$

は最上位クラスなので、積分は ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.}$

したがって、立方体の表面には線が存在します。 ${\displaystyle 27}$

• 列挙幾何学
• チャウリング
• 交差理論
• グラスマン
• ジャンベッリの公式
• ピエリの公式
• チャーンクラス
• 五次三重
• 鏡対称性予想

• サマースクールノート http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
• フィリップ・グリフィスとジョセフ・ハリス（1978）『代数幾何学の原理』第1.5章
• クライマン、スティーブン(1976)。「シューベルトの列挙法の厳密な基礎」。フェリックス E. ブラウダー(編)。ヒルベルト問題から生じる数学的発展。純粋数学シンポジウムの議事録。第 XXVIII.2 巻。アメリカ数学会。pp . 445–482。ISBN 0-8218-1428-1。
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• フルトン、ウィリアム(1997)。Young Tableaux。表現理論と幾何学への応用、第 5 章と第 9.4 章。ロンドン数学会学生テキスト。第 35 巻。ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局。doi :10.1017/ CBO9780511626241。ISBN 9780521567244。
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