確率空間に適用される不等式
確率論 において 、 ブールの不等式は 和集合 としても知られ、 有限 または 可算な 事象 の 集合 に対して 、少なくとも 1 つの事象が発生する確率は、個々の事象の確率の合計よりも大きくならないことを述べています。この不等式は、事象の個々の確率の観点から、可算な数の事象のうち少なくとも 1 つの発生確率の上限を提供します。ブールの不等式は、発見者である ジョージ・ブール にちなんで名付けられました。 [1]
正式には、可算なイベント集合 A 1 、 A 2 、 A 3 、…に対して、
P
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
)
≤
∑
i
=
1
∞
P
(
A
i
)
.
{\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).}
測度論の 用語で言えば、ブールの不等式は測度（そしてもちろん任意の 確率測度 ）が σ - 劣加法 であるという事実から導かれます 。
証拠
帰納法による証明 ブールの不等式は、帰納法を使用して、イベント
の有限集合に対して証明できます。
n
{\displaystyle n}
この場合 、
n
=
1
{\displaystyle n=1}
P
(
A
1
)
≤
P
(
A
1
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}
この場合 、
n
{\displaystyle n}
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
≤
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
.
{\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}
であり 、和集合演算は 結合的で あるため、
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
,
{\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}
P
(
⋃
i
=
1
n
+
1
A
i
)
=
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
+
P
(
A
n
+
1
)
−
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
∩
A
n
+
1
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}
以来
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
∩
A
n
+
1
)
≥
0
,
{\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}
確率の第一公理 により 、
P
(
⋃
i
=
1
n
+
1
A
i
)
≤
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
+
P
(
A
n
+
1
)
,
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}
そしてそれゆえ
P
(
⋃
i
=
1
n
+
1
A
i
)
≤
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
+
P
(
A
n
+
1
)
=
∑
i
=
1
n
+
1
P
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}
帰納法を使わない証明 確率空間 内の 任意
の事象に対して、
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }
P
(
⋃
i
A
i
)
≤
∑
i
P
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}
確率空間の公理の一つは、 確率空間の
互いに素な 部分集合である場合、
B
1
,
B
2
,
B
3
,
…
{\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }
P
(
⋃
i
B
i
)
=
∑
i
P
(
B
i
)
;
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i});}
これを可算加法性と呼びます 。
集合 を 互いに素になるように修正すると、
A
i
{\displaystyle A_{i}}
B
i
=
A
i
−
⋃
j
=
1
i
−
1
A
j
{\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}}
私たちはそれを示すことができます
⋃
i
=
1
∞
B
i
=
⋃
i
=
1
∞
A
i
.
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}
包含の両方向を証明することによって。
と仮定します 。すると、 となる 最小値 が成り立ちます 。したがって 、最初の包含は真です 。
x
∈
⋃
i
=
1
∞
A
i
{\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}
x
∈
A
k
{\displaystyle x\in A_{k}}
k
{\displaystyle k}
i
<
k
⟹
x
∉
A
i
{\displaystyle i<k\implies x\notin A_{i}}
x
∈
B
k
=
A
k
−
⋃
j
=
1
k
−
1
A
j
{\displaystyle x\in B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}
⋃
i
=
1
∞
A
i
⊂
⋃
i
=
1
∞
B
i
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}
次に、 と仮定します 。これにより、 一部の に対してが成り立ちます 。したがって となり 、 もう 1 つの包含関係が成り立ちます 。
x
∈
⋃
i
=
1
∞
B
i
{\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}
x
∈
B
k
{\displaystyle x\in B_{k}}
k
{\displaystyle k}
B
k
=
A
k
−
⋃
j
=
1
k
−
1
A
j
{\displaystyle B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}
x
∈
A
k
{\displaystyle x\in A_{k}}
⋃
i
=
1
∞
B
i
⊂
⋃
i
=
1
∞
A
i
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}
それぞれの 構成 により 、
B
i
{\displaystyle B_{i}}
B
i
⊂
A
i
{\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}
B
⊂
A
,
{\displaystyle B\subset A,}
P
(
B
)
≤
P
(
A
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).}
したがって、望ましい不等式は真であると結論付けることができます。
P
(
⋃
i
A
i
)
=
P
(
⋃
i
B
i
)
=
∑
i
P
(
B
i
)
≤
∑
i
P
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}
ボンフェローニ不等式 ブールの不等式は、事象の有限和 の確率の 上限 と 下限を 見つけるために一般化することができます 。 [2]これらの境界は、 カルロ・エミリオ・ボンフェローニ にちなんで ボンフェローニ不等式 として知られています 。ボンフェローニ（1936）を参照してください。
させて
S
1
:=
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
,
S
2
:=
∑
1
≤
i
1
<
i
2
≤
n
P
(
A
i
1
∩
A
i
2
)
,
…
,
S
k
:=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
P
(
A
i
1
∩
⋯
∩
A
i
k
)
{\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad S_{2}:=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}),\quad \ldots ,\quad S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}
{1, ..., n }内のすべての整数 k に対して。
では、いつが 奇数になるのでしょうか。
K
≤
n
{\displaystyle K\leq n}
∑
j
=
1
K
(
−
1
)
j
−
1
S
j
≥
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
j
−
1
S
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}
が成り立ち、偶数の場合は 次のようになります。
K
≤
n
{\displaystyle K\leq n}
∑
j
=
1
K
(
−
1
)
j
−
1
S
j
≤
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
j
−
1
S
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}
保持します。
これらの等式は 包含排他原理 から導かれ、ブールの不等式は の特殊なケースです 。
K
=
1
{\displaystyle K=1}
奇数Kの証明 とします。 ここで、 各 に対して です 。これらは 標本空間を分割し、各 に対して は標本 空間 に 含まれるか 、またはそれと素です。
E
=
⋂
i
=
1
n
B
i
{\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}}
B
i
∈
{
A
i
,
A
i
c
}
{\displaystyle B_{i}\in \{A_{i},A_{i}^{c}\}}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
i
{\displaystyle i}
E
{\displaystyle E}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
の場合 、 不等式の両辺に 0 が加わります。
E
=
⋂
i
=
1
n
A
i
c
{\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}^{c}}
E
{\displaystyle E}
それ以外の場合、 は の ちょうど に含まれると仮定します 。すると は 不等式の右辺に
ちょうど寄与し、 は に寄与します。
E
{\displaystyle E}
L
{\displaystyle L}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
E
{\displaystyle E}
P
(
E
)
{\displaystyle \mathbb {P} (E)}
∑
j
=
1
K
(
−
1
)
j
−
1
(
L
j
)
P
(
E
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{L \choose j}\mathbb {P} (E)}
不等式の左側に。しかし、 パスカルの法則 によれば、これは
∑
j
=
1
K
(
−
1
)
j
−
1
(
(
L
−
1
j
−
1
)
+
(
L
−
1
j
)
)
P
(
E
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{\Big (}{L-1 \choose j-1}+{L-1 \choose j}{\Big )}\mathbb {P} (E)}
望遠鏡で
(
1
+
(
L
−
1
K
)
)
P
(
E
)
≥
P
(
E
)
{\displaystyle {\Big (}1+{L-1 \choose K}{\Big )}\mathbb {P} (E)\geq \mathbb {P} (E)}
したがって、不等式はすべてのイベント に対して成立し 、 にわたって合計すると 、目的の不等式が得られます。
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
∑
j
=
1
K
(
−
1
)
j
−
1
S
j
≥
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}}
の証明も ほぼ同じである。 [3]
K
{\displaystyle K}
例 ランダム サンプルに基づいて 5 つのパラメータ を推定し 、各パラメータを個別に制御できるとします。5 つのパラメータすべての推定値が 95% の確率で良好になるようにするには、各パラメータに対して何をすればよいでしょうか。
各パラメータが良好になる確率を 95% 以内に調整するだけでは不十分です。なぜなら、「すべてが良好」は各イベント「推定 i が良好」のサブセットだからです。ブールの不等式を使用してこの問題を解決できます。イベント「5 つすべてが良好」の補集合を見つけることで、この質問を別の条件に変更できます。
P( 少なくとも 1 つの推定値が悪い) = 0.05 ≤ P( A 1 が悪い) + P( A 2 が悪い) + P( A 3 が悪い) + P( A 4 が悪い) + P( A 5 が悪い)
1 つの方法は、それぞれを 0.05/5 = 0.01、つまり 1% にすることです。言い換えると、各推定値が 99% の精度で正確であることを保証する必要があります (たとえば、99% の信頼区間を構築することによって)。そうすることで、全体の推定値が 95% の確率で正確であることが保証されます。これは同時推論の Bonferroni 法と呼ばれます。
参照
参考文献
^ ブール、ジョージ（1847）。論理の数学的分析。哲学図書館 。ISBN 9780802201546 。 ^カセラ、ジョージ; バーガー 、 ロジャー L. (2002)。統計的推論。ダックスベリー。pp. 11–13。ISBN 0-534-24312-6 。 ^ ベンカテシュ、サントシュ（2012年）。確率論。ケンブリッジ大学出版局。pp.94–99, 113–115。ISBN 978-0-534-24312-8 。
その他の関連記事 Bonferroni、Carlo E. (1936)、「Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità」、 Pubbl。 DRイスト。素晴らしい。ディサイエンス。経済的。 E Commerciali di Firenze (イタリア語)、 8 : 1–62、 Zbl 0016.41103 ドーメン、クラウス (2003)、「 抽象チューブによる改良されたボンフェローニ不等式。包含-排除型の不等式と恒等式」 、数学講義ノート、第 1826 巻、ベルリン: シュプリンガー出版社 、pp. viii+113、 ISBN 3-540-20025-8 、 MR 2019293、 Zbl 1026.05009 ガランボス、ヤノシュ 、シモネッリ、イタロ（1996）、 ボンフェローニ型不等式とその応用 、確率とその応用、ニューヨーク： シュプリンガー・フェアラーク 、pp. x+269、 ISBN 0-387-94776-0 、 MR 1402242、 Zbl 0869.60014 ガランボス、ヤノス (1977)、「ボンフェローニ不等式」、 確率年報 、 5 (4): 577–581、 doi : 10.1214/aop/1176995765 、 JSTOR 2243081、 MR 0448478、 Zbl 0369.60018 ガランボス、ヤノシュ (2001) [1994]、「ボンフェローニ不等式」、 数学百科事典 、 EMS プレス この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike License に基づいてライセンスされている PlanetMath の Bonferroni 不等式からの資料が組み込まれています 。
