位相シフトキーイング

エラー率を数学的に求めるためには、いくつかの定義が必要となる。

• ${\displaystyle E_{b}}$ビットあたりのエネルギー
• ${\displaystyle E_{s}=nE_{b}}$nビットのシンボルあたりのエネルギー
• ${\displaystyle T_{b}}$、 ビット期間
• ${\displaystyle T_{s}}$、 シンボル期間
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N_{0}}$、ノイズパワースペクトル密度（W / Hz）
• ${\displaystyle P_{b}}$ビット エラーの確率
• ${\displaystyle P_{s}}$記号誤りの確率

${\displaystyle Q(x)}$平均ゼロ、分散1のガウス確率密度関数を持つランダムプロセスから抽出された単一のサンプルが、以下以上になる確率を示します。${\displaystyle x}$これは、相補ガウス誤差関数のスケーリングされた形式です。

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq 0}$。

ここで引用されている誤り率は、加法性白色ガウス雑音（AWGN）におけるものです。これらの誤り率はフェージングチャネルで計算された誤り率よりも低いため、比較対象として適切な理論的ベンチマークとなります。

BPSKの一般式は次の式で表されます。

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi (1-n)),\quad n=0,1.}$

これにより、0とπの2つの位相が得られます。具体的な形式では、バイナリデータはしばしば次の信号で伝達されます。^{[ 1 ]： 123–128}

${\displaystyle s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$バイナリ「0」の場合

${\displaystyle s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$バイナリ「1」の場合

ここで、fはベースバンドの周波数である。

したがって、信号空間は単一の基底関数で表すことができる^{[ 1 ]： 123–128}

${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$

ここで 1 は次のように表される${\displaystyle {\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$0は次のように表されます${\displaystyle -{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$この割り当ては任意です。

この基底関数の使用法は、次のセクションの最後に信号タイミング図で示されています。一番上の信号は、BPSK変調器が生成するBPSK変調されたコサイン波です。この出力を生成するビットストリームは信号の上に示されています（この図の他の部分はQPSKにのみ関係します）。変調後、ベースバンド信号は乗算によって高周波帯域に移動します。${\displaystyle \cos(2\pi f_{c}t)}$。

加法性白色ガウス雑音（AWGN）下におけるBPSKのビット誤り率（BER）は次のように計算できます。^{[ 2 ] [ 1 ]： 123–128}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$または${\displaystyle P_{e}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

シンボルごとに1ビットしかないため、これはシンボルエラー率でもあります。

QPSKの実装はBPSKの実装よりも一般的であり、高次のPSKの実装も示しています。コンスタレーション図のシンボルを、送信に使用される正弦波と余弦波で表すと次のようになります。^{[ 1 ]}

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}$

これにより、必要な4つの位相π/4、3π/4、5π/4、7π/4が得られます。

これにより、単位基底関数を持つ2次元信号空間が得られます^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t\right)\\\phi _{2}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\end{aligned}}}$

最初の基底関数は信号の同相成分として使用され、2番目の基底関数は信号の直交成分として使用されます。

したがって、信号コンスタレーションは信号空間の4つの点から構成されます^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}&\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

係数1/2は、総電力が2つの搬送波間で均等に分配されることを示しています。

これらの基底関数をBPSKの基底関数と比較すると、QPSKが2つの独立したBPSK信号としてどのように捉えられるかが明確にわかります。BPSKの信号空間点では、BPSKコンスタレーション図に示されている方式のように、シンボル（ビット）エネルギーを2つの搬送波に分割する必要がないことに注意してください。

QPSKシステムは様々な方法で実装できます。送信機と受信機の主要構成要素の図を以下に示します。

QPSKは4値変調と見なすこともできますが、2つの独立して変調された直交搬送波として捉える方が分かりやすいでしょう。この解釈では、偶数（または奇数）ビットは搬送波の同相成分を変調するために使用され、奇数（または偶数）ビットは搬送波の直交位相成分を変調するために使用されます。BPSKは両方の搬送波に適用され、それぞれ独立して復調できます。

その結果、QPSKのビット誤り確率はBPSKと同じになります。^{[ 1 ]}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

しかし、BPSKと同じビット誤り確率を達成するためには、QPSKは2倍の電力を使用する（2ビットを同時に送信するため）。

シンボルエラー率は次のように表されます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}&=1-\left(1-P_{b}\right)^{2}\\&=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-\left[Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)\right]^{2}.\end{aligned}}}$

信号対雑音比が高い場合（実用的なQPSKシステムに必要な条件）、シンボル誤りの確率は次のように近似できます。

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{s}}{2N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

ランダムなバイナリデータストリームの短いセグメントについて、変調された信号を以下に示します。上記の信号空間解析で示されているように、2つの搬送波はコサイン波とサイン波です。ここでは、奇数ビットが同相成分に、偶数ビットが直交成分に割り当てられています（最初のビットを1とします）。2つの成分の合計である全体の信号は、下部に示されています。PSKでは各ビット周期の開始時に各成分の位相が変化するため、位相のジャンプが見られます。最上部の波形のみ、上記のBPSKの説明と一致します。  

この波形によって伝達されるバイナリデータは、11000110です。

• ここで強調表示されている奇数ビットは、同相成分に寄与します: 1 1 0 0 0 1 1 0
• ここで強調表示されている偶数ビットは、直交位相成分に寄与します。1 1 0 0 0 1 1 0

一般的なM-PSKの場合、シンボル誤り確率の単純な式はありません。${\displaystyle M>4}$残念ながら、それは以下からしか入手できません。

${\displaystyle P_{s}=1-\int _{-\pi /M}^{\pi /M}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)d\theta _{r},}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)&={\frac {1}{2\pi }}e^{-2\gamma _{s}\sin ^{2}\theta _{r}}\int _{0}^{\infty }Ve^{-{\frac {1}{2}}\left(V-2{\sqrt {\gamma _{s}}}\cos \theta _{r}\right)^{2}}\,dV,\\V&={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}},\\\theta _{r}&=\tan ^{-1}\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right),\\\gamma _{s}&={\frac {E_{s}}{N_{0}}}\end{aligned}}}$

そして${\displaystyle r_{1}\sim N\left({\sqrt {E_{s}}},{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$そして${\displaystyle r_{2}\sim N\left(0,{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$これらはそれぞれガウス分布に従う確率変数である。

これは高レベルで近似できる${\displaystyle M}$そして高い${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$による：

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma _{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right).}$

ビットエラー確率${\displaystyle M}$-PSKはビットマッピングがわかって初めて正確に決定できます。ただし、グレイコーディングを使用する場合、1つのシンボルから次のシンボルへの最も可能性の高いエラーは、1ビットのエラーのみを生成し、

${\displaystyle P_{b}\approx {\frac {1}{k}}P_{s}.}$

（グレイ符号化を用いることで、復号されたビットストリームにおけるエラーのハミング距離を、エラーのリー距離として近似することができ、これはハードウェアでの実装が容易になります。）

右側のグラフは、BPSK、QPSK（前述のとおり同じ値）、8-PSK、および16-PSKのビット誤り率を比較したものです。高次の変調方式ほど誤り率が高くなることがわかりますが、その代わりに生データレートは高くなります。

信号コンスタレーションに和集合境界を適用することで、様々なデジタル変調方式のエラー率の上限値を計算することができる。

M-PSK変調方式の帯域幅（またはスペクトル）効率は、変調次数Mの増加とともに増加します（例えばM-FSKとは異なります）。^{[ 8 ]}

${\displaystyle \rho ={\frac {\log _{2}M}{2}}\quad [{\text{ビット}}/{\text{秒}}\cdot {\text{Hz}}]}$

M-QAMについても同様の関係が成り立つ。^{[ 9 ]}

差動位相偏移変調（DPSK）は、搬送波の位相を変化させることでデータを伝送する一般的な位相変調方式です。BPSKやQPSKと同様に、信号が通過する通信チャネルで何らかの影響によりコンスタレーションが回転すると、位相に曖昧さが生じます。この問題は、位相を設定するのではなく、データを用いて位相を変化させることで克服できます。

例えば、差動符号化BPSKでは、バイナリ「1」は現在の位相に180°を加えることで送信でき、バイナリ「0」は現在の位相に0°を加えることで送信できる。 DPSKの別のバリエーションとして、対称差動位相シフトキーイング（SDPSK）があり、この場合、符号化は「1」の場合は+90°、「0」の場合は-90°となります。

差動符号化QPSK（DQPSK）では、位相シフトは0°、90°、180°、-90°で、それぞれデータ「00」、「01」、「11」、「10」に対応します。この種の符号化は非差動PSKと同様の方法で復調できますが、位相の曖昧さは無視できます。したがって、受信した各シンボルは、${\displaystyle M}$コンスタレーション内の点を抽出し、比較器が受信信号と前の信号との位相差を計算します。この差によって、上記のようにデータが符号化されます。対称差動四相位相シフトキーイング（SDQPSK）はDQPSKに似ていますが、位相シフト値-135°、-45°、+45°、+135°を使用して、対称的に符号化されます。

変調信号は、上記のようにDBPSKとDQPSKの両方について以下に示されています。図では、信号はゼロ位相から始まると仮定しているため、両方の信号に位相シフトが生じます。${\displaystyle t=0}$。

分析によると、差分符号化は通常の符号化に比べてエラー率が約2倍になる。${\displaystyle M}$-PSKですが、これはわずかな増加で克服できる可能性があります。${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$さらに、この分析（および下記のグラフ結果）は、唯一のノイズ源が加法性白色ガウス雑音（AWGN）であるシステムに基づいています。しかし、実際の通信システムでは、送信機と受信機の間に物理的なチャネルが存在します。このチャネルは、一般にPSK信号に未知の位相シフトをもたらします。このような場合、差動方式は、正確な位相情報に依存する通常の方式よりも優れた誤り率を実現できます。

DPSKの最も一般的な用途の1つはBluetooth規格であり、${\displaystyle \pi /4}$-DQPSKと8-DPSKが実装されました。

差動符号化された信号の場合、復調には別の方法が考えられます。通常の復調のように搬送波位相の曖昧さを無視するのではなく、連続する2つの受信シンボル間の位相を比較し、データが何であったかを判断します。このように差動符号化を用いる方式は、差動位相偏移変調（DPSK）と呼ばれます。ただし、受信時に受信シンボルを1つずつコンスタレーションポイントに復号するのではなく、シンボル同士を直接比較するため、これは単なる差動符号化PSKとは微妙に異なります。

受信したシンボルを呼び出します${\displaystyle k}$^thタイムスロット${\displaystyle r_{k}}$そしてフェーズを持たせる${\displaystyle \phi _{k}}$一般性を失うことなく、搬送波の位相はゼロであると仮定する。加法性白色ガウス雑音（AWGN）項を次のように表す。${\displaystyle n_{k}}$。 それから

${\displaystyle r_{k}={\sqrt {E_{s}}}e^{j\phi _{k}}+n_{k}.}$

決定変数${\displaystyle k-1}$^th記号と${\displaystyle k}$^th記号は、${\displaystyle r_{k}}$そして${\displaystyle r_{k-1}}$つまり、もし${\displaystyle r_{k}}$投影される${\displaystyle r_{k-1}}$結果として得られる複素数の位相に基づいて決定が下される。

${\displaystyle r_{k}r_{k-1}^{*}=E_{s}e^{j\left(\varphi _{k}-\varphi _{k-1}\right)}+{\sqrt {E_{s}}}e^{j\varphi _{k}}n_{k-1}^{*}+{\sqrt {E_{s}}}e^{-j\varphi _{k-1}}n_{k}+n_{k}n_{k-1}^{*}}$

ここで、上付き文字 * は複素共役を表します。ノイズがない場合、この位相は次のようになります。${\displaystyle \phi _{k}-\phi _{k-1}}$受信された2つの信号間の位相差は、送信されたデータを特定するために使用できます。

DPSKの誤り確率は一般的に計算が難しいが、DBPSKの場合は次のようになる。

${\displaystyle P_{b}={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {E_{b}}{N_{0}}}},}$^{[ 10 ]}

数値的に評価すると、特に高周波数帯では、通常のBPSKと比べてわずかに劣るだけである。${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$価値観。

DPSKを使用することで、正確な位相推定を行うための複雑な搬送波回復方式が不要になり、通常のPSKに代わる魅力的な選択肢となり得る。

光通信では、データはレーザーの位相に差動的に変調されます。変調には、連続波を放射するレーザーと、電気的なバイナリデータを受信するマッハ・ツェンダー変調器が用いられます。BPSKの場合、レーザーはバイナリ「1」の場合はそのままの信号を、そして「0」の場合は逆極性の信号を伝送します。復調器は、 1ビットを遅延させる遅延線干渉計で構成されており、これにより2ビットを同時に比較できます。さらに、フォトダイオードを用いて光信号を電流に変換することで、情報を元の状態に戻します。

右のグラフでは、DBPSKとDQPSKのビット誤り率を、それぞれの非差動方式と比較しています。DBPSKを使用することによる損失は、複雑さの軽減に比べて十分に小さいため、BPSKを使用するような通信システムでよく用いられます。一方、DQPSKの場合、通常のQPSKと比較して性能の低下は大きいため、システム設計者は複雑さの軽減とのバランスを取る必要があります。

で${\displaystyle k^{\textrm {th}}}$タイムスロット呼び出しで変調するビットを指定します${\displaystyle b_{k}}$差分符号化ビット${\displaystyle e_{k}}$そして結果として生じる変調信号${\displaystyle m_{k}(t)}$コンスタレーション図においてシンボルが±1（BPSK）の位置にあると仮定します。差動エンコーダは以下を生成します。

${\displaystyle \,e_{k}=e_{k-1}\oplus b_{k}}$

どこ${\displaystyle \oplus {}}$2進数加算またはモジュロ2加算を示します。

それで${\displaystyle e_{k}}$状態が変化するのは、バイナリ「0」からバイナリ「1」、またはバイナリ「1」からバイナリ「0」の場合のみです。${\displaystyle b_{k}}$はバイナリ「1」です。それ以外の場合は、以前の状態のままです。これが、上記で説明した差動符号化BPSKの説明です。

受信信号は復調され、${\displaystyle e_{k}=\pm 1}$そして、差動デコーダはエンコード手順を逆にして、

${\displaystyle b_{k}=e_{k}\oplus e_{k-1},}$

2進数の減算は2進数の加算と同じだから。

したがって、${\displaystyle b_{k}=1}$もし${\displaystyle e_{k}}$そして${\displaystyle e_{k-1}}$異なり、${\displaystyle b_{k}=0}$両者が同じであれば。したがって、両方${\displaystyle e_{k}}$そして${\displaystyle e_{k-1}}$反転しています、${\displaystyle b_{k}}$それでも正しく復号される。したがって、180°の位相曖昧性は問題にならない。

他のPSK変調方式についても、同様の方法で差動方式を考案することができる。DPSKの波形は、上記に示した差動符号化PSKの波形と同じである。これは、両方式の違いは受信側のみにあるためである。

この例のBER曲線は、右側の通常のBPSKと比較されています。前述のように、エラー率は約2倍になりますが、必要な増加は${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$これを克服するのはわずかです。${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$しかし、符号化システムにおける差動変調を克服するために必要な値は、通常約3dBと、より大きくなります。この性能低下は、非コヒーレント伝送の結果であり、この場合、位相追跡が完全に無視されることを意味します。