従属変数が2つの値しか取れない統計的回帰
統計学 において 、 プロビットモデルは、 従属変数が 2 つの値（例えば、既婚か未婚か）のみを取ることができる タイプの 回帰 です。この単語は、 確率（ probability ） + 単位（unit ） から作られたかばん 語です。 [1]このモデルの目的は、特定の特性を持つ観測値が特定のカテゴリの1つに分類される確率を推定することです。さらに、予測される確率に基づいて観測値を分類することは、 バイナリ分類 モデル
の一種です。
プロビットモデルは 、 バイナリレスポンスモデル の一般的な仕様です 。そのため、 ロジスティック回帰と同様の手法を使用して同じ問題セットを扱います。 一般化線型モデルの フレームワークで見ると 、プロビットモデルは プロビット リンク関数 を使用します。 [2]これは、 最大尤度 手順を使用して推定されることが最も多く 、 [3] このような推定は プロビット回帰 と呼ばれます。
概念フレームワーク 応答変数 Y が バイナリ 、つまり 1 と 0 で示される 2 つの結果しか取れないと仮定します。たとえば、 Y は 特定の条件の有無、デバイスの成功/失敗、アンケートの回答のはい/いいえなどを表します。また、 回帰変数のベクトル Xがあり、これが結果 Y に 影響を与えると想定されます 。具体的には、モデルが次の形式を取ると仮定します。
P
(
Y
=
1
∣
X
)
=
Φ
(
X
T
β
)
,
{\displaystyle P(Y=1\mid X)=\Phi (X^{\operatorname {T} }\beta ),}
ここで、 P は 確率 、 は 標準正規分布 の 累積分布関数 ( CDF ) です。パラメータ β は通常、 最大尤度法 によって推定されます。
Φ
{\displaystyle \Phi }
プロビットモデルを 潜在変数モデル として動機付けることは可能である。補助ランダム変数が存在すると仮定する。
Y
∗
=
X
T
β
+
ε
,
{\displaystyle Y^{\ast }=X^{T}\beta +\varepsilon ,}
ここで ε ~ N (0, 1)である。Y は この潜在変数が正であるかどうかの指標として見ることができる。
Y
=
{
1
Y
∗
>
0
0
otherwise
}
=
{
1
X
T
β
+
ε
>
0
0
otherwise
}
{\displaystyle Y=\left.{\begin{cases}1&Y^{*}>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\right\}=\left.{\begin{cases}1&X^{\operatorname {T} }\beta +\varepsilon >0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\right\}}
標準正規分布を使用すると、任意の平均と標準偏差を持つ正規分布を使用する場合と比べて 一般性が失われる ことはありません。これは、平均に固定量を追加することは、切片から同じ量を減算することで補正でき、標準偏差に固定量を掛けることは、重みに同じ量を掛けることで補正できるためです。
2つのモデルが同等であることを確認するには、次の点に注意してください。
P
(
Y
=
1
∣
X
)
=
P
(
Y
∗
>
0
)
=
P
(
X
T
β
+
ε
>
0
)
=
P
(
ε
>
−
X
T
β
)
=
P
(
ε
<
X
T
β
)
by symmetry of the normal distribution
=
Φ
(
X
T
β
)
{\displaystyle {\begin{aligned}P(Y=1\mid X)&=P(Y^{\ast }>0)\\&=P(X^{\operatorname {T} }\beta +\varepsilon >0)\\&=P(\varepsilon >-X^{\operatorname {T} }\beta )\\&=P(\varepsilon <X^{\operatorname {T} }\beta )&{\text{by symmetry of the normal distribution}}\\&=\Phi (X^{\operatorname {T} }\beta )\end{aligned}}}
モデル推定
最大尤度推定 データ セットに 上記のモデルに対応する
n 個 の独立した 統計単位 が含まれているとします。
{
y
i
,
x
i
}
i
=
1
n
{\displaystyle \{y_{i},x_{i}\}_{i=1}^{n}}
単一の観測値については、その観測値の入力ベクトルを条件として、次のようになります。
P
(
y
i
=
1
|
x
i
)
=
Φ
(
x
i
T
β
)
{\displaystyle P(y_{i}=1|x_{i})=\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )}
P
(
y
i
=
0
|
x
i
)
=
1
−
Φ
(
x
i
T
β
)
{\displaystyle P(y_{i}=0|x_{i})=1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )}
ここで、は入力 のベクトルであり 、は 係数のベクトル
です。
x
i
{\displaystyle x_{i}}
K
×
1
{\displaystyle K\times 1}
β
{\displaystyle \beta }
K
×
1
{\displaystyle K\times 1}
単一の観測の確率 は
(
y
i
,
x
i
)
{\displaystyle (y_{i},x_{i})}
L
(
β
;
y
i
,
x
i
)
=
Φ
(
x
i
T
β
)
y
i
[
1
−
Φ
(
x
i
T
β
)
]
(
1
−
y
i
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ;y_{i},x_{i})=\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )^{y_{i}}[1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )]^{(1-y_{i})}}
実際、 の場合は で あり 、 の場合は です 。
y
i
=
1
{\displaystyle y_{i}=1}
L
(
β
;
y
i
,
x
i
)
=
Φ
(
x
i
T
β
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ;y_{i},x_{i})=\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )}
y
i
=
0
{\displaystyle y_{i}=0}
L
(
β
;
y
i
,
x
i
)
=
1
−
Φ
(
x
i
T
β
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ;y_{i},x_{i})=1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )}
観測値は独立しており、同一に分布しているので、サンプル全体の尤度、つまり 結合尤度は 、個々の観測値の尤度の積に等しくなります。
L
(
β
;
Y
,
X
)
=
∏
i
=
1
n
(
Φ
(
x
i
T
β
)
y
i
[
1
−
Φ
(
x
i
T
β
)
]
(
1
−
y
i
)
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ;Y,X)=\prod _{i=1}^{n}\left(\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )^{y_{i}}[1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )]^{(1-y_{i})}\right)}
結合対数尤度関数は、
ln
L
(
β
;
Y
,
X
)
=
∑
i
=
1
n
(
y
i
ln
Φ
(
x
i
T
β
)
+
(
1
−
y
i
)
ln
(
1
−
Φ
(
x
i
T
β
)
)
)
{\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(\beta ;Y,X)=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}y_{i}\ln \Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )+(1-y_{i})\ln \!{\big (}1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta ){\big )}{\bigg )}}
この関数を最大化する 推定量は 、 が存在し、 が特異でない場合、 一貫性 があり、漸近的に正規で、 効率的に なります。この対数尤度関数はにおいて全体的に 凹である ことが示されており 、したがって、最適化のための標準的な数値アルゴリズムは、唯一の最大値に急速に収束します。
β
^
{\displaystyle {\hat {\beta }}}
E
[
X
X
T
]
{\displaystyle \operatorname {E} [XX^{\operatorname {T} }]}
β
{\displaystyle \beta }
の漸近分布は 次のように与えられる。
β
^
{\displaystyle {\hat {\beta }}}
n
(
β
^
−
β
)
→
d
N
(
0
,
Ω
−
1
)
,
{\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\beta }}-\beta )\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,\,\Omega ^{-1}),}
どこ
Ω
=
E
[
φ
2
(
X
T
β
)
Φ
(
X
T
β
)
(
1
−
Φ
(
X
T
β
)
)
X
X
T
]
,
Ω
^
=
1
n
∑
i
=
1
n
φ
2
(
x
i
T
β
^
)
Φ
(
x
i
T
β
^
)
(
1
−
Φ
(
x
i
T
β
^
)
)
x
i
x
i
T
,
{\displaystyle \Omega =\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {\varphi ^{2}(X^{\operatorname {T} }\beta )}{\Phi (X^{\operatorname {T} }\beta )(1-\Phi (X^{\operatorname {T} }\beta ))}}XX^{\operatorname {T} }{\bigg ]},\qquad {\hat {\Omega }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\varphi ^{2}(x_{i}^{\operatorname {T} }{\hat {\beta }})}{\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }{\hat {\beta }})(1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }{\hat {\beta }}))}}x_{i}x_{i}^{\operatorname {T} },}
[ 要出典 ] 標準正規分布の確率密度関数 ( PDF )です 。
φ
=
Φ
′
{\displaystyle \varphi =\Phi '}
プロビット型やその他の関連モデルのためのセミパラメトリックおよびノンパラメトリック最大尤度法も利用可能である。 [4]
バークソンの最小カイ二乗法 この方法は、回帰変数のベクトルの値が同じ 応答変数の観測値が多数ある場合にのみ適用できます (このような状況は、「セルあたりの観測値が多数ある」と呼ばれることがあります)。具体的には、モデルは次のように定式化できます。
y
i
{\displaystyle y_{i}}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
n 個 の観測値 のうち、回帰変数の異なる値が T 個しかない と仮定します 。これは で示されることができます。 となる観測値の数を 、 となる観測値の数を とします 。各「セル」あたりに実際に「多くの」観測値があると仮定します。各 に対して 。
{
y
i
,
x
i
}
i
=
1
n
{\displaystyle \{y_{i},x_{i}\}_{i=1}^{n}}
{
x
(
1
)
,
…
,
x
(
T
)
}
{\displaystyle \{x_{(1)},\ldots ,x_{(T)}\}}
n
t
{\displaystyle n_{t}}
x
i
=
x
(
t
)
,
{\displaystyle x_{i}=x_{(t)},}
r
t
{\displaystyle r_{t}}
y
i
=
1
{\displaystyle y_{i}=1}
t
,
lim
n
→
∞
n
t
/
n
=
c
t
>
0
{\displaystyle t,\lim _{n\rightarrow \infty }n_{t}/n=c_{t}>0}
示す
p
^
t
=
r
t
/
n
t
{\displaystyle {\hat {p}}_{t}=r_{t}/n_{t}}
σ
^
t
2
=
1
n
t
p
^
t
(
1
−
p
^
t
)
φ
2
(
Φ
−
1
(
p
^
t
)
)
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{t}^{2}={\frac {1}{n_{t}}}{\frac {{\hat {p}}_{t}(1-{\hat {p}}_{t})}{\varphi ^{2}{\big (}\Phi ^{-1}({\hat {p}}_{t}){\big )}}}}
そして、 バークソンの最小カイ二乗 推定量は、重み を持つの 回帰 における 一般化最小二乗 推定量です 。
Φ
−
1
(
p
^
t
)
{\displaystyle \Phi ^{-1}({\hat {p}}_{t})}
x
(
t
)
{\displaystyle x_{(t)}}
σ
^
t
−
2
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{t}^{-2}}
β
^
=
(
∑
t
=
1
T
σ
^
t
−
2
x
(
t
)
x
(
t
)
T
)
−
1
∑
t
=
1
T
σ
^
t
−
2
x
(
t
)
Φ
−
1
(
p
^
t
)
{\displaystyle {\hat {\beta }}={\Bigg (}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\sigma }}_{t}^{-2}x_{(t)}x_{(t)}^{\operatorname {T} }{\Bigg )}^{-1}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\sigma }}_{t}^{-2}x_{(t)}\Phi ^{-1}({\hat {p}}_{t})}
この推定量は、（ n →∞で T が固定されている限り） 一貫性があり、漸近的に正規で効率的であることが示されています。 [ 要出典 ] その利点は、推定量に閉じた形式の式が存在することです。ただし、この分析を実行することは、個々の観測値が利用できず、それらの集計されたカウント、、 および のみが利用できる場合にのみ意味があります （たとえば、投票行動の分析の場合）。
r
t
{\displaystyle r_{t}}
n
t
{\displaystyle n_{t}}
x
(
t
)
{\displaystyle x_{(t)}}
ギブスサンプリング プロビットモデルの ギブスサンプリングが可能なのは、回帰モデルが通常、重みに対して正規 事前分布 を使用し、この分布が誤差（したがって潜在変数 Y * ）の正規分布と共役であるためである。このモデルは次のように記述できる。
β
∼
N
(
b
0
,
B
0
)
y
i
∗
∣
x
i
,
β
∼
N
(
x
i
T
β
,
1
)
y
i
=
{
1
if
y
i
∗
>
0
0
otherwise
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\beta }}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {b} _{0},\mathbf {B} _{0})\\[3pt]y_{i}^{\ast }\mid \mathbf {x} _{i},{\boldsymbol {\beta }}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {x} _{i}^{\operatorname {T} }{\boldsymbol {\beta }},1)\\[3pt]y_{i}&={\begin{cases}1&{\text{if }}y_{i}^{\ast }>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}
これから、必要な完全な条件付き密度を決定できます。
B
=
(
B
0
−
1
+
X
T
X
)
−
1
β
∣
y
∗
∼
N
(
B
(
B
0
−
1
b
0
+
X
T
y
∗
)
,
B
)
y
i
∗
∣
y
i
=
0
,
x
i
,
β
∼
N
(
x
i
T
β
,
1
)
[
y
i
∗
<
0
]
y
i
∗
∣
y
i
=
1
,
x
i
,
β
∼
N
(
x
i
T
β
,
1
)
[
y
i
∗
≥
0
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=(\mathbf {B} _{0}^{-1}+\mathbf {X} ^{\operatorname {T} }\mathbf {X} )^{-1}\\[3pt]{\boldsymbol {\beta }}\mid \mathbf {y} ^{\ast }&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {B} (\mathbf {B} _{0}^{-1}\mathbf {b} _{0}+\mathbf {X} ^{\operatorname {T} }\mathbf {y} ^{\ast }),\mathbf {B} )\\[3pt]y_{i}^{\ast }\mid y_{i}=0,\mathbf {x} _{i},{\boldsymbol {\beta }}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {x} _{i}^{\operatorname {T} }{\boldsymbol {\beta }},1)[y_{i}^{\ast }<0]\\[3pt]y_{i}^{\ast }\mid y_{i}=1,\mathbf {x} _{i},{\boldsymbol {\beta }}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {x} _{i}^{\operatorname {T} }{\boldsymbol {\beta }},1)[y_{i}^{\ast }\geq 0]\end{aligned}}}
の結果は、 ベイズ線形回帰 に関する記事に記載されています が、表記法は異なります。
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
唯一のトリッキーな点は、最後の 2 つの式です。表記は アイバーソンの括弧 で 、 または類似の表記になることもあります。これは、分布が指定された範囲内で 切り捨てられ 、適切に再スケールされる必要があることを示します。この特定のケースでは、 切り捨てられた正規分布 が生じます。この分布からのサンプリングは、切り捨てられる量によって異なります。元の質量の大部分が残っている場合は、 棄却サンプリング で簡単にサンプリングできます。つまり、切り捨てられていない分布から数値をサンプリングし、切り捨てによって課された制限から外れた場合はそれを棄却するだけです。ただし、元の質量のごく一部からのみサンプリングする場合 (たとえば、正規分布の末端の 1 つからサンプリングする場合、たとえば が 3 以上で負のサンプルが必要な場合)、これは非効率的であり、他のサンプリング アルゴリズムに頼る必要があります。切り捨てられた正規からの一般的なサンプリングは、正規 CDF と プロビット関数 の近似値を使用して実現でき、 R に は切り捨てられた正規サンプルを生成する関数があります 。
[
y
i
∗
<
0
]
{\displaystyle [y_{i}^{\ast }<0]}
I
(
y
i
∗
<
0
)
{\displaystyle {\mathcal {I}}(y_{i}^{\ast }<0)}
x
i
T
β
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{\operatorname {T} }{\boldsymbol {\beta }}}
rtnorm()
モデル評価 推定バイナリ モデルの適合性は、真の観測値が 1 になる数と、モデルが 1/2 を超える (または 1/2 を下回る) 推定確率を予測値 1 (または 0) の割り当てとして扱うことで正しい予測分類を割り当てる 0 になる数を数えることによって評価できます。詳細については、 ロジスティック回帰 § モデルを 参照してください。
プロビットモデルの潜在変数モデル定式化について考えてみましょう。 の条件付き の 分散 が一定ではなく に依存する場合 、 不均一分散の 問題が生じます。たとえば、 が連続した正の説明変数である および であるとします 。 不 均一分散の下では、 のプロビット推定量は 通常矛盾しており、係数に関するほとんどのテストは無効です。さらに重要なことに、 の推定量も 矛盾します。この問題に対処するには、元のモデルを等分散に変換する必要があります。たとえば、同じ例で、 は と書き直すことができます 。 ここでです。したがって、 にプロビットを実行する および は、 条件付き確率 の矛盾のない推定量を生成します。
ε
{\displaystyle \varepsilon }
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
y
∗
=
β
0
+
B
1
x
1
+
ε
{\displaystyle y^{*}=\beta _{0}+B_{1}x_{1}+\varepsilon }
ε
∣
x
∼
N
(
0
,
x
1
2
)
{\displaystyle \varepsilon \mid x\sim N(0,x_{1}^{2})}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
β
{\displaystyle \beta }
P
(
y
=
1
∣
x
)
{\displaystyle P(y=1\mid x)}
1
[
β
0
+
β
1
x
1
+
ε
>
0
]
{\displaystyle 1[\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\varepsilon >0]}
1
[
β
0
/
x
1
+
β
1
+
ε
/
x
1
>
0
]
{\displaystyle 1[\beta _{0}/x_{1}+\beta _{1}+\varepsilon /x_{1}>0]}
ε
/
x
1
∣
x
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle \varepsilon /x_{1}\mid x\sim N(0,1)}
P
(
y
=
1
∣
x
)
=
Φ
(
β
1
+
β
0
/
x
1
)
{\displaystyle P(y=1\mid x)=\Phi (\beta _{1}+\beta _{0}/x_{1})}
(
1
,
1
/
x
1
)
{\displaystyle (1,1/x_{1})}
P
(
y
=
1
∣
x
)
.
{\displaystyle P(y=1\mid x).}
正規分布するという仮定が 成り立たない場合、関数形式の 誤指定の 問題が発生します。つまり、モデルが依然としてプロビットモデルとして推定される場合、係数の推定値 は矛盾します。たとえば、真のモデルではが ロジスティック分布 に従う が、モデルがプロビットによって推定される場合、推定値は一般に真の値よりも小さくなります。ただし、部分効果の推定値 は真の ロジットモデルによって与えられた推定値に近くなるため、係数推定値の矛盾は実質的に無関係です。 [5]
ε
{\displaystyle \varepsilon }
β
{\displaystyle \beta }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
∂
P
(
y
=
1
∣
x
)
/
∂
x
i
′
{\displaystyle \partial P(y=1\mid x)/\partial x_{i'}}
分布の誤指定の問題を回避するには、誤差項に一般的な分布仮定を採用し、モデルにさまざまなタイプの分布を含めることができます。コストは、パラメータの数が増えると計算が重くなり、精度が低下することです。 [6] 実際には、分布形式が誤って指定されているケースのほとんどで、係数の推定値は矛盾していますが、条件付き確率と部分効果の推定値は依然として非常に良好です。 [ 引用が必要 ]
また、例えば局所尤度法やノンパラメトリック準尤度法などのセミパラメトリックまたはノンパラメトリックなアプローチを取ることもできます。これらの方法は、インデックス関数のパラメトリック形式に関する仮定を回避し、リンク関数（例えば、プロビットまたはロジット）の選択に対して堅牢です。 [4]
歴史 プロビットモデルは、 1934年に「プロビット」という用語を作った チェスター・ブリス [7] と 、それ以前の研究を体系化した ジョン・ガドゥム(1933)の功績とされることが多い。 しかし、基本的なモデルは、 グスタフ・フェヒナーがフェヒナー(1860)で発表した ウェーバー・フェヒナー の法則に遡り 、1930年代まで繰り返し再発見された。フィニー(1971、第3.6章)およびエイチソンとブラウン(1957、第1.2章)を参照。
プロビットモデルの 最大尤度 推定値を高速に計算する方法は 、1935年にブリスの研究の付録として ロナルド・フィッシャーによって提案された。 [9]
参照
参考文献
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アッチソン、ジョン、ブラウン、ジェームズ・アラン・カルバート（1957年）。対数正規分布：経済学におけるその使用に関する特別な言及。大学出版局 。ISBN 978-0-521-04011-2 。 Cramer, JS (2002). ロジスティック回帰の起源 (PDF) (技術レポート). 第 119 巻. Tinbergen Institute. pp. 167–178. doi :10.2139/ssrn.360300. 掲載誌： Cramer, JS (2004)。「ロジットモデルの初期の起源」 科学 史と科学哲学の研究パートC：生物および生物医学の歴史と哲学の研究 。35 (4): 613–626。doi :10.1016/j.shpsc.2004.09.003 。 フェヒナー、グスタフ・テオドール (1860)。 Elemente der Psychophysik [ 精神物理学の要素 ]。 Vol.バンド2。ライプツィヒ：ブライトコフ・ウント・ヘルテル。 Finney, DJ (1971). プロビット分析 .
さらに読む Albert, JH; Chib, S. (1993). 「2値および多値応答データのベイズ分析」 アメリカ統計学会誌 . 88 (422): 669–679. doi :10.1080/01621459.1993.10476321. JSTOR 2290350. 雨宮 剛 (1985)「質的反応モデル」 上級計量経済学 オックスフォード:バジル・ブラックウェル。pp. 267–359。ISBN 0-631-13345-3 。 Gouriéroux, Christian (2000)。「単純な二分法」。 質的従属変数の計量経済学 。ニューヨーク: Cambridge University Press。pp. 6–37。ISBN 0-521-58985-1 。 Liao, Tim Futing (1994)。確率モデルの解釈: ロジット 、 プロビット、その他の一般化線型モデル 。Sage。ISBN 0-8039-4999-5 。 McCullagh, Peter 、 John Nelder (1989)。 一般化線型モデル 。ロンドン: Chapman and Hall。ISBN 0-412-31760-5 。
外部リンク ウィキメディア・コモンズのプロビットモデルに関連するメディア マーク・トーマ による YouTube の計量経済学講義 (トピック: プロビット モデル)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ;y_{i},x_{i})=\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )^{y_{i}}[1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )]^{(1-y_{i})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b725c7be0cf07fe1b49aa70c0fe7899369dd762)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ;Y,X)=\prod _{i=1}^{n}\left(\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )^{y_{i}}[1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }\beta )]^{(1-y_{i})}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eccf5da2fb9c57c14d7d8d1190f53a70e16902e7)
![{\displaystyle \operatorname {E} [XX^{\operatorname {T} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49cd71d5514ee259b992c50b9b0e2d3411e2b92)
![{\displaystyle \Omega =\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {\varphi ^{2}(X^{\operatorname {T} }\beta )}{\Phi (X^{\operatorname {T} }\beta )(1-\Phi (X^{\operatorname {T} }\beta ))}}XX^{\operatorname {T} }{\bigg ]},\qquad {\hat {\Omega }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\varphi ^{2}(x_{i}^{\operatorname {T} }{\hat {\beta }})}{\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }{\hat {\beta }})(1-\Phi (x_{i}^{\operatorname {T} }{\hat {\beta }}))}}x_{i}x_{i}^{\operatorname {T} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6827d289e05d1d8eba285321e5f8c37ce645952a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\beta }}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {b} _{0},\mathbf {B} _{0})\\[3pt]y_{i}^{\ast }\mid \mathbf {x} _{i},{\boldsymbol {\beta }}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {x} _{i}^{\operatorname {T} }{\boldsymbol {\beta }},1)\\[3pt]y_{i}&={\begin{cases}1&{\text{if }}y_{i}^{\ast }>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04081eca25ca4f18c1d34e07c56fb055db093a83)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=(\mathbf {B} _{0}^{-1}+\mathbf {X} ^{\演算子名 {T} }\mathbf {X} )^{-1}\\[3pt]{\boldsymbol {\beta }}\mid \mathbf {y} ^{\ast }&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {B} (\mathbf {B} _{0}^{-1}\mathbf {b} _{0}+\mathbf {X} ^{\演算子名 {T} }\mathbf {y} ^{\ast }),\mathbf {B} )\\[3pt]y_{i}^{\ast }\mid y_{i}=0,\mathbf {x} _{i},{\boldsymbol {\beta}}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {x} _{i}^{\operatorname { T} }{\boldsymbol {\beta }},1)[y_{i}^{\ast }} }\mid y_{i}=1, \mathbf {x} _{i},{\boldsymbol {\beta }}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {x} _{i}^{\operatorname {T} }{\boldsymbol { \beta }},1)[y_{i}^{\ast }\geq 0]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ce9c6792f88bf16ebf50eb3ee16019bbc636d3)
![{\displaystyle 1[\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\varepsilon >0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8382c313b0b45810d103fd2284a24329f296aad6)
![{\displaystyle 1[\beta _{0}/x_{1}+\beta _{1}+\varepsilon /x_{1}>0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac08150760aecce4a2829f68868301ef8fec8a23)
