階乗モーメント母関数

確率論と統計学では、実数値確率変数Xの確率分布の階乗積率生成関数（FMGF）は次のように定義される。

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}}$

この期待値が存在するすべての複素数 tに対して成り立ちます。これは少なくとも単位円上のすべてのtに対して成り立ちます。特性関数を参照してください。X が非負整数の集合 {0,1, ...} でのみ値をとる離散確率変数である場合 、はXの確率生成関数(PGF)とも呼ばれ、少なくとも閉単位円上のすべてのtに対して明確に定義されます。 ${\displaystyle |t|=1}$${\displaystyle M_{X}}$${\displaystyle M_{X}(t)}$ ${\displaystyle |t|\leq 1}$

階乗モーメント生成関数は確率分布の階乗モーメントを生成する。t = 1の近傍に が存在する場合 、n番目の階乗モーメントは^[1]で与えられる。${\displaystyle M_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [(X)_{n}]=M_{X}^{(n)}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),}$

ここで、ポッホハマー記号( x ) _nは階乗降格である。

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\,}$

(多くの数学者、特に特殊関数の分野では、同じ表記法を使用して階乗を表します。 )

Xが期待値λのポアソン分布に従うと仮定すると、その階乗積率生成関数は

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,}$

（指数関数の定義を用いる）従って、

${\displaystyle \operatorname {E} [(X)_{n}]=\lambda ^{n}.}$

• モーメント（数学）
• モーメント生成関数
• キュムラント生成関数