分散に基づく感度分析

分散ベースの感度分析（イリヤ・M・ソボルにちなんでソボル法またはソボル指数と呼ばれることが多い）は、グローバル感度分析の一種です。^{[ 1 ] [ 2 ]}確率論的枠組みの中で、モデルまたはシステムの出力の分散を、入力または入力セットに起因する割合に分解します。たとえば、2つの入力と1つの出力を持つモデルの場合、出力分散の70%が最初の入力の分散によって、20%が2番目の入力の分散によって、10%が2つの入力間の相互作用によって生じることがわかります。これらの割合は、感度の尺度として直接解釈されます。分散ベースの感度尺度は、入力空間全体にわたる感度を測定できること（つまり、グローバルな方法であること）、非線形応答を扱えること、非加法的なシステムにおける相互作用の影響を測定できることから魅力的です。^{[ 3 ]}

ブラックボックスの観点から見ると、どのモデルも関数Y = f ( X ) と見なすことができ、ここでXはd 個の不確実なモデル入力のベクトル{ X ₁ , X ₂ , ... X _d } であり、Yは選択された単変量モデル出力です (このアプローチはスカラーモデル出力を調べますが、複数の出力は複数の独立した感度分析によって分析できます)。さらに、入力は単位超立方体内で独立かつ均一に分布していると仮定します。${\displaystyle X_{i}\in [0,1]}$のために${\displaystyle i=1,2,...,d}$。これは、任意の入力空間をこの単位超立方体に変換できるため、一般性を損なうことはありません。f ( X ) は次のように分解できます。^{[ 4 ]}

${\displaystyle Y=f_{0}+\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{i})+\sum _{i<j}^{d}f_{ij}(X_{i},X_{j})+\cdots +f_{1,2,\dots ,d}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

ここで、f ₀は定数であり、f _iはX _iの関数、f _{ij は}X _iとX _jの関数などである。この分解の条件は、

$\displaystyle \int _{0}^{1}f_{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}(X_{i_{1}},X_{i_{2}},\dots ,X_{i_{s}})dX_{k}=0,{\text{ for }}k=i_{1},...,i_{s}}$

つまり、関数分解のすべての項は直交している。これにより、関数分解の項は条件付き期待値で定義される。

${\displaystyle f_{0}=E(Y)}$

${\displaystyle f_{i}(X_{i})=E(Y|X_{i})-f_{0}}$

${\displaystyle f_{ij}(X_{i},X_{j})=E(Y|X_{i},X_{j})-f_{0}-f_{i}-f_{j}}$

これからわか​​るように、f _iはX _iのみを変化させた場合の効果（X _iの主効果として知られる）であり、f _ijはX _iとX _jを同時に変化させた場合の効果で、それぞれの変化による効果に加えて生じるものです。これは二次交互作用として知られています。高次の項も同様の定義を持ちます。

ここで、f ( X )が二乗可積分であるとさらに仮定すると、関数分解を二乗して積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \int f^{2}(\mathbf {X} )d\mathbf {X} -f_{0}^{2}=\sum _{s=1}^{d}\sum _{i_{1}<\dots <i_{s}}^{d}\int f_{i_{1}\dots i_{s}}^{2}dX_{i_{1}}\dots dX_{i_{s}}}$

左辺はYの分散に等しく、右辺の項は分散項であり、X _iの集合に関して分解されていることに注意してください。これにより、最終的に分散式の分解が得られます。

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sum _{i=1}^{d}V_{i}+\sum _{i<j}^{d}V_{ij}+\cdots +V_{12\dots d}}$

どこ

${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Var} _{X_{i}}\left(E_{{\textbf {X}}_{\sim i}}(Y\mid X_{i})\right)}$、

${\displaystyle V_{ij}=\operatorname {Var} _{X_{ij}}\left(E_{{\textbf {X}}_{\sim ij}}\left(Y\mid X_{i},X_{j}\right)\right)-V_{i}-V_{j}}$

など。X ~ _{iという表記は、}X _{i を}除く すべての変数の集合を示します。上記の分散分解は、モデル出力の分散を、各入力に起因する項と、それらの間の相互作用効果に分解する方法を示しています。すべての項を合計すると、モデル出力の総分散になります。

感度の直接的な分散ベースの尺度S _{i は}、「一次感度指数」または「主効果指数」と呼ばれ、次のように述べられています。^{[ 4 ]}

${\displaystyle S_{i}={\frac {V_{i}}{\operatorname {Var} (Y)}}}$

これは、 X _iの主効果の出力分散への寄与であり、したがって、 X _iのみを変化させた場合の効果を測定しますが、他の入力パラメータの変動については平均化されます。これは、分数的寄与を提供するために、全分散で標準化されます。高次の相互作用指数S _ij、S _ijkなどは、分散分解の他の項を Var( Y )で割ることによって形成できます。これは、次のことを意味することに注意してください。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}S_{i}+\sum _{i<j}^{d}S_{ij}+\cdots +S_{12\dots d}=1}$

上記のS _i、S _ijおよび高次の指標を使用すると、出力分散を決定する上での各変数の重要性を把握できます。ただし、変数の数が多い場合、2 ^d -1 個の指標を評価する必要があり、計算負荷が高すぎる場合があります。このため、「総効果指標」または「総次数指標」として知られるS _Tiという指標が使用されます。^{[ 5 ]}これは、任意の次数で他の入力変数との相互作用によって引き起こされるすべての分散を含め、X _iの出力分散への寄与を測定します。これは次のように与えられます。

${\displaystyle S_{Ti}={\frac {E_{{\textbf {X}}_{\sim i}}\left(\operatorname {Var} _{X_{i}}(Y\mid \mathbf {X} _{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}=1-{\frac {\operatorname {Var} _{{\textbf {X}}_{\sim i}}\left(E_{X_{i}}(Y\mid \mathbf {X} _{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}}$

S _iとは異なり、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}S_{Ti}\geq 1}$

例えば​​X _iとX _jの間の相互作用効果がS _TiとS _Tjの両方でカウントされるためです。実際、S _Tiの合計は、モデルが純粋に加法的である場合にのみ 1 になります。

解析的に扱いやすい関数であれば、上記の指数は分解における積分を評価することで解析的に計算できます。しかし、ほとんどの場合、指数は推定値であり、通常はモンテカルロ法によって求められます。

サンプリングシーケンス

モンテカルロ法では、単位超立方体内にランダムに分布した点のシーケンスを生成します（厳密には擬似乱数となります）。実際には、推定量の効率を向上させるために、ランダムなシーケンスを低不一致シーケンスに置き換えることが一般的です。これは準モンテカルロ法として知られています。感度分析でよく使用される低不一致シーケンスには、ソボルシーケンスやラテン超立方体設計などがあります。

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