多変量プロビットモデル

統計学および計量経済学において、多変量プロビットモデルは、相関のある複数の二値結果をまとめて推定するために使用されるプロビットモデルの一般化です。たとえば、少なくとも1人の子供を公立学校に通わせるという決定と、学校予算に賛成票を投じるという決定が相関している（どちらの決定も二値である）と想定される場合、多変量プロビットモデルは、個人ごとにこれらの2つの選択をまとめて予測するのに適しています。JR AshfordとRR Sowdenは、多変量プロビット分析のアプローチを最初に提案しました。^{[ 1 ]} Siddhartha ChibとEdward Greenbergはこのアイデアを拡張し、パラメータ推定を簡素化および一般化した多変量プロビットモデルのシミュレーションベースの推論方法も提案しました。^{[ 2 ]}

通常のプロビットモデルでは、二値従属変数は1つだけです。${\displaystyle Y}$そのため潜在変数は1つだけ${\displaystyle Y^{*}}$が使用される。対照的に、二変量プロビットモデルでは、2 つの二値従属変数がある。${\displaystyle Y_{1}}$そして${\displaystyle Y_{2}}$つまり、潜在変数は2つあるということです。${\displaystyle Y_{1}^{*}}$そして${\displaystyle Y_{2}^{*}}$各観測変数は、その根底にある連続潜在変数が正の値をとる場合に限り、値1をとるものと仮定する。

${\displaystyle Y_{1}={\begin{cases}1&{\text{if }}Y_{1}^{*}>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

${\displaystyle Y_{2}={\begin{cases}1&{\text{if }}Y_{2}^{*}>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

と

${\displaystyle {\begin{cases}Y_{1}^{*}=X_{1}\beta _{1}+\varepsilon _{1}\\Y_{2}^{*}=X_{2}\beta _{2}+\varepsilon _{2}\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\end{bmatrix}}\mid X\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&\rho \\\rho &1\end{bmatrix}}\right)}$

二変量プロビットモデルの適合には、以下の値の推定が含まれます。${\displaystyle \beta _{1},\ \beta _{2},}$そして${\displaystyle \rho }$そのためには、モデルの尤度を最大化する必要があります。この尤度は

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\beta _{1},\beta _{2})={\Big (}\prod &P(Y_{1}=1,Y_{2}=1\mid \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}Y_{2}}P(Y_{1}=0,Y_{2}=1\mid \beta _{1},\beta _{2})^{(1-Y_{1})Y_{2}}\\[8pt]&{}\qquad P(Y_{1}=1,Y_{2}=0\mid \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}(1-Y_{2})}P(Y_{1}=0,Y_{2}=0\mid \beta _{1}、\beta _{2})^{(1-Y_{1})(1-Y_{2})}{\Big )}\end{aligned}}}$

潜在変数を代入すると${\displaystyle Y_{1}^{*}}$そして${\displaystyle Y_{2}^{*}}$確率関数において対数を取ると

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2}){\Big )}.\end{aligned}}}$

書き換え後、対数尤度関数は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},\rho ){\Big )}.\end{aligned}}}$

ご了承ください${\displaystyle \Phi }$は二変量正規分布の累積分布関数です。${\displaystyle Y_{1}}$そして${\displaystyle Y_{2}}$対数尤度関数では、観測変数は1または0に等しい。

一般的には、${\displaystyle \mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{j}),\ (i=1,...,N)}$どこに連れて行けるか${\displaystyle j}$選択肢として、そして${\displaystyle i}$個人または観測として、選択を観測する確率${\displaystyle \mathbf {y_{i}} }$は

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int _{A_{J}}\cdots \int _{A_{1}}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )dy_{1}^{*}\dots dy_{J}^{*}\\\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}}$そして、

${\displaystyle A_{j}={\begin{cases}(-\infty ,0]&y_{j}=0\\(0,\infty )&y_{j}=1\end{cases}}}$

この場合の対数尤度関数は次のようになります。 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\log \Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )}$

を除いて${\displaystyle J\leq 2}$通常、対数尤度方程式の積分には閉形式解はありません。代わりに、シミュレーション法を使用して選択確率をシミュレートできます。重点サンプリングを使用する方法には、GHK アルゴリズム^{[ 3 ]} AR (accept-reject)、Stern 法などがあります。この問題には、CRB (Chib 法とRao–Blackwell 化)、CRT (Chib、Ritter、Tanner)、ARK (accept-reject kernel)、ASK (adaptive sampling kernel) などの MCMC アプローチもあります。^{[ 4 ]}大規模データセットにスケーリングする変分アプローチが Probit-LMM で提案されています。^{[ 5 ]}

多変量プロビットモデルは、複数のブランドに対する消費者の選択を同時に分析するために適用されてきた。多変量プロビットモデルは、多項離散選択法の特徴である相互排他的な選択肢という制約的な仮定を緩和することで、需要領域における研究の可能性を広げることが実証されている。^{[ 6 ]}

• Greene, William H. (2012). 「二変量および多変量プロビットモデル」.計量経済分析（第7 版）. Prentice-Hall. pp. 778–799 . ISBN  978-0-13-139538-1。