q-アナログ

数学において、定理、恒等式、または式のq類似体とは、 q → 1の極限で元の定理、恒等式、または式を返す新しいパラメーターqを含む一般化です。通常、数学者は、既知の結果のq類似体を恣意的に考案するのではなく、自然に生じるq類似体に興味を持っています。詳細に研究された最も古いq類似体は、19 世紀に導入された基本的な超幾何級数です。^[1]

q類似体は、組合せ論や特殊関数といった数学の分野で最も頻繁に研究されている。これらの設定では、 q → 1の極限は形式的であることが多い。これは、 qが離散値であることが多いためである (たとえば、素数冪を表すことがある)。 q類似体は、フラクタルや多重フラクタル測度の研究、カオス的動的システムのエントロピーの表現など、さまざまな分野で応用されている。フラクタルや動的システムとの関係は、多くのフラクタルパターンが一般にフックス群の対称性(たとえば、インドラの真珠やアポロニアン・ガスケットを参照)、特にモジュラー群の対称性を持つという事実から生じる。この関係は双曲幾何学やエルゴード理論にも及び、そこでは楕円積分やモジュラー形式が重要な役割を果たしている。q級数自体は楕円積分と密接に関連している。

q類似体は量子群の研究やq変形超代数にも現れる。ここでのつながりは同様で、弦理論の多くはリーマン面の言語で設定されており、その結果楕円曲線とのつながりが生じ、それが今度はq級数に関係する。

古典的なq理論は非負整数のq 類似 体から始まる。 ^[2]

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

は、 nのq類似体、つまりq括弧またはnのq数を定義することを示唆している。

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

それ自体では、多くの可能な選択肢の中からこの特定のq類似体を選択することには理由がありません。しかし、いくつかの文脈では自然に現れます。たとえば、 nのq類似体として[ n ] _{q を}使用することに決めた場合、階乗のq類似体、つまりq階乗を次の ように定義できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\,[n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$

このq類似は、いくつかの文脈で自然に現れます。特に、n ! は長さnの順列の数を数えるのに対し、[ n ] _q ! は、反転の数を追跡しながら順列を数えます。つまり、 inv( w ) が順列wの反転の数を表し、S _{n が}長さnの順列の集合を表す場合、

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}$

特に、 という極限をとることで通常の階乗を回復します。 ${\displaystyle q\rightarrow 1}$

q階乗は、すべてのq理論の基本的な構成要素であるqポッホハマー記号によって簡潔に定義されます。

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

q階乗から、 q二項係数（ガウス係数、ガウス多項式、またはガウス二項係数とも呼ばれる）を定義することができます。

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_{q}!}} 。}$

q指数は次のように定義されます。

${\displaystyle e_{q}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

この文脈では、 q三角関数とqフーリエ変換が定義されています。

ガウス係数は有限ベクトル空間の部分空間を数えます。有限体における元の数をqとします。(数q は素数の累乗、つまりq = p ^eなので、文字q を使うのが特に適切です。) このとき、 q元体 上のn次元ベクトル空間のk次元部分空間の数は

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

qを1に近づけると、二項係数が得られる。

${\displaystyle {\binom {n}{k}},}$

言い換えれば、n要素の集合のk要素のサブセットの数です。

したがって、有限ベクトル空間を集合のq一般化と見なし、部分空間を集合の部分集合のq一般化と見なすことができます。別の例として、旗の数は、旗を立てる順序が重要であるため、極限をとった後、 となります。これは、興味深い新しい定理を見つける上で有益な視点でした。たとえば、スペルナーの定理^[3]やラムゼー理論のq類似体があります。^[要出典]${\displaystyle [n]_{q}!}$${\displaystyle n!}$

q = ( e ^{2 π i / n} ) ^{d を}原始n乗根のd乗とする。Cを元cによって生成されるn 位の巡回群とする。Xをn元集合 {1, 2, ..., n } のk元部分集合の集合とする。群C は、巡回置換(1, 2, ..., n )にc を 送ることによって与えられるXへの標準作用を持つ。 このとき、 X上のc ^dの不動点の数は

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

逆に、q を変化させ、q類似体を変形と見なすことで、 q  = 1の組み合わせの場合をq  → 1としてのq類似体の極限と見なすことができます (多くの場合、式で単純にq  = 1にすることはできないため、極限を取る必要があります)。

これは1 つの元を持つ体で形式化することができ、これにより 1 つの元を持つ体上の線型代数として組合せ論が回復されます。たとえば、ワイル群は1 つの元を持つ体上の 単純代数群です。

q類似体は、多体問題の厳密解によく見られます。^[要出典]このような場合、q → 1極限は通常、非線形相互作用のない比較的単純なダイナミクスに対応しますが、q < 1はフィードバックを伴う複雑な非線形領域についての洞察を与えます。

原子物理学からの例としては、フェシュバッハ共鳴を通過する外部磁場の掃引中に極低温フェルミオン原子ガスから分子凝縮体が生成されるモデルがある。^[4]このプロセスは、SU(2)代数演算子のq変形バージョンを持つモデルによって記述され、その解はq変形指数分布と二項分布によって記述される。

• q類似体の一覧
• スターリング数
• 若いタブロー

• Andrews, GE、 Askey, RA、Roy, ​​R. (1999)、「Special Functions」、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ。
• Gasper, G. & Rahman, M. (2004)、「Basic Hypergeometric Series」、Cambridge University Press、ISBN  0521833574。
• Ismail, MEH (2005)、「1変数の古典的および量子的直交多項式」、ケンブリッジ大学出版局。
• Koekoek, R. & Swarttouw, RF (1998)、「超幾何直交多項式の Askey スキームとその q 類似体」、98-17、デルフト工科大学、情報技術およびシステム学部、技術数学および情報科学科。

• 「陰影計算」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathWorldの q-analog
• MathWorldの q 括弧
• MathWorldの q 階乗
• MathWorldの q 二項係数