クレプシュ面

数学において、クレプシュ対角三次曲面、またはクラインの二十面体三次曲面は、クレプシュ (1871) とクライン (1873) によって研究された特異でない三次曲面であり、その 27 の例外直線はすべて 実数上で定義できます。クラインの二十面体曲面という用語は、この曲面、または 10 個のエッカルト点でのその爆発を指すことがあります。

クレプシュ面は、次の式を満たす P ⁴の点 ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ : x ₄ )の集合である。

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,}$

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

x _0を消去すると、これも曲面と同型であることがわかる。

${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{3}}$

P ³では、 ℝ ³では^[1]のように表される。

クレプシュ面の対称群は、座標の順列（P ^{4内）によって作用する、位数 120 の}対称群 S ₅である。同型性を除き、クレプシュ面はこの自己同型群を持つ唯一の立方体曲面である。

例外となる 27 の路線は次のとおりです。

• （ a  :−a :  b :  −b : 0）の形をした点の線の15枚の画像（S5_の下）  。
• ^{点 (1:ζ: ζ 2} : ζ ³ : ζ ⁴ )を通る直線とその複素共役の 12 個の像。ここで、ζ は 1 の原始 5 乗根です。

この曲面には、3 本の直線が交わる 10 個のエッカルト点があり、点 (1 : −1 : 0 : 0 : 0) と、その順列共役によって与えられます。Hirzebruch (1976) は、10 個のエッカルト点でクレプシュ曲面を拡大して得られる曲面が、体Q ( √ 5 ) のヒルベルト モジュラー群のレベル 2 主合同部分群のヒルベルト モジュラー曲面であることを示しました。ヒルベルト モジュラー群をそのレベル 2 合同部分群で割った商は、5 点上の位数 60 の交代群と同型です。

すべての非特異な立方面と同様に、クレプシュ立方面は、射影平面を6 点に拡大することで得られます。クライン (1873) は、これらの点を次のように説明しました。射影平面が、原点を中心とする20 面体を含む 3 次元ベクトル空間内の原点を通る直線の集合と同一視される場合、6 つの点は、20 面体の 12 頂点を通る 6 本の直線に対応します。エッカルト点は、20 面の中心を通る 10 本の直線に対応します。

埋め込み( 1 )を用いると、27本の線は⟨a , b , c⟩t + ⟨p , q , r⟩で与えられる。ここでa , b , c , p , q , rはすべて次の表の同じ行から取られる。^[2]

• Clebsch, A. (1871)、「Ueber die Anwendung derquadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grades und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits」、Mathematische Annalen、4 (2): 284–345、doi :10.1007/BF01442599
• ヒルツェブルフ、フリードリヒ(1976)、「体 Q(√5) のヒルベルト モジュラー群とクレプシュとクラインの 3 次対角面」、ロシア数学調査、31 (5): 96–110、doi :10.1070/RM1976v031n05ABEH004190、ISSN  0042-1316、MR  0498397
• ハント、ブルース（1996）、いくつかの特殊な算術商の幾何学、数学講義ノート、第1637巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/BFb0094399、ISBN 978-3-540-61795-2、MR  1438547
• クライン、フェリックス (1873)、「Ueber Flächen dritter Ordnung」、Mathematische Annalen、6 (4)、Springer Berlin / Heidelberg: 551–581、doi :10.1007/BF01443196

• ワイスタイン、エリック・W.「クレブシュ対角立体」。マスワールド。