トービットモデル

統計学において、トービットモデルとは、従属変数の観測範囲が何らかの方法で打ち切られる回帰モデルのクラスのいずれかである。 ^[1]この用語は、アーサー・ゴールドバーガーがジェームズ・トービン^{[2] [a]}に言及して作った造語である。トービンは1958年に耐久財に対する家計支出の観測値におけるゼロインフレデータの問題を軽減するためにこのモデルを開発した。^{[3] [b]}トービンの方法は、切り捨てられたサンプルやその他のランダムに選択されていないサンプルを扱うように簡単に拡張できるため、^[c]一部の著者はこれらのケースを含むトービットモデルのより広い定義を採用している。^[4]

トービンのアイデアは、尤度関数を修正して、潜在従属変数が決定された閾値を上回るか下回るかに応じて、各観測値の不均等なサンプリング確率を反映するようにすることだった。 ^[5]トービンの元のケースのように、ゼロで下から打ち切られたサンプルの場合、各非限界観測値のサンプリング確率は、適切な密度関数の高さに過ぎない。任意の限界観測値の場合、それは累積分布、つまり適切な密度関数のゼロ以下の積分である。したがって、トービット尤度関数は、密度と累積分布関数の混合である。^[6]

以下は、タイプ I トービットの尤度関数と対数尤度関数です。これは、潜在変数 のときに下から打ち切られるトービットです。尤度関数を書き出すには、まず指標関数 を定義します。 ${\displaystyle y_{L}}$${\displaystyle y_{j}^{*}\leq y_{L}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}0&{\text{if }}y\leq y_{L},\\1&{\text{if }}y>y_{L}.\end{cases}}}$

次に、を標準正規累積分布関数とし、を標準正規確率密度関数とする。N個の観測値を持つデータセットの場合、タイプIトービットの尤度関数は ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)^{I(y_{j})}\left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)^{1-I(y_{j})}}$

そして対数尤度は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )&=\sum _{j=1}^{n}I(y_{j})\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+(1-I(y_{j}))\log \left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)\\&=\sum _{y_{j}>y_{L}}\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left(\Phi \left({\frac {y_{L}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)\end{aligned}}}$

上で述べたように対数尤度は全体的に凹ではないため、最大尤度推定が複雑になる。オルセンは単純な再パラメータ化とを提案し、その結果、変換された対数 尤度が得られる。${\displaystyle \beta =\delta /\gamma }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\gamma ^{-2}}$

${\displaystyle \log {\mathcal {L}}(\delta ,\gamma )=\sum _{y_{j}>y_{L}}\left\{\log \gamma +\log \left[\varphi \left(\gamma y_{j}-X_{j}\delta \right)\right]\right\}+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left[\Phi \left(\gamma y_{L}-X_{j}\delta \right)\right]}$

これは変換されたパラメータに関して全体的に凹である。^[7]

切断型（トービットII）モデルでは、オームは対数尤度は全体的に凹ではないが、上記の変換の下では任意の定常点で凹になることを示した。 ^{[8] [9]}

関係パラメータを観測値を回帰して推定した場合、得られる通常の最小二乗回帰推定値は矛盾する。傾き係数の推定値は下方に偏り、切片の推定値は上方に偏る。雨宮健（1973）は、このモデルに対してトービンが提案した最大尤度推定値が矛盾しないことを証明した。^[10]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

係数は、線形回帰モデルの場合のように、のに対する効果として解釈されるべきではない。これはよくある誤りである。代わりに、(1) 限界を超えるものの変化を限界を超える確率で重み付けしたもの、および (2) 限界を超える確率の変化を限界を超える場合の の期待値で重み付けしたものの組み合わせとして解釈されるべきである。^[11]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$

トービットモデルのバリエーションは、打ち切りが行われる場所と時期を変えることで作り出すことができる。雨宮（1985、p.384）は、これらのバリエーションを5つのカテゴリー（トービットタイプI～トービットタイプV）に分類している。ここで、トービットタイプIは、上記の最初のモデルを表す。シュネドラー（2005）は、これらのトービットモデルやその他のバリエーションに対して一貫した尤度推定値を得るための一般的な公式を提供している。^[12]

トービットモデルは、独立変数が観測可能である一方で潜在変数が常に観測されるとは限らないため、打ち切り回帰モデルの特殊なケースです。トービットモデルの一般的なバリエーションは、ゼロ以外の 値で打ち切りを行うことです。${\displaystyle y_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{L}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}>y_{L},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}$

もう 1 つの例は、 を超える値の打ち切りです。 ${\displaystyle y_{U}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

上と下から同時に検閲される と、さらに別のモデルが生成されます。${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

残りのモデルは、0 未満に制限されているものとして提示されますが、これはタイプ I の場合と同様に一般化できます。

タイプIIトービットモデルは第二の潜在変数を導入する。^[13]

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

タイプ I トービットでは、潜在変数は参加のプロセスと関心のある結果の両方を吸収します。タイプ II トービットでは、参加 (選択) のプロセスと関心のある結果が独立しており、観測可能なデータに基づいて条件付けされます。

ヘックマン選択モデルはタイプIIトービット^{[14]に属し、}ジェームズ・ヘックマンにちなんでヘキットと呼ばれることもあります^[15]。

タイプ III では、2 番目の観測従属変数が導入されます。

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

ヘックマンモデルはこのタイプに分類されます。

タイプ IV では、3 番目の観測従属変数と 3 番目の潜在変数が導入されます。

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}<0.\end{cases}}}$

タイプ II と同様に、タイプ V では の符号のみが観察されます。 ${\displaystyle y_{1i}^{*}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0.\end{cases}}}$

潜在変数が正規分布していない場合、観測変数を分析するにはモーメントではなく分位数を使用する必要があります。PowellのCLAD推定量はこれを実現できる方法を提供します。^[16]${\displaystyle y_{i}^{*}}$${\displaystyle y_{i}}$

たとえば、トービットモデルは、補助金の受け取りに影響を与える要因を推定するために適用されてきた。これには、補助金を申請する可能性のある地方政府に配分される財政移転も含まれる。これらの場合、補助金の受領者はマイナスの金額を受け取ることはできないため、データは左側打ち切りとなる。たとえば、Dahlberg と Johansson (2002) は、115 の自治体 (うち 42 が補助金を受領) のサンプルを分析している。^[17] Dubois と Fattore (2011) は、トービットモデルを使用して、ポーランドの地方政府を適用することにより、欧州連合の資金受領におけるさまざまな要因の役割を調査している。 ^[18]ただし、データはゼロよりも高いポイントで左側打ち切りになる可能性があり、誤った指定のリスクがある。両研究は、堅牢性を確認するためにプロビットおよびその他のモデルを適用している。トービットモデルは、一部の商品に対する支出がゼロである観測値に対応するために、需要分析にも適用されている。トービットモデルの関連応用として、非線形トービット回帰モデルのシステムを使用して、等分散、異分散、一般化異分散の変種を持つブランド需要システムを共同で推定した。^[19]

• 切断正規ハードルモデル
• 限定従属変数
• 整流器（ニューラルネットワーク）
• 切り捨て回帰モデル
• 動的非観測効果モデル § 打ち切り従属変数
• プロビット モデルでは、 tobitという名前は、その作成者である Tobin と、プロビット モデルとの類似点の両方をもじったものです。

• 雨宮武 (1985) 「トービットモデル」上級計量経済学オックスフォード: バジルブラックウェル pp. 360–411. ISBN 0-631-13345-3。
• Breen, Richard (1996)。「打ち切りデータに対する Tobit モデル」。回帰モデル: 打ち切りデータ、サンプル選択データ、または切り捨てデータ。サウザンドオークス: Sage。pp. 12–33。ISBN 0-8039-5710-6。
• Gouriéroux, Christian (2000)。「トービットモデル」。質的従属変数の計量経済学。ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局。pp. 170–207。ISBN 0-521-58985-1。
• キング、ゲイリー(1989)。「非ランダム選択モデル」。統一政治手法：統計的推論の類似性理論。ケンブリッジ大学出版局。208～230 ページ。ISBN 0-521-36697-6。
• Maddala, GS (1983)。「打ち切り回帰モデルと切断回帰モデル」。計量経済学における限定従属変数と質的変数。ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局。pp. 149–196。ISBN 0-521-24143-X。