遷移カーネル

確率の数学において、遷移カーネルまたはカーネルは、さまざまな用途を持つ数学の関数です。カーネルは、たとえば、ランダムな尺度や確率過程を定義するために使用できます。カーネルの最も重要な例は、マルコフカーネルです。

を2つの測定可能な空間とする。関数 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

${\displaystyle \kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

は、次の2つの条件が満たされる場合、からへの（遷移）カーネルと呼ばれる：[ 1 ^]${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

• 任意の固定された に対して、マッピング${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle s\mapsto \kappa (s,B)}$

測定可能である。${\displaystyle {\mathcal {S}}/{\mathcal {B}}([0,+\infty ])}$

• 固定されたすべての に対して、マッピング${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle B\mapsto \kappa (s,B)}$

は に関する尺度です。${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

遷移カーネルは通常、定義する尺度によって分類されます。それらの尺度は次のように定義されます。

${\displaystyle \kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

と

${\displaystyle \kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)}$

すべておよびすべてに対してである。この表記法では、カーネルは^{[1] [2]}と呼ばれる。${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \kappa }$

• すべてがサブ確率測度である場合、サブ確率カーネル、サブ確率カーネル、またはサブマルコフカーネル${\displaystyle \kappa _{s}}$
• すべてが確率測度である場合、マルコフカーネル、確率カーネル、または確率カーネル${\displaystyle \kappa _{s}}$
• すべてが有限測度である場合の有限カーネル${\displaystyle \kappa _{s}}$
• すべてが有限測度である場合、有限カーネル${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \kappa _{s}}$${\displaystyle \sigma }$
• すべてが-有限測度である場合、 s有限カーネル、つまり有限カーネルの可算和として表すことができるカーネルである。${\displaystyle \kappa _{s}}$${\displaystyle s}$
• すべてのおよびすべてのに対しての測定可能な集合が最大で可算個存在する場合、一様有限核と${\displaystyle \sigma }$なります。${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \kappa _{s}(B_{i})<\infty }$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

この節では、、を可測空間とし、 とと の積σ-代数を${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle (U,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}}$

をから までの s-有限カーネルとし、をからまでの s-有限カーネルとします。このとき、 2つのカーネルの積は次のように定義されます^{[3] [4]}${\displaystyle \kappa ^{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \kappa ^{2}}$${\displaystyle S\times T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)}$

すべてに対して。 ${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}}$

2つの核の積は から までの核である。これもまたs有限核であり、と が-有限核である場合には-有限核である。核の積は結合的でもあり、つまり次を満たす。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle T\times U}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \kappa ^{1}}$${\displaystyle \kappa ^{2}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})}$

任意の3つの適切なs有限カーネルに対して。 ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$

積は がからへの核である場合にも明確に定義されます。この場合、 はから への核として扱われ、とは独立です。これは、次のように設定するのと同等です。 ${\displaystyle \kappa ^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S\times T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)}$

全ての人々のために。^{[4] [3]}${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle s\in S}$

からまでの s-有限カーネルとからまでの s-有限カーネルを仮定する。このとき、2つのカーネルの合成は次のように定義される^{[5] [3]}${\displaystyle \kappa ^{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \kappa ^{2}}$${\displaystyle S\times T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle (s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)}$

全ての人々のために。 ${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle B\in {\mathcal {U}}}$

合成は から への核であり、これもまた s 有限である。核の合成は結合的であり、つまり次を満たす。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})}$

任意の 3 つの適切な s 有限カーネル に対して成り立ちます。カーネルの積と同様に、が からまでのカーネルである場合、合成も明確に定義されます。 ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$${\displaystyle \kappa ^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$

この構成の別の表記法は^{[3]である。}${\displaystyle \kappa ^{1}\kappa ^{2}}$

を 上の正の測定可能な関数の集合とします。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$

からまでのすべてのカーネルは線形演算子と関連付けることができる${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}}$

^[6]によって与えられた

${\displaystyle (A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).}$

これらの演算子の合成はカーネルの合成と互換性があり、^[3]

${\displaystyle A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}}$