順位と規模の分布

ランクサイズ分布は、サイズの降順によるランクごとのサイズの分布です。たとえば、データ セットがサイズ 5、100、5、8 のアイテムで構成されている場合、ランクサイズ分布は 100、8、5、5 (ランク 1 から 4) です。これは、ソース データが頻度分布からのものである場合、ランク頻度分布とも呼ばれます。これらは、都市の規模や単語の頻度など、データのスケールが大きく異なる場合に特に重要です。これらの分布は、特定のランクの範囲では少なくとも近似的に、べき乗分布、またはあまり知られていない伸張指数関数や放物線フラクタル分布に従うことがよくあります。以下を参照してください。

ランクサイズ分布は、確率分布や累積分布関数ではありません。むしろ、逆の順序で離散形式となった分位関数(逆累積分布) であり、特定のランクにおける要素のサイズを示します。

都市人口の場合、国、地域、または世界における分布は、その国で最大の都市を特徴とし、他の都市はそれに応じて規模が縮小し、最初は急速に、その後はより緩やかになります。その結果、少数の大都市と、桁違いに小さい都市がはるかに多く存在します。たとえば、ランク 3 の都市の人口は、その国で最大の都市の 3 分の 1 であり、ランク 4 の都市の人口は、最大の都市の 4 分の 1 などです。^[2]

ランクサイズ（またはランク頻度）分布は、多くの場合、範囲に分割されます。これは、特に市場セグメンテーションの場合、ある程度恣意的に、または外部要因によって行われることが多いですが、ランクが変化する際の明確な動作によって行われる場合もあります。

最も単純かつ一般的な方法として、分布はヘッドとテールと呼ばれる2つの部分に分けられます。分布が3つの部分に分かれている場合、3番目（真ん中）の部分には通常、ミドル[ ^3]、ベリー^[4] 、トルソ^[5]、ボディ^[6]など、いくつかの用語が含まれます。これらには、ロングテール、ファットベリー^[4]、 チャンキーミドルなど、いくつかの形容詞が追加されることがよくあります。より伝統的な用語では、これらはトップ層、ミッド層、ボトム層と呼ばれることがあります。

これらのセグメントの相対的なサイズと重み (各セグメントのランク数、および特定のセグメントに含まれる全人口の割合) は、確率分布の歪度または尖度と同様に、分布を定性的に特徴付けます。つまり、少数の上位メンバーによって支配されているか (レコード音楽業界の利益のように先頭が重い)、多数の小さなメンバーによって支配されているか (インターネット検索クエリのように末尾が重い)、または他の方法で分布しているかです。実際には、これによって戦略が決まります。つまり、どこに注意を集中すべきかということです。

こうした区別は、さまざまな理由でなされることがあります。たとえば、90-9-1 の原則のように、母集団の異なる特性から生じることがあります。この原則では、インターネット コミュニティでは、コミュニティの参加者の 90% はコンテンツを閲覧するだけで、9% はコンテンツを編集し、1% は新しいコンテンツを積極的に作成すると仮定しています。別の例として、マーケティングでは、実際的には、個人的な電話など、個別の対応を受けるすべてのメンバーをヘッドと見なすことができます。一方、個別の対応を受けないその他のすべてのもの、たとえば定型文の受信をテールと見なすことができます。境界線は、リソースが許すポイント、またはビジネス上停止するのが理にかなっているポイントに設定されます。

純粋に定量的に、分布を先頭と末尾に分割する従来の方法は、先頭を全体の人口のp番目までの順位と見なすことです。これは、80:20 のパレートの法則で、上位 20% (先頭) が全体の人口の 80% を構成することと同じです。正確なカットオフは分布によって異なります (各分布にはそのようなカットオフ ポイントが 1 つあります)。また、検出力については、パレート指数から法則を計算できます。 ${\displaystyle 1-p}$

順位が変わると分布の挙動が実際に変化し、その結果としてセグメントが自然に発生することがあります。最も一般的なのはキング効果で、これは上位の少数の項目の挙動が残りの項目のパターンに当てはまらないというものです。これは、上の図で国の人口について、また上の図で英語版ウィキペディアで最も一般的な単語について示されています。順位が上がると、ある時点で挙動が変わることがあり、異なる地域では異なる関係によって、全体としては区分関数によって適切にモデル化されます。たとえば、2 つの異なるべき乗則が異なる地域でよりよく当てはまる場合、全体的な関係には破れたべき乗則を使用できます。英語版ウィキペディアの単語頻度 (上記) もこれを実証しています。

優先的愛着から生じるユール・サイモン分布（直感的には「金持ちはますます金持ちになる」や「成功は成功を生む」）は破綻したべき乗則をシミュレートし、単語の頻度と順位の分布を「非常によく捉えている」ことが示されています。^[7] これは、異なる種の人口と順位の関係を説明しようとしたことから生まれました。また、都市の人口と順位の関係にもよりよく当てはまることが示されています。^[8]

ランクサイズルール（または法則）は、都市の規模の分布、企業の規模、粒子（砂など）のサイズ、川の長さ、単語の使用頻度、個人の富など、多くの現象における驚くべき規則性を説明します。

これらはすべて、ジップの法則、ユール分布、パレート分布などのべき乗法則に従う現実世界の観察結果です。特定の国または世界全体の都市の人口規模を順位付けし、順位と都市人口の自然対数を計算すると、結果として得られるグラフは線形パターンを示します。これが順位規模分布です。^[9]

ジップの法則は多くの場合うまく機能しますが、多くの国の大都市には当てはまらない傾向があります。逸脱の一種はキング効果として知られています。2002年の研究では、ジップの法則は73か国のうち53か国で否定されましたが、これは偶然の確率に基づいて予想されるよりもはるかに多い数です。^{[10]この研究では、パレート指数の変動は、}規模の経済や輸送費の代理変数などの経済地理変数よりも、政治的変数によってよりよく説明されることもわかりました。 ^[11] 2004年の研究では、ジップの法則は6か国の5大都市ではうまく機能しませんでした。^[12]より豊かな国では、分布は予測よりも平坦でした。たとえば、米国では、最大都市のニューヨーク市の人口は2位のロサンゼルスの2倍以上ですが、2つの都市の大都市圏（これも国内で最大の2つ）の人口はかなり接近しています。大都市圏の人口では、ニューヨーク市はロサンゼルスの1.3倍しかありません。他の国では、最大都市が予想以上に大きな影響力を持つことになる。例えば、コンゴ民主共和国では、首都キンシャサの人口は第2の都市ルブンバシの8倍以上である。最小の都市も含めた都市の分布全体を考慮すると、順位規模のルールは当てはまらない。代わりに、分布は対数正規分布となる。これは、ジブラの比例成長の法則に従う。

例外は非常に簡単に見つかるため、今日、都市を分析するためのこの規則の機能は、さまざまな国の都市システムを比較することです。ランクサイズ規則は、都市の優位性を確立するための共通の基準です。米国や中国などの分布は優位性のパターンを示しませんが、支配的な「プライメット都市」を持つ国は、ランクサイズ規則とは明らかに逆の方法で異なります。したがって、この規則は、最大都市が示す優位性の度合いに従って、国（または地域）の都市システムを分類するのに役立ちます。たとえば、プライメット都市を持つ国は、通常、その都市パターンを説明する植民地の歴史を持っています。通常の都市分布パターンがランクサイズ規則に従うと予想される場合（つまり、ランクサイズ原則が中心地理論と相関する場合）、規則に従わない分布を持つ国または地域では、通常の分布パターンを変更する何らかの条件が経験されたことが示唆されます。たとえば、中国や米国などの大国では、複数の地域が存在するため、ルールで予測されるよりも多くの大都市が出現するパターンになりがちです。対照的に、（植民地的または経済的に）はるかに広い地域とつながっていた小国では、最大都市が他の都市と比較してルールに適合するよりもはるかに大きい分布を示します。都市の過剰な大きさは、理論的には、中心地理論がその国または地域のみで予測する自然な階層ではなく、より大きなシステムとのつながりに起因します。

• パレートの法則
• ロングテール

• Brakman, S.; Garretsen, H.; Van Marrewijk, C.; Van Den Berg, M. (1999). 「Zipf の復活: ランクサイズ分布のさらなる理解に向けて」Journal of Regional Science . 39 (1): 183–213. doi :10.1111/1467-9787.00129. S2CID  56011475.
• Guérin-Pace, F. (1995). 「ランクサイズ分布と都市成長のプロセス」.都市研究. 32 (3): 551–562. doi :10.1080/00420989550012960. S2CID  154660734.
• Reed, WJ (2001). 「パレート法、ジップ法、その他のべき乗法則」.経済学レター. 74 (1): 15–19. doi :10.1016/S0165-1765(01)00524-9.
• Douglas R. White、Laurent Tambayong、Nataša Kejžar。2008年。世界史システムにおける都市規模分布の振動ダイナミクス。進化プロセスとしてのグローバリゼーション：地球規模の変化のモデリング。George Modelski、Tessaleno Devezas、William R. Thompson編。ロンドン： Routledge。ISBN 978-0-415-77361-4 
• 地域科学におけるエージェントベースモデルの使用 - ランクとサイズの分布を説明するエージェントベースのシミュレーション研究。

• ウィキメディア・コモンズのランクサイズ分布に関連するメディア