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統計学において、順序ロジットモデルまたは比例オッズロジスティック回帰は、順序回帰モデル、つまり順序​​従属変数の回帰モデルであり、ピーター・マッカローによって最初に検討されました。^{[ 1 ]} 例えば、調査の1つの質問に対して「悪い」、「普通」、「良い」、「非常に良い」、「優れている」のいずれかを選択して回答し、分析の目的が、その回答が他の質問（中には量的質問もある）への回答によってどの程度予測できるかを確認することであるならば、順序ロジスティック回帰を使用できます。これは、 2つ以上の（順序付けられた）回答カテゴリを許容する、二値従属変数に適用されるロジスティック回帰モデルの拡張と考えることができます。

このモデルは、比例オッズ仮定を満たすデータにのみ適用されます。比例オッズ仮定の意味は、次のように例示できます。「悪い」、「普通」、「良い」、「非常に良い」、「優れている」の5つの結果があるとします。これらの結果の確率は、p ₁ ( x )、p ₂ ( x )、p ₃ ( x )、p ₄ ( x )、p ₅ ( x )で与えられ、これらはすべて何らかの独立変数xの関数であると仮定します。すると、xの固定値に対して、特定の回答をするオッズの対数（確率の対数ではない）は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{不良: }}&\log {\frac {p_{1}(x)}{p_{2}(x)+p_{3}(x)+p_{4}(x)+p_{5}(x)}},\\[8pt]{\text{不良または普通: }}&\log {\frac {p_{1}(x)+p_{2}(x)}{p_{3}(x)+p_{4}(x)+p_{5}(x)}},\\[8pt]{\text{不良、普通、または良好: }}&\log {\frac {p_{1}(x)+p_{2}(x)+p_{3}(x)}{p_{4}(x)+p_{5}(x)}},\\[8pt]{\text{不良、普通、良好、または非常に良好: }}&\log {\frac {p_{1}(x)+p_{2}(x)+p_{3}(x)+p_{4}(x)}{p_{5}(x)}}\end{aligned}}}$

比例オッズの仮定は、次の対数を得るために各対数に加える数値はxに関係なく同じであると述べています。言い換えれば、健康状態が悪いまたは普通であるオッズの対数から健康状態が悪いオッズの対数を引いた差は、xに関係なく同じです。同様に、健康状態が悪い、普通、または良いオッズの対数から健康状態が悪いまたは普通であるオッズの対数を引いた差は、xに関係なく同じです。など。^{[ 2 ]}

複数の順序付けされた回答カテゴリの例としては、債券格付け、回答が「強く同意する」から「強く反対する」までの範囲である意見調査、政府プログラムへの州の支出レベル（高、中、低）、選択された保険の補償レベル（なし、部分的、または完全）、および雇用状況（無職、パートタイム雇用、またはフルタイム雇用）などがあります。^{[ 3 ]}

順序ロジットは、二項ロジスティック回帰が導出されるモデルと同様の潜在変数モデルから導出できます。特徴付けるべき基礎的なプロセスが

${\displaystyle y^{*}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\beta +\varepsilon ,\,}$

どこ$\displaystyle y^{*}}$これは観測できない従属変数である（おそらく世論調査員が提示した声明に対する同意の正確なレベル）。${\displaystyle \mathbf {x} }$は独立変数のベクトルです。${\displaystyle \varepsilon }$は誤差項であり、標準ロジスティック分布に従うと仮定される。${\displaystyle \beta }$は、推定したい回帰係数のベクトルです。さらに、 を観測できないと仮定します。$\displaystyle y^{*}}$その代わりに、我々は応答のカテゴリーしか観察できない。

${\displaystyle y={\begin{cases}0&{\text{if }}y^{*}\leq \mu _{1},\\1&{\text{if }}\mu _{1}<y^{*}\leq \mu _{2},\\2&{\text{if }}\mu _{2}<y^{*}\leq \mu _{3},\\\vdots \\N&{\text{if }}\mu _{N}<y^{*}\end{cases}}}$

パラメータ$\displaystyle \mu _{i}}$これらは、観測可能なカテゴリの外部から課せられたエンドポイントです。次に、順序ロジット法は、 y*の打ち切りデータの一種であるyの観測値を使用して、パラメータベクトルを適合させます。${\displaystyle \beta }$。

ほとんどの統計モデルと同様に、最尤推定法またはベイズ推論法がパラメータを特定する最も一般的な方法です。^{[ 4 ]}推定値は、各独立変数が従属変数がより高いカテゴリに分類される可能性に及ぼす影響の方向と大きさを示します。

^{順序ロジスティック回帰は、輸送[ 5 ]} 、マーケティング^{[ 6 ]}、災害管理^{[ 7 ]}など、複数の分野で使用されています。

臨床研究において、薬剤が患者に及ぼす影響は、順序ロジスティック回帰を用いてモデル化されることがあります。独立変数には、薬剤の使用の有無、および人口統計学的情報や病歴の詳細などの制御変数が含まれます。従属変数は、完全治癒、症状改善、変化なし、症状悪化、死亡のいずれかの順位付けが可能です。

別の応用例としては、調査研究でよく用いられるリッカート尺度の項目があり、回答者は順序尺度（例：「強く反対」から「強く賛成」）で同意度を評価します。順序ロジットモデルは、回答オプションの順序を維持しながら、オプション間の間隔距離に関する仮定を一切行わないため、これらのデータに適切に適合します。^{[ 8 ]}

• 多項ロジット
• 多項プロビット

• Becker, William E.; Kennedy, Peter E. (1992). "順序付きプロビットの図解による解説". Econometric Theory . 8 (1): 127– 131. doi : 10.1017/S0266466600010781 .
• ゲルマン、アンドリュー；ヒル、ジェニファー（2007）。回帰分析と多段階／階層モデルを用いたデータ分析。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。pp. 119–124。ISBN  978-0-521-68689-1。
• Hardin, James; Hilbe, Joseph (2007).一般化線形モデルとその拡張（第2 版）. College Station: Stata Press. ISBN 978-1-59718-014-6。{{cite book}}: CS1メンテナンス: パブリッシャーの場所 (リンク)
• ウッドワード、マーク（2005）。疫学：研究デザインとデータ分析（第2 版）。チャップマン＆ホール/CRC。ISBN 978-1-58488-415-6。
• ウールドリッジ、ジェフリー（2010）。クロスセクションデータとパネルデータの計量経済学的分析（第2版）。ケンブリッジ ：MIT Press。pp. 643–666。ISBN  978-0-262-23258-6。

• Simon, Steve (2004-09-22). 「順序尺度の結果に対するサンプルサイズ」 . STATS − Steve による統計学の指導. 2014-08-22に取得.
• ロドリゲス、ドイツ人。「順序付けされたロジット モデル」。プリンストン大学。