疑似ラピディティ

実験粒子物理学において、擬ラピディティ（擬ラピディティ）は、ビーム軸に対する粒子の角度を表す 空間座標としてよく用いられる。次のように定義される。${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle \eta \equiv -\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right],}$

ここで、は粒子の3次元運動量とビーム軸の正方向との間の角度である。 ^[1]逆に、 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \theta =2\arctan \left(e^{-\eta }\right).}$

3元運動量の関数として擬ラピディティは次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\left|\mathbf {p} \right|+p_{\text{L}}}{\left|\mathbf {p} \right|-p_{\text{L}}}}\right)=\operatorname {arctanh} \left({\frac {p_{\text{L}}}{\left|\mathbf {p} \right|}}\right),}$

ここで、 はビーム軸に沿った運動量の成分です（つまり、縦方向の運動量です。ハドロン衝突型加速器物理学の従来の座標系では、これは とも表記されます）。粒子が光速に近い速度で移動する限界、または同等に粒子の質量が無視できる近似では、次のように置き換えることができます（つまり、この限界では、粒子の唯一のエネルギーは光子の場合と同様に、運動量エネルギーです）。したがって、擬似ラピディティは、実験粒子物理学で使用されるラピディティの定義に収束します。 ${\displaystyle p_{\text{L}}}$${\displaystyle p_{z}}$${\displaystyle m\ll |\mathbf {p} |\Rightarrow E\approx |\mathbf {p} |\Rightarrow \eta \approx y}$

${\displaystyle y\equiv {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {E+p_{\text{L}}}{E-p_{\text{L}}}}\right)}$

これは、の代わりに を使用する特殊相対性理論におけるラピディティの定義とは若干異なります。しかし、擬似ラピディティは粒子の軌道の極角のみに依存し、粒子のエネルギーには依存しません。ハドロン衝突型加速器実験では、「前方」方向について言及しますが、これは高い でビーム軸に近い検出器の領域を指します。「前方」と「後方」の区別が重要な文脈では、前者は正のz方向を指し、後者は負のz方向を指します。 ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$${\displaystyle p_{\text{L}}}$${\displaystyle |\eta |}$

ハドロン衝突型加速器物理学では、極角よりもラピディティ（または擬似ラピディティ）が好まれる。これは、大まかに言えば、粒子生成はラピディティの関数として一定であり、ラピディティの差は縦軸に沿ったブーストに対してローレンツ不変であるためである。つまり、ガリレイ相対論における速度と同様に、ラピディティは加算的に変換する。したがって、粒子間のラピディティ差の測定（または関与する粒子が質量を持たないかどうか）は、基準フレーム（実験室フレームなど）の縦ブーストに依存しない。これは、衝突するパートンが異なる縦方向の運動量比x を持ち、パートン-パートン衝突の静止フレームが異なる縦方向のブーストを持つことを意味するハドロン衝突型加速器物理学にとって重要な特徴である。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \デルタ\eta}$

擬似ラピディティの関数としてのラピディティは次のように表される。

${\displaystyle y=\ln \left({\frac {{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}\cosh ^{2}\eta }}+p_{\text{T}}\sinh \eta }{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}}}}\right),}$

ここで、横方向の運動量（つまり、ビーム軸に垂直な 3 次運動量の成分）です。 ${\textstyle p_{\text{T}}\equiv {\sqrt {p_{\text{x}}^{2}+p_{\text{y}}^{2}}}}$

の2次マクローリン展開を用いると、ラピディティは次のように近似できる。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle m/p_{\text{T}}}$

${\displaystyle y\approx \eta -{\frac {p_{\text{L}}}{2|\mathbf {p} |}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\tanh {\eta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\cos {\theta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2},}$

これにより、 の相対論的粒子の場合、擬ラピディティが（真の）ラピディティに等しくなることが簡単にわかります。 ${\displaystyle p_{\text{T}}\gg m}$

ラピディティは、粒子物理学で一般的に使用される粒子間の角度分離の尺度を定義するために使用され、縦方向（ビーム）に沿ったブーストに対してローレンツ不変です。多くの場合、この表現のラピディティ項は擬似ラピディティに置き換えられ、純粋に角度量による定義が生成されます。これは、関係する粒子が質量を持たない場合、ローレンツ不変です。方位角の差 は、ビームラインに直交する平面（つまり、「横方向」のxy平面）で測定されるため、ビームライン（z軸）に沿ったローレンツブーストに対して不変です。 ${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta y\right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta \eta \right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$${\displaystyle \Delta \phi }$

代表的な値を以下に示します。

擬似ラピディティは について奇数です。言い換えると、です。 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$${\displaystyle \eta (\theta )=-\eta (180^{\circ }-\theta )}$

ハドロン衝突型加速器は、横方向運動量、横方向平面の極角、擬似ラピディティの観点から物理的な運動量を測定します。直交座標系での運動量（-軸をビーム軸として定義）を取得するには、次の変換が使用されます。 ${\displaystyle p_{\text{T}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \langle p_{\text{x}},p_{\text{y}},p_{\text{z}}\rangle }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle p_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}}=p_{\text{T}}\sinh {\eta },}$

となる。は縦方向の運動量成分であり、上のテキストでは と表記されている（はハドロン衝突型加速器での標準的な表記法である）。 ${\displaystyle |\mathbf {p} |=p_{\text{T}}\cosh {\eta }}$${\displaystyle p_{\text{z}}}$${\displaystyle p_{\text{L}}}$${\displaystyle p_{\text{z}}}$

「真の」ラピディティを使用して完全な4 元運動量(自然単位)を取得するための同等の関係は次のとおりです。 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle p_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}}=m_{\text{T}}\sinh {y}}$

${\displaystyle E=m_{\text{T}}\cosh {y},}$

ここで横方向の質量は です。 ${\displaystyle m_{\text{T}}\equiv {\sqrt {p_{\text{T}}^{2}+m^{2}}}}$

ビーム軸に沿った速度の増加は、関係式を用いたラピディティの付加的変化に対応する。このようなローレンツ変換の下では、粒子のラピディティは となり、4元運動量は ${\displaystyle \beta _{\text{z}}}$${\displaystyle y_{\text{boost}}}$${\displaystyle \beta _{\text{z}}=\tanh {y_{\text{boost}}}}$${\displaystyle y'=y+y_{\text{boost}}}$

${\displaystyle p'_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{z}}=m_{\text{T}}\sinh {\left(y+y_{\mathrm {boost} }\right)}}$

${\displaystyle E'=m_{\text{T}}\cosh {\left(y+y_{\mathrm {boost} }\right)}.}$

この種の変化はハドロン衝突型加速器では一般的である。例えば、同じ種類の2つのハドロンが同じ速度でビーム軸に沿って非弾性衝突を起こした場合、対応するラピディティは

${\displaystyle y_{\mathrm {boost} }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x_{1}}{x_{2}}},}$

ここで、 およびは衝突するパートンの運動量比です。 複数の粒子が同一の衝突で生成される場合、任意の 2 つの粒子と 間のラピディティの差は、ビーム軸に沿ったそのようなブーストに対して不変であり、両方の粒子が質量ゼロ ( ) の場合、これは擬似ラピディティ ( ) にも当てはまります。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \Delta y_{ij}=y_{i}-y_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle m_{i}=m_{j}=0}$${\displaystyle \Delta \eta _{ij}}$

• V. Chiochia (2010)チューリッヒ大学の加速器と粒子検出器