コスタスループ

コスタスループは位相同期回路(PLL) に基づく回路で、抑圧搬送波変調信号 (例: 両側波帯抑圧搬送波信号) および位相変調信号 (例: BPSK、QPSK ) からの搬送波周波数回復に使用されます。コスタスループは1950 年代にゼネラルエレクトリックのジョン P. コスタスによって発明されました。 ^{[1] [2]この発明は[3]} 「現代のデジタル通信に大きな影響を与えた」と評されました。コスタスループの主な用途は無線受信機です。他の PLL ベースの検出器に対するコスタスループの利点は、小さな偏差ではコスタスループの誤差電圧がと比較して であることです。これは感度が 2 倍になることを意味し、またコスタスループは特にOFDMおよびGPS 受信機におけるドップラーシフト搬送波の追跡に特に適しています。^[3]${\displaystyle \sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))}$${\displaystyle \sin(\theta _{i}-\theta _{f})}$

コスタスループの古典的な実装では、^[4]ローカル電圧制御発振器(VCO) が直交出力を 2 つの位相検出器(たとえば積検出器)にそれぞれ 1 つずつ提供します。入力信号と同じ位相が両方の位相検出器にも適用され、各位相検出器の出力はローパスフィルタを通過します。これらのローパスフィルタの出力は別の位相検出器への入力となり、その出力は電圧制御発振器の制御に使用される前にノイズ低減フィルタを通過します。全体的なループ応答は 3 番目の位相検出器の前にある 2 つの個別のローパスフィルタによって制御されますが、3 番目のローパスフィルタはゲインと位相マージンに関して些細な役割を果たします。

上のコスタス ループの図は、コスタス ループ プロセスによって VCO 周波数と入力キャリア周波数が同じになった「ロック」状態で描かれています。この図は「ロック解除」状態を表すものではありません。

最も単純なケースでは、ノイズ低減フィルタの入力には影響しません。搬送波と電圧制御発振器(VCO) 信号は、高周波数の周期的な振動です。ブロックはアナログ乗算器です。 ${\displaystyle m^{2}(t)=1}$${\displaystyle m^{2}(t)=1}$${\displaystyle f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))}$${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)}$${\displaystyle \bigotimes}$

線形フィルタは、線形微分方程式のシステムによって数学的に記述できます。

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}}$

ここで、は定数行列、はフィルタの状態ベクトル、は定数ベクトルです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

VCO のモデルは通常、線形であると想定されます。

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{LF}(t),&t\in [0,T],\end{array}}}$

ここで、は VCO の自走周波数、はVCO ゲイン係数です。同様に、VCO のさまざまな非線形モデルを検討することも可能です。 ${\displaystyle \omega _{vco}^{free}}$${\displaystyle K_{vco}}$

マスタージェネレータの周波数が一定であると仮定する VCOの方程式とフィルタ収量の方程式 ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t)),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}}$

このシステムは非自律的であり、調査するのはかなり困難です。

最も単純なケースでは、

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega _{ref}t{\big )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )}\\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin(2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t)+2\omega _{ref}t){\Big )}\end{aligned}}}$

標準的なエンジニアリングの仮定は、フィルタが入力から上側サイドバンド周波数を除去し、下側サイドバンドは変更しないというものです。したがって、VCO入力は、入力信号とVCO信号の特定の波形と特性に対応する位相検出器を備えた位相ロックループと同等のコスタスループになります。時間領域と位相周波数領域でのフィルタ出力はほぼ等しいことが証明されています。^{[5] [6] [7]}${\displaystyle \varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).}$ ${\displaystyle \varphi (\theta )}$${\displaystyle f_{ref}(\theta )}$${\displaystyle f_{vco}(\theta )}$

したがって、より単純な微分方程式の 自律系を研究することが可能である^[8]。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),\\\Delta {\dot {\theta }}&=\omega _{vco}^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned}}}$。

クリロフ・ボゴリュボフ平均化法では、非自律方程式と自律方程式の解がいくつかの仮定の下で近いことを証明できます。したがって、時間領域のコスタスループブロック図は、位相周波数関係のレベルのブロック図に漸近的に変更できます。

コスタスループの自律動的モデル（非自律モデルの代わりに）の解析への移行により、入力信号の非常に速い時間スケールと信号位相の遅い時間スケールを同時に観察する必要がある、時間領域でのコスタスループのモデリングに関連する困難を克服できます。このアイデアにより、コアパフォーマンス特性（ホールドイン、プルイン、ロックイン範囲）を計算することが可能になります^[9]。

古典的なコスタスループは、搬送波とVCO間の位相差を小さく、理想的にはゼロの値にするように機能します。^{[10] [11] [12]}位相差が小さいということは、周波数ロックが達成されたことを意味します。

古典的なコスタスループは、より高いデータレートのためにQPSK変調に適応させることができる。^[13]

入力QPSK信号は次の通りである

${\displaystyle m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.}$

ローパスフィルタLPF1とLPF2の入力は

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\cos \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\\varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}}$

同期後、LPF1と LPF2の出力を使用して復調データ (および) を取得します。VCO の周波数を基準周波数に調整するために、信号とが制限され、相互乗算されます。 ${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle m_{1}(t)}$${\displaystyle m_{2}(t)}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle I(t)}$

${\displaystyle u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t))-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t)).}$

次に、信号はループフィルタによってフィルタリングされ、BPSKコスタスループと同様にVCOのチューニング信号を形成します。したがって、QPSKコスタスは常微分方程式のシステムによって記述できます^[14]。 ${\displaystyle u_{d}(t)}$${\displaystyle u_{\text{LF}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=A_{\text{LPF}}x_{1}+b_{\text{LPF}}\varphi _{1}(t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\\{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )},\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco}}^{\text{free}}+K_{\text{VCO}}{\Big (}c_{\text{LF}}^{*}x+h_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )}{\Big )}.\\\end{aligned}}}$

以下はLPF1 と LPF2 のパラメータであり、以下はループ フィルタのパラメータです。 ${\displaystyle A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}}$${\displaystyle A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}}$

•  この記事には、連邦規格 1037Cのパブリック ドメイン マテリアルが組み込まれています。一般調達局。2022 年 1 月 22 日にオリジナルからアーカイブされました。