量子微分積分

量子幾何学または非可換幾何学において、体上の代数上の量子微分計算または非可換微分構造は、代数上の微分形式の空間の指定を意味します。ここで代数は座標環と見なされますが、非可換である可能性があり、したがって実際の空間上の座標関数の実際の代数ではない可能性があることが重要です。したがって、これは実際の空間の微分可能構造の指定を置き換える観点を表しています。通常の微分幾何学では、左と右からの関数で微分 1 形式を乗算でき、外微分が存在します。これに対応して、1 階の量子微分計算は少なくとも次のことを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$

1. 上の- -双加群、つまり の要素をの要素で結合的に乗算できる。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \オメガ^{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \オメガ^{1}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle a(\omega b)=(a\omega )b,\ \forall a,b\in A,\ \omega \in \Omega ^{1}.}$$
2. ライプニッツの規則に従う線形写像${\displaystyle {\rm {d}}:A\to \Omega ^{1}}$$${\displaystyle {\rm {d}}(ab)=a({\rm {d}}b)+({\rm {d}}a)b,\ \forall a,b\in A}$$
3. ${\displaystyle \Omega ^{1}=\{a({\rm {d}}b)\ |\ a,b\in A\}}$
4. （オプションの接続条件）${\displaystyle \ker \ {\rm {d}}=k1}$

最後の条件は常に課されるわけではありませんが、多様体が連結されている場合、通常の幾何学では成立します。これは、 によって削除される関数は定数関数のみであることを示しています。 ${\displaystyle {\rm {d}}}$

上の外積代数または微分次数代数構造は、より高次の微分形式の類似物を含むように の互換性のある拡張を意味する。${\displaystyle A}$${\displaystyle \オメガ^{1}}$

$${\displaystyle \Omega =\oplus _{n}\Omega ^{n},\ {\rm {d}}:\Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}}$$

は、 上の結合積に関する次数付きライプニッツ則に従い、 に従います。ここで、および が によって生成されることが通常要求されます。微分形式の積は外積またはウェッジ積と呼ばれ、 と表記されることがよくあります。非可換または量子ド・ラーム・コホモロジーは、この複体のコホモロジーとして定義されます。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\rm {d}}^{2}=0}$${\displaystyle \Omega ^{0}=A}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle A,\Omega ^{1}}$${\displaystyle \wedge}$

高階微分積分は、外積代数を意味する場合もあれば、ある最高次数までの代数の部分指定を意味し、最高次数を超える次数となる積は指定されない場合もあります。

上記の定義は、非可換幾何学への 2 つのアプローチの交差点にあります。コンヌのアプローチでは、より基本的なオブジェクトはスペクトル 3 重の形でディラック演算子の代わりとなり、このデータから外積代数を構築できます。非可換幾何学への量子群のアプローチでは、代数と 1 階微積分の選択から始めますが、量子群の対称性の下での共変性によって制約されます。

上記の定義は最小限であり、代数が可換であったり実空間上の関数であったりする場合でも、古典的な微分積分​​よりも一般的なものを与える。これは、 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle a({\rm {d}}b)=({\rm {d}}b)a,\ \forall a,b\in A}$$

これは を意味し、代数が非可換である場合、公理 4 に違反するからです。副産物として、この拡張された定義には、有限集合と有限群 (有限群リー代数理論) 上の有限差分計算と量子微分計算が含まれます。 ${\displaystyle {\rm {d}}(ab-ba)=0,\ \forall a,b\in A}$

1. 1 変数の多項式の代数の場合、並進共変量子微分計算は によってパラメータ化され、形式をとります。これは、量子幾何学で有限差分が自然に生じる様子を示しています。 の極限のみが1 形式と可換な関数を持ち、これは高校の微分積分の特殊なケースです。${\displaystyle A={\mathbb {C} }[x]}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$$${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}x,\quad ({\rm {d}}x)f(x)=f(x+\lambda )({\rm {d}}x),\quad {\rm {d}}f={f(x+\lambda )-f(x) \over \lambda }{\rm {d}}x}$$${\displaystyle \lambda \to 0}$
2. 代数円上の関数の代数では、平行移動（つまり円回転）共変微分計算は によってパラメータ化され、 という形になります。これは、量子幾何学で -微分が自然に生じる様子を示しています。${\displaystyle A={\mathbb {C} }[t,t^{-1}]}$${\displaystyle q\neq 0\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}t,\quad ({\rm {d}}t)f(t)=f(qt)({\rm {d}}t),\quad {\rm {d}}f={f(qt)-f(t) \over q(t-1)}\,{\rm {dt}}}$$${\displaystyle q}$
3. 任意の代数に対して、によって定義される普遍微分積分が存在します。ここでは代数積です。公理 3 により、任意の 1 階微分積分はこれの商です。${\displaystyle A}$$${\displaystyle \Omega ^{1}=\ker(m:A\otimes A\to A),\quad {\rm {d}}a=1\otimes aa\otimes 1,\quad \forall a\in A}$$${\displaystyle m}$

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• コネス、A.（1994）、非可換幾何学、アカデミックプレス、ISBN 0-12-185860-X
• Majid, S. (2002) 「量子群入門」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第292巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511549892、ISBN 978-0-521-01041-2、MR  1904789