量子時空

数理物理学において、量子時空の概念は、通常交換可能な変数が交換不可能であると仮定され、異なるリー代数を形成する通常の時空概念の一般化である。その代数の選択は理論ごとに異なる。この変化の結果、通常連続している変数が離散的になることがある。多くの場合、このような離散変数だけが「量子化」されていると呼ばれるが、その用法はさまざまである。

量子時空のアイデアは、量子論の初期に、量子場の理論から無限大を排除する方法としてハイゼンベルクとイヴァネンコによって提案されました。このアイデアの萌芽はハイゼンベルクからルドルフ・パイエルスに伝わり、パイエルスは磁場内の電子は量子時空を動いていると見なせることに気付き、さらにロバート・オッペンハイマーに伝わり、オッペンハイマーはそれをハートランド・スナイダーに伝え、スナイダーが最初の具体例を発表しました。^[1]スナイダーのリー代数は、同年に CNヤンによって単純化されました。

物理時空は、量子力学において位置と運動量の変数がすでに非可換であり、ハイゼンベルクの不確定性原理に従い、連続している場合、量子時空です。ハイゼンベルクの不確定性関係のため、より小さな距離を調べるにはより大きなエネルギーが必要です。最終的には、重力理論によれば、探査粒子はブラックホールを形成し、測定対象を破壊します。このプロセスは繰り返すことができないため、測定とは見なされません。この測定可能性の制限により、多くの人は、連続した可換時空の通常の図式は、早ければ プランクスケールの距離で崩壊すると予想しました。${\displaystyle x,p}$

物理的な時空は、物理的な座標がわずかに非可換であるため、量子的であると予想されます。恒星の天文座標は、一般相対性理論の古典的なテストの 1 つである太陽による光の偏向のように、観測者と恒星の間の重力場によって変更されます。したがって、座標は実際には重力場の変数に依存します。重力の量子理論によると、これらの場の変数は可換ではないため、それらに依存する座標はおそらく可換ではありません。

どちらの議論も純粋重力と量子論に基づいており、純粋量子重力における唯一の時間定数であるプランク時間によって時間の測定を制限しています。しかし、計測機器は純粋に重力によるものではなく、粒子でできています。そのため、プランク時間よりも厳しく、より大きな制限を設ける可能性があります。

量子時空は、多くの場合、コンヌの非可換幾何学、量子幾何学、または量子群を使用して数学的に記述されます。

少なくとも 4 つの生成元を持つ任意の非可換代数は量子時空として解釈できますが、次の要件が提案されています。

• 局所ローレンツ群とポアンカレ群の対称性は、おそらく一般化された形で保持されるはずです。それらの一般化は、量子時空代数に作用する量子群の形をとることがよくあります。
• 代数は、その理論の何らかの領域における量子重力効果の効果的な記述でおそらく生じるかもしれない。例えば、物理的なパラメータ、おそらくプランク長は、可換な古典時空からの偏差を制御し、通常のローレンツ時空は として生じるかもしれない。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \to 0}$
• 量子時空代数には、（量子）対称性と互換性があり、好ましくは通常の微分積分として として簡約される量子微分積分の概念があるかもしれない。${\displaystyle \lambda \to 0}$

これにより、粒子と場の波動方程式が可能になり、古典的な時空物理学からの実験的逸脱の予測が容易になり、それを実験的にテストできるようになります。

• リー代数は半単純でなければならない。^[2]これにより有限理論の定式化が容易になる。

1990 年代には、上記の基準のほとんどをほぼ満たすモデルがいくつか見つかりました。

双積モデル時空はシャーン・マジッドとアンリ・ルーグ^[3]によって導入され、リー代数関係を持つ。

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=0,\quad [x_{i},t]=i\lambda x_{i}}$

空間変数と時間変数に対して。ここで は時間の次元を持つため、プランク時間のようなものになることが期待されます。ここでのポアンカレ群はそれに応じて変形され、次の特徴を持つ 特定の双積量子群になります。${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda }$

運動量生成器は相互に交換しますが、量子群構造に反映される運動量の加算は変形されます (運動量空間は非可換群になります)。一方、ローレンツ群生成器は相互に通常の関係を保ちますが、運動量空間に対して非線形に作用します。この作用の軌道は、図ではの 1 つに対するの断面として描かれています。画像の上部中央にある粒子を記述するオンシェル領域は通常は双曲面ですが、これらは円筒形に「押しつぶされて」います。 ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}<\lambda ^{-1}\,}$

簡略化された単位で。結局のところ、ローレンツブーストによって運動量がプランク運動量以上に増加することはない。最高の運動量スケールまたは最低の距離スケールの存在は、物理的な図に適合する。この圧縮はローレンツブーストの非線形性から生じ、1988年の導入以来知られている双積量子群の固有の特徴である。^[4]一部の物理学者は、速度と運動量の両方に上限を設定するため、双積モデルを二重特殊相対論と呼んでいます。

圧縮のもう一つの結果は、粒子の伝播が変形し、光でさえも、光の速度が変化することである。この予測には、特定のものが物理的エネルギーと空間運動量であることが必要である（それらの他の関数とは対照的である）。この同一視の根拠は、1999年にジョバンニ・アメリーノ・カメリアとマジッド^[5]によって、モデルの量子微分計算のための平面波の研究を通じて提示された。それらは次の形式をとる。 ${\displaystyle p_{0},p_{i}}$

${\displaystyle e^{i\sum _{i}p_{i}x_{i}}e^{ip_{0}t}\,}$

言い換えれば、解釈をもっともらしく信じられるほど古典に十分近い形式です。現時点では、このような波動解析は、モデルから物理的に検証可能な予測を得るための最善の希望を表しています。

この研究以前には、ポアンカレ量子群の形だけに基づいてモデルから予測を行うという、裏付けのない主張が数多くありました。また、Jurek Lukierski と共同研究者^[6]によって導入された以前の -ポアンカレ量子群に基づく主張もありました。これは、実際の量子時空がなく、上記の図が当てはまらない別の生成器が提案されているにもかかわらず、双積の重要な前身でした。双積モデル時空は、 を伴う-変形時空とも呼ばれています。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa =\lambda ^{-1}}$

このモデルは、1990年にジュリアス・ウェスの下で研究していたチーム^[7]と、その1年後に始まった編組行列に関する一連の論文の中でシャーン・マジッドと同僚によって独立に導入された。 ^[8] 2番目のアプローチの観点は、通常のミンコフスキー時空は、パウリ行列を介して2 x 2エルミート行列の空間として記述されるというものである。量子群論と編組モノイドカテゴリ法を使用すると、この自然なqバージョンが、の実数値に対して、生成元と関係の「編組エルミート行列」として ここで定義される。${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}^{\dagger },\quad \beta \alpha =q^{2}\alpha \beta ,\ [\alpha ,\delta ]=0,\ [\beta ,\gamma ]=(1-q^{-2})\alpha (\delta -\alpha ),\ [\delta ,\beta ]=(1-q^{-2})\alpha \beta }$

これらの関係は、生成器が交換可能であり、それによって通常のミンコフスキー空間が回復されることを示している。これらの線形結合、特に時間などの より一般的な変数を扱うと、${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle x,y,z,t}$

${\displaystyle t={\text{Trace}}_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=q\delta +q^{-1}\alpha }$

は行列の自然な編み込みトレースで与えられ、他の生成元と交換可能である（したがって、このモデルは双積モデルとは異なる）。編み込み行列の図式は、自然に次の量も導く。

${\displaystyle {\det }_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=\alpha \delta -q^{2}\gamma \beta }$

これは、通常のミンコフスキー距離を返します（これは量子微分幾何学の測定基準に変換されます）。パラメータまたはは無次元であり、プランクスケールと宇宙の長さの比であると考えられています。つまり、このモデルは、非ゼロの宇宙定数を持つ量子重力に関連しているという兆候があり、 の選択は、これが正か負かによって異なります。これは、数学的にはよく理解されていますが、物理的にはあまり正当化されていない正の場合を説明しています。 ${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle q=e^{\lambda }}$${\displaystyle q=e^{i\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle q}$

このモデルを完全に理解するには、そのような空間に対する「編み込み線形代数」の完全な理論が必要であり、その開発と同時進行で必要であった。理論の運動量空間は同じ代数の別のコピーであり、その上に運動量の特定の「編み込み加算」があり、編み込みホップ代数または特定の編み込みモノイドカテゴリの量子群の構造として表現される。この理論は、1993年までに、そのような変換と-ローレンツ変換によって生成される対応する-変形ポアンカレ群を提供し、量子時空としての解釈を完成させた。^[9]${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

その過程で、ポアンカレ群は変形されるだけでなく、量子時空の膨張を含めるように拡張される必要があることが発見されました。このような理論が正確であるためには、理論内のすべての粒子が質量ゼロである必要がありますが、これは実験と一致しており、素粒子の質量はプランク質量と比較して無視できるほど小さいです。現在の宇宙論の考え方が正しければ、このモデルはより適切ですが、大幅に複雑であり、このため、その物理的な予測はまだ解明されていません。^{[どのように？ ]}

これは現代の用法では角運動量代数 を指す。

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]=2i\lambda x_{3},\ [x_{2},x_{3}]=2i\lambda x_{1},\ [x_{3},x_{1}]=2i\lambda x_{2}}$

量子力学ではおなじみだが、この文脈では量子空間または時空の座標として解釈される。これらの関係は、ロジャー・ペンローズが彼の初期のスピンネットワーク空間理論で提案した。これは、ユークリッド（物理的なミンコフスキーではない）シグネチャを持つ3時空次元（物理的な4次元ではない）における量子重力のおもちゃのモデルである。この文脈でジェラルドゥス・トホーフトによって再び提案された^[10]。量子微分計算と、変形ユークリッド運動群としての特定の「量子二重」量子群の作用を含むさらなる発展は、マジッドとE.バティスタによって与えられた。^[11]

非可換幾何学の顕著な特徴は、最小の共変量子微分計算が予想よりも 1 次元高い 4 次元を持つことであり、これは上記を 4 次元量子時空の空間部分として見ることもできることを示唆しています。このモデルは、固定半径のスピン モデル時空内の球として考えることができる有限次元行列代数である ファジー球と混同しないでください。

ハートランド・スナイダーの量子時空は次のように提唱している。

${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=iM_{\mu \nu }}$

ここで、ローレンツ群が生成されます。この量子時空とCN Yangの量子時空は、時空、エネルギー運動量、角運動量の根本的な統一を伴います。 ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$

このアイデアは、1995 年にセルジオ・ドプリヒャー、クラウス・フレデンハーゲン、ジョン・ロバーツによって現代的な文脈で復活しました^[12]。これは、 を上記の関係式で定義されるの関数として単純に見なし、それを含む関係を 間の高次の関係として見なすというものです。ローレンツ対称性は、インデックスを通常どおり変形せずに変換するように配置されています。 ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$${\displaystyle x_{\mu }}$${\displaystyle x_{\mu }}$

このモデルのさらに単純な変形は、を数値反対称テンソルとすることです。この文脈では通常 と表記されるため、関係は となります。偶数次元 では、このような非退化の θ はいずれも通常の形式に変換でき、これは実際にはハイゼンベルク代数ですが、変数が時空の変数として提案されているという違いがあります。この提案は、その馴染みのある関係形式と、D ブレーンに着地する開弦の理論から生じると主張されたため^{[13] 、かつては人気がありました。}非可換量子場理論とモイアル平面を参照してください。しかし、この D ブレーンは理論のより高い時空次元のいくつかに存在するため、弦理論がこのように事実上量子であると示唆するのは物理的な時空ではありません。また、そもそも量子重力へのアプローチとして D ブレーンに従う必要があります。量子時空として仮定した場合、物理的な予測を得るのは困難です。その理由の 1 つは、 がテンソルである場合、次元解析により長さ の次元を持つはずであり、この長さがプランク長であると推測される場合、他のモデルの場合よりも効果を検出するのが困難になるためです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=i\theta _{\mu \nu }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {}^{2}}$

上記の意味での量子時空ではないが、非可換幾何学の別の用途は、通常の時空の各点に「非可換余次元」を追加することである。弦理論のように目に見えない丸まった余剰次元の代わりに、アラン・コヌと同僚は、この余剰部分の座標代数を有限次元の非可換代数で置き換えるべきだと主張した。この代数、その表現、および拡張されたディラック演算子の特定の合理的な選択により、素粒子の標準モデルを復元することができる。この観点から、さまざまな種類の物質粒子は、これらの余剰の非可換方向における幾何学の現れである。コヌの最初の研究は1989年にさかのぼるが^[14]、それ以来かなり発展してきた。このようなアプローチは、理論的には上記のように量子時空と組み合わせることができる。

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• マリアンヌ・フライバーガーによる量子幾何学に関する Plus Magazine の記事
• S. マジッド編 (2008)、空間と時間について、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-64168-6