ゼロ除数

抽象代数 では、環Rの元 a が左ゼロ因子と呼ばれるのは、 Rに非ゼロのx が存在してax = 0となる場合です^[1]。または、x をaxに写すRからRへの写像が単射でない場合も同様です^[a]。同様に、環の 元a が右ゼロ因子と呼ばれるのは、 Rに非ゼロのy が存在してya = 0となる場合です。これは、環における割り切れる可能性の部分的なケースです。左ゼロ因子または右ゼロ因子である元は、単にゼロ因子と呼ばれます^[2]。左ゼロ因子と右ゼロ因子の両方である元 aは、両側ゼロ因子と呼ばれます( ax = 0となる非ゼロのx は、 ya = 0となる非ゼロのyと異なる場合があります)。環が可換である場合、左ゼロ因子と右ゼロ因子は同じです。

環の元が左零因子でない（右零因子でない）場合、その元は左正則あるいは左消尽可能（右正則あるいは右消尽可能）と呼ばれる。環の元が左および右消尽可能で、したがって零因子でない場合、その元は正則あるいは消尽可能、^[3]あるいは非零因子と呼ばれる。零因子で零でないものは、非零零因子あるいは非自明零因子と呼ばれる。非自明零因子を持たない非零環は定義域と呼ばれる。

• 環 では、 なので剰余類は零因子です。${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$
• 整数環の唯一の零因子は です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$
• 非ゼロ環の冪零元は常に両側ゼロ因子です。
• 環の冪等元 は常に両側零因子です。${\displaystyle e\neq 1}$${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$
• n ≥ 2 の場合、体上のn  ×  n行列の環には非零の零因子が存在します。2 × 2行列の環 (任意の非零環上) の零因子の例を以下に示します。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• 2 つ以上の非零環の直積には、常に非零の零因子が存在します。たとえば、 では各非零が であるため、 は零因子です。${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$${\displaystyle (1,0)}$
• を体、を群とします。に有限位数の元があるとします。すると、群環には があり、どちらの因数もゼロではないので、は の非ゼロの零因子です。${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K[G]}$${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$${\displaystyle 1-g}$${\displaystyle K[G]}$

• およびの(形式的) 行列の環を考えます。すると、 および になります。 の場合、が偶数の場合に限り、 は左零因子です。これは であるためです。また、 が偶数の場合に限り、 は右零因子です。も同様の理由でです。 のいずれかが の場合、それは両側零因子です。${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x\neq 0\neq z}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x,z}$${\displaystyle 0}$
• ここに、片側のみが零因子である元を持つ環の別の例を示します。 を整数列のすべての集合とします。 環 に対して、点ごとの加算と合成を環演算とする、から へのすべての加法写像を取ります。 （つまり、環 は加法群 の自己準同型環です。）この環の元の 3 つの例は、右シフト、左シフト、および最初の因子 への射影写像です。 これらの 3 つの加法写像はすべて零ではなく、合成と は両方とも零であるため、は左零因子であり、 はから への加法写像の環において右零因子です。ただし、は右零因子ではなく、 は左零因子ではありません。合成 は恒等関数です。は両側零因子です。なぜなら ですが、 はどの方向にも零因子ではないからです。${\displaystyle S}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$${\displaystyle LP}$${\displaystyle PR}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle LR}$${\displaystyle RL}$${\displaystyle RLP=0=PRL}$${\displaystyle LR=1}$

• 素数を法とする整数の環には、ゼロ以外の零因子は存在しません。ゼロ以外のすべての元は単位元であるため、この環は有限体です。
• より一般的には、除算環には非ゼロのゼロ因子は存在しません。
• 唯一の零因子が 0 である非零可換環は整域と呼ばれます。

• 体上のn  ×  n行列の環では、左と右の零因子は一致します。これらはまさに特異行列です。整域上のn  ×  n行列の環では、零因子はまさに行列式が零である行列です。
• 左または右のゼロ因子が単位因子になることはありません。なぜなら、aが逆数で、ゼロでないxに対してax = 0 である場合、0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = xとなり、矛盾が生じるからです。
• 要素は、それが正規である側ではキャンセル可能です。つまり、a が左正規である場合、ax = ay はx = yを意味し、右正規の場合も同様です。

a = 0の場合、定義がこの場合にも適用されるため、別の規則は必要ありません。

• R が零環以外の環である場合、任意の非零元x は0 x = 0 = x  0を満たすため、 0 は（両側）零因子です。
• R が0 = 1となる零環である場合、0を乗じて 0 になる非零元は存在しないため、 0 は零因子ではありません。

いくつかの参考文献では、慣例により、すべての環において0 を零因子として含めたり除外したりしていますが、次のような記述で例外を導入しなければならないという問題があります。

• 可換環Rにおいて、非ゼロ因子の集合はRの乗法集合である。(これは、全商環の定義にとって重要である。) 可換環であるかどうかにかかわらず、任意の環における非左ゼロ因子の集合と非右ゼロ因子の集合についても同様である。
• 可換ネーター環 Rにおいて、零因子の集合はRの関連する素イデアルの和集合である。

R を可換環、M をR 加群、 aをR の元とする。「 aによる乗算」写像が単射であればaはM正則であり、そうでなければa はM上の零因子であると言われる。^[4] M正則元 の集合はRの乗法集合である。^[4]${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$

「 M正則」と「 M上の零因子」の定義をM = Rの場合に特化すると、この記事で前述した「正則」と「零因子」の定義が復元されます。

• 零積性
• 可換代数の用語集（正確なゼロの因子）
• 零因子グラフ
• セデニオン（約数がゼロ）

• 「ゼロ約数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ミシェル・ヘイズウィンケル;ナディヤ・グバレニ。ナデジダ・ミハイロヴナ・グバレニ。ウラジミール・V・キリチェンコ。 (2004)、代数、環およびモジュール、vol. 1、シュプリンガー、ISBN 1-4020-2690-0
• ワイスタイン、エリック・W.「ゼロ・ディバイザー」。マスワールド。