q指数

組合せ 数学 において、q指数関数は指数関数のq類似体、つまりq微分の固有関数です。 q微分は多数あり、たとえば古典的な q微分、Askey–Wilson 演算子などがあります。したがって、古典的な指数関数とは異なり、q指数関数は一意ではありません。たとえば、は古典的なq微分に対応する q指数関数ですが、 は Askey–Wilson 演算子の固有関数です。 ${\displaystyle e_{q}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{q}(z)}$

q指数は量子二重対数としても知られています。^{[1] [2]}

q指数は次のように定義される。 ${\displaystyle e_{q}(z)}$

${\displaystyle e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^ {\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}} }$

ここでq階乗であり、 ${\displaystyle [n]!_{q}}$

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

はq-ポッホハマー記号である。これが指数関数のq-類似体であることは、次の性質からわかる。

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)}$

ここで、左辺の導関数はq導関数である。上記は、単項式のq導関数を考えることで簡単に検証できる。

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.}$

ここで、はq括弧です。 q指数関数のその他の定義については、Exton (1983)、Ismail & Zhang (1994)、および Cieśliński (2011) を参照してください。 ${\displaystyle [n]_{q}}$

実数 の場合、関数は の整関数です。 の場合、は円板 上で正則です。 ${\displaystyle q>1}$${\displaystyle e_{q}(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle q<1}$${\displaystyle e_{q}(z)}$${\displaystyle |z|<1/(1-q)}$

逆数に注意してください 。 ${\displaystyle ~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1}$

の類似は実数およびには当てはまりません。しかし、これらが交換関係を満たす演算子である場合、は真となります。^[3]${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy=qyx}$${\displaystyle e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)}$

に対して 、密接に関連する関数は であり、これは基本的な超幾何級数 の特別な場合である。 ${\displaystyle -1<q<1}$${\displaystyle E_{q}(z).}$

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.}$

明らかに、

${\displaystyle \lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}=e^{-z}.~}$

${\displaystyle e_{q}(x)}$次のような無限積表現を持つ。

${\displaystyle e_{q}(x)=\left(\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}(1-q)x)\right)^{-1}.}$

一方、が成り立ちます。のとき、 ${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$${\displaystyle |q|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\log(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.}$

限界を取ることによって、 ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \lim _{q\to 1}(1-q)\log e_{q}(x/(1-q))=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

二重対数はどこですか。 ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$

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