放物線フラクタル分布

確率と統計学において、放物型フラクタル分布は、集団内の実体の頻度またはサイズの対数が、順位の対数の二次多項式である（最大の例は順位が 1 である）離散確率分布の一種である。これにより、単純なべき乗関係に対する適合性が著しく向上する可能性がある（下記の参考文献を参照）。

以下の Laherrère/Deheuvels の論文では、例として銀河のサイズ (明るさ順)、都市 (米国、フランス、世界)、世界の話し言葉 (話者数順)、世界の油田 (サイズ順) が挙げられています。また、地震イベントのフィッティングにおけるこの分布の有用性についても言及されています (例なし)。著者らは、この分布の利点は、モデル化されている人口の最大の既知の例を使用してフィッティングできることであり、これらの例は多くの場合、容易に入手でき、完全です。次に、見つかったフィッティングされたパラメータを使用して、人口全体のサイズを計算できます。したがって、たとえば、地球上の 100 大都市の人口を並べ替えてフィッティングし、見つかったパラメータを使用して最小の村まで外挿し、地球の人口を推定できます。別の例としては、最大の油田を使用して世界全体の石油埋蔵量を推定することが挙げられます。

多くの応用において、いわゆるキング効果があり、これは、最上位の項目の頻度またはサイズが、他の項目に基づいてモデルが予測するよりも大幅に大きいというものです。Laherrère/Deheuvels の論文では、フランスの町の規模を分類する際のパリの例を示しています。論文が執筆された当時、パリは人口約 1,000 万人で最大の都市でしたが、次に大きい町の人口は約 150 万人でした。パリを除くフランスの町は放物線分布によく従っており、56 番目に大きい町の人口から、国の人口を非常に正確に推定できます。しかし、その分布では、最大都市の人口は 1,000 万人ではなく、約 200 万人と予測されます。キング効果は、王が王位をめぐるすべてのライバルを倒して富、土地、権力を奪い、それによって自分と次に裕福な臣下の間に緩衝帯を作るという考えにちなんで名付けられました。この特定の効果 (意図的に作成されたもの) は、最大規模の企業がその富を使って小規模なライバルを買収する企業規模に当てはまる可能性があります。意図がない場合、キング効果は、規模の経済による持続的な成長の利点、または独自の利点の結果として発生する可能性があります。大都市は、人々、才能、その他のリソースをより効率的に結び付けます。独自の利点には、港湾都市であること、法律が制定される首都であること、または物理的な近接性が機会を増やしフィードバック ループを生み出す活動の中心地であることなどがあります。一例として、映画産業が挙げられます。俳優、作家、その他の労働者はスタジオが最も多い場所に移動し、最も才能のある人材がいる場所であるために、同じ場所に新しいスタジオが設立されます。

キング効果をテストするには、分布を「k」個の上位ランクの項目を除いて適合させる必要がありますが、残りの人口メンバーに新しいランク番号を割り当てないでください。たとえば、フランスではランクは次のとおりです (2010 年現在)。

1. パリ、12.09M
2. リヨン、2.12M
3. マルセイユ、172万
4. トゥールーズ、120万
5. リール、115万

フィッティング アルゴリズムは、ペア {(1,12.09)、(2,2.12)、(3,1.72)、(4,1.20)、(5,1.15)} を処理し、それらのポイントを通る最適な放物線フィッティングのパラメーターを見つけます。キング効果をテストするには、最初のペア (または最初の 'k' ペア) を除外し、残りのポイントに適合する放物線パラメーターを見つけます。したがって、フランスの場合、4 つのポイント {(2,2.12)、(3,1.72)、(4,1.20)、(5,1.15)} をフィッティングします。次に、これらのパラメーターを使用して、[1,k] にランク付けされた都市のサイズを推定し、キング効果のメンバーであるか通常のメンバーであるかを判断できます。

それに比べて、ジップの法則は、点を通る直線に近似します (これも順位の対数と値の対数を使用します)。放物線(パラメーターが 1 つ多い) の方がよく近似しますが、頂点から遠い放物線もほぼ直線です。したがって、統計学者の判断ではありますが、近似パラメーターによって頂点が近似点から遠く離れている場合、または放物曲線が直線よりも大幅に近似しない​​場合は、過剰適合(つまり、過剰パラメーター化) の兆候である可能性があります。直線 (3 つではなく 2 つのパラメーターを使用) の方が、おそらくより一般化されています。パラメーターが多いほど、常によく近似しますが、説明できないパラメーターや不当な仮定 (わずかな放物曲線の方が直線よりも適切なモデルであるという仮定など) が追加されるという代償があります。

あるいは、フィッティングされた放物線の頂点をランク 1 の位置に強制的に配置することも可能です。その場合、放物線が直線よりもフィッティングが優れている (誤差が少ない) かどうかは不明であり、誤差が最も少ない方に基づいて 2 つのうちから選択が行われる可能性があります。

確率質量関数は、階数nの関数として次のように与えられる。

${\displaystyle f(n;b,c)\propto n^{-b}\exp(-c(\log n)^{2}),}$

ここで、bとc は分布のパラメータです。

• ジップの法則

• Laherrère J、Deheuvels P (1996) 「自然界の「フラクタル放物線型」分布」 (フランス語、英語の要約付き: 自然界の「放物線フラクタル」分布)、(http://www.hubbertpeak.com/laherrere/fractal) .htm) Comptes rendus de l'Académie des Sciences、Série II a: Sciences deラ・テールとプラネテス、322、(7)、535–541
• Xie, S.; Yang, YG; Bao, ZY; Ke, XZ; Liu, XL (2009). 「放物線フラクタルによる鉱物資源分析」.鉱業科学技術 (中国) . 19 : 91–96. doi :10.1016/S1674-5264(09)60017-X.