多角形モデリング

3D コンピュータ グラフィックスにおけるポリゴンモデリングは、ポリゴン メッシュを使用してオブジェクトの表面を表現または近似することによってオブジェクトをモデリングする手法です。ポリゴン モデリングはスキャンライン レンダリングに適しているため、リアルタイム コンピュータ グラフィックスに最適な方法です。3D オブジェクトを表現する他の方法としては、 NURBSサーフェス、サブディビジョン サーフェス、レイ トレーサーで使用される方程式ベース (暗黙的サーフェス) 表現などがあります。

メッシュモデリングで使用される基本的なオブジェクトは、3次元空間内の点である頂点です。直線で接続された2つの頂点はエッジになります。3つのエッジで互いに接続された3つの頂点は三角形を定義します。これは、ユークリッド空間で最も単純なポリゴンです。より複雑なポリゴンは、複数の三角形から、または4つ以上の頂点を持つ単一のオブジェクトとして作成できます。4辺のポリゴン（一般にクワッドと呼ばれる）^{[1] [2]}と三角形は、ポリゴンモデリングで使用される最も一般的な形状です。共有頂点によって互いに接続されたポリゴンのグループは、一般に要素と呼ばれます。要素を構成する各ポリゴンは面と呼ばれます。

ユークリッド幾何学では、同一直線上にない任意の 3 つの点によって平面が決定されます。このため、三角形は常に単一の平面上に存在します。ただし、より複雑な多角形の場合は必ずしもそうとは限りません。三角形は平坦なため、三角形の表面に垂直な 3 次元ベクトルである表面法線を簡単に決定できます。表面法線は、レイ トレーシングで光の輸送を決定するのに役立ち、一般的なフォン シェーディングモデルの主要コンポーネントです。レンダリング システムの中には、処理は増えますが見栄えの良い照明システムを作成するために、面法線ではなく頂点法線を使用するものもあります。すべての三角形には、互いに反対方向を指す 2 つの面法線があることに注意してください。多くのシステムでは、これらの法線のうち 1 つだけが有効とみなされます。多角形のもう一方の側は背面と呼ばれ、プログラマの希望に応じて表示または非表示にすることができます。

多くのモデリング プログラムでは、幾何学理論を厳密に適用していません。たとえば、2 つの頂点が 2 つの異なるエッジで接続され、まったく同じ空間位置を占めている可能性があります。また、2 つの頂点が同じ空間座標に存在することや、2 つの面が同じ場所に存在する可能性もあります。このような状況は通常望ましくないため、多くのパッケージでは自動クリーンアップ機能がサポートされています。ただし、自動クリーンアップが存在しない場合は、手動で削除する必要があります。

共通の頂点で接続されたポリゴンのグループは、メッシュと呼ばれます。レンダリング時にメッシュが美しく表示されるためには、メッシュが自己交差しない、つまりポリゴンを貫通するエッジがないことが望まれます。 別の見方をすると、メッシュが自己交差しないということです。 また、メッシュには重複した頂点、エッジ、面などのエラーが含まれないことも望まれます。 目的によっては、メッシュが多様体である、つまり穴や特異点 (メッシュの 2 つの異なるセクションが 1 つの頂点で接続される場所) が含まれないことが重要です。

頂点と面を手動で指定してメッシュを構築することも可能ですが、さまざまなツールを使用してメッシュを構築する方がはるかに一般的です。ポリゴン メッシュの構築には、さまざまな3D グラフィック ソフトウェアパッケージを使用できます。

メッシュを構築する最も一般的な方法の 1 つは、次の 2 つの簡単なツールを使用するボックス モデリングです。

• 細分化ツールは、新しい頂点を追加して、面とエッジを小さな部分に分割します。たとえば、正方形は、中央に 1 つの頂点を追加し、各エッジに 1 つずつ頂点を追加して細分化され、4 つの小さな正方形が作成されます。
• 押し出しツールは、面または面のグループに適用されます。押し出しツールは、面によって既存の各エッジに接続された、同じサイズと形状の新しい面を作成します。したがって、正方形の面で押し出し操作を実行すると、面の位置でサーフェスに接続された立方体が作成されます。

2 つ目の一般的なモデリング方法は、インフレーション モデリングまたは押し出しモデリングと呼ばれることもあります。この方法では、ユーザーは写真や図面からオブジェクトのアウトラインをトレースする 2D シェイプを作成します。^[3] 次に、ユーザーは別の角度から被写体を撮影した 2 つ目の画像を使用し、シェイプのアウトラインに沿って 2D シェイプを 3D に押し出します。この方法は、顔や頭を作成する場合に特によく使用されます。一般的に、アーティストは頭の半分をモデリングしてから頂点を複製し、ある平面を基準にして頂点の位置を反転し、2 つの部分を接続します。これにより、モデルが対称的になります。

ポリゴン メッシュを作成するもう 1 つの一般的な方法は、モデリング環境によって作成された定義済みのポリゴン メッシュであるさまざまなプリミティブを接続することです。一般的なプリミティブには次のものがあります。

• キューブ
• ピラミッド
• シリンダー
• 正方形、三角形、円盤などの2Dプリミティブ
• ユタ ティーポットや、Blender の猿のマスコットであるスザンヌなどの特殊または難解なプリミティブ。
• 球体 - 球体は通常、次の 2 つの方法のいずれかで表現されます。
  • イコスフィアは、球体に似るのに十分な数の三角形を持つ二十面体です
  • UV 球は四角形で構成され、一部の地球儀で見られるグリッドに似ています。四角形は球の「赤道」の近くでは大きく、「極」の近くでは小さくなり、最終的には 1 つの頂点で終わります。

最後に、高詳細または低詳細のメッシュを構築するための特殊な方法がいくつかあります。スケッチ ベースのモデリングは、低詳細モデルをすばやく構築するためのユーザー フレンドリなインターフェイスです。一方、3D スキャナーを使用すると、既存の現実世界のオブジェクトに基づいて、ほぼ自動的に高詳細メッシュを作成できます。これらのデバイスは非常に高価で、通常は研究者や業界の専門家のみが使用しますが、高精度のサブ ミリメートルのデジタル表現を生成できます。

ポリゴン メッシュに対して実行できる操作は非常に多くあります。これらの操作の一部は、実際の 3D オブジェクトの操作とほぼ一致しますが、そうでないものもあります。ポリゴン メッシュ操作には次のものがあります。

• 作成 - 他の数学的オブジェクトから新しいジオメトリを作成する
  • ロフト - 2つ以上のプロファイル曲線に沿って形状を作成してメッシュを生成します
  • 押し出し - プロファイル曲線またはポリゴンサーフェスを直線または線形に沿ってスイープしてサーフェスを作成します。
  • 回転 - 軸を中心に図形を回転させてメッシュを生成します
  • マーチングキューブ -暗黙の関数からメッシュを構築するアルゴリズム
• バイナリ作成 - 2つのメッシュのバイナリ演算から新しいメッシュを作成します
  • 追加 - 2つ以上のメッシュのブール加算
  • 減算 - 2つ以上のメッシュのブール減算
  • 交差 - ブール交差
  • 結合 - 2つ以上のメッシュのブール結合
  • アタッチ - メッシュを別のメッシュにアタッチします（内部サーフェスを削除します）
  • 面取り - 2つの面を滑らかに接続する面取り面を作成します
• 変形 - メッシュの頂点のみを移動します
  • 変形 - 頂点を体系的に移動する（特定の関数またはルールに従って）
  • 重み付け変形 - 頂点ごとに局所的な重みに基づいて頂点を移動します
  • モーフ - ソースメッシュとターゲットメッシュ間で頂点をスムーズに移動
  • 曲げ - 頂点を移動してオブジェクトを「曲げる」
  • ねじり - 頂点を移動してオブジェクトを「ねじる」
• 操作 - メッシュのジオメトリを変更しますが、必ずしもトポロジを変更する必要はありません。
  • ディスプレイスメント - 表面からの「ディスプレイスメントマップ」に基づいて追加のジオメトリを導入します
  • 簡素化 - 頂点を体系的に削除して平均化する
  • 細分化- 各面を細分化してメッシュに新しい頂点を導入します。たとえば、 Catmull-Clarkの場合、細分化は適用先のメッシュにスムージング効果をもたらすこともできます。
  • 凸包- 与えられたメッシュを最小限に囲む凸メッシュを生成する
  • カット - メッシュ表面に穴を開ける
  • ステッチ - メッシュ表面の穴を閉じる
• 測定 - メッシュの値を計算する
  • ボリューム- メッシュの 3D ボリュームを計算します (離散体積積分)
  • 表面積- メッシュの表面積を計算します（離散表面積分）
  • 衝突検出 - 動いている2つの複雑なメッシュが衝突したかどうかを判定します
  • フィッティング - 指定されたメッシュにフィッティングしてパラメトリックサーフェス（NURBS、双3次スプライン）を構築します。
  • 点と面の距離 - 点からメッシュまでの距離を計算します
  • 線面距離 - 線からメッシュまでの距離を計算します
  • 線と面の交差 - 線とメッシュの交差を計算します
  • 断面 - メッシュを通る平面の断面によって作成される曲線を計算します。
  • 重心- メッシュの重心、幾何学的中心を計算します
  • 質量中心 - メッシュの質量中心、バランスポイントを計算します
  • 円心- メッシュの要素を囲む円または球の中心を計算します
  • 内心- メッシュの要素で囲まれた円または球の中心を計算します

ポリゴン メッシュが構築されたら、ゲームやアニメーションなどで使用できるようになるまで、さらに手順を踏む必要があります。モデルにテクスチャ マップを適用して、表面に色とテクスチャを追加し、アニメーション用のスケルトンを作成する必要があります。メッシュには、物理​​シミュレーションで使用するために、重みと重心を割り当てることもできます。

モデリング環境外でコンピュータ画面にモデルを表示するには、そのモデルを以下のいずれかのファイル形式で保存し、その形式からロードできるプログラムを使用するか作成する必要があります。 3D ポリゴン モデルを表示する主な 2 つの方法は、OpenGLとDirect3Dです。これらの方法は両方とも、3D アクセラレーショングラフィック カードの有無にかかわらず使用できます。

ポリゴンを使用してオブジェクトを表現することには、多くの欠点があります。ポリゴンは曲面を正確に表現できないため、曲線を視覚的に魅力的な方法で近似するには、多数のポリゴンを使用する必要があります。複雑なモデルを使用すると、速度が低下するという代償があります。スキャンライン変換では、サイズに関係なく、各ポリゴンを変換して表示する必要があり、一度に多数のモデルが画面に表示されることがよくあります。多くの場合、プログラマーは、レンダリングされるポリゴンの数を減らすために、同じオブジェクトを表現するために、 さまざまな詳細レベルの複数のモデルを使用する必要があります。

ポリゴンの主な利点は、他の表現よりも高速であることです。最新のグラフィックカードは、1秒あたり60フレーム以上のフレームレートで非常に詳細なシーンを表示できますが、非ポリゴンモデルを表示する主な方法であるサーフェスモデラーでは、同様の詳細度でインタラクティブなフレームレート（10フレーム/秒以上）を実現できません。ポリゴンのもう1つの代替手段であるスプライトでは、必要なポーズをすべて個別に作成する必要がありますが、単一のポリゴンモデルは、適切なモーションデータを適用すればあらゆる動きを実行でき、どの角度からでも見ることができます。^[4]

3D ポリゴン データを保存するために、さまざまな形式が利用できます。最も一般的な形式は次のとおりです。

• .3ds、.max（3D Studio Maxに関連付けられている）
• .blendはBlenderに関連付けられています
• Cinema 4Dに関連付けられた .c4d
• .dae (コラダ)
• . dxf、.dwg、.dwf、AutoCADに関連付けられている
• .fbx (Autodesk の旧.Kaydara Filmbox)
• .jt は元々 Siemens Digital Industries Softwareによって開発され、現在はISO標準となっています。
• .lwoはLightwaveに関連付けられています
• MODOに関連付けられている.lxo
• .mb と .ma はMayaに関連付けられています
• .md2、.md3、Quakeシリーズのゲームに関連付けられている
• ValveのSource Engineで使用される .mdl
• .nif ( NetImmerse / gamebryo )
• .obj (Wavefront の「高度なビジュアライザー」)
• 3Dスキャナからのデータを保存するために使用される.ply
• .rwx (レンダウェア)
• ラピッドプロトタイピングで使用される.stl
• .u3d (ユニバーサル3D )
• .wrl (VRML 2.0)

• 有限要素法
• メッシュ生成
• ポリゴン（コンピュータグラフィックス）
• ポリゴンメッシュ
• ベクターグラフィック
• ジオメトリ処理
• 3Dモデリング

1. OpenGL SuperBible (第 3 版)、Richard S Wright および Benjamin Lipchak 著ISBN 0-672-32601-9 
2. OpenGL プログラミング ガイド: OpenGL 学習のための公式ガイド、バージョン 1.4、第 4 版、OpenGL Architecture Review Board 著ISBN 0-321-17348-1 
3. OpenGL(R) リファレンス マニュアル: OpenGL の公式リファレンス ドキュメント、バージョン 1.4 (第 4 版)、OpenGL Architecture Review Board 著ISBN 0-321-17383-X 
4. Blender ドキュメント: https://web.archive.org/web/20051212074804/http://blender.org/cms/Documentation.628.0.html
5. Maya ドキュメント: Alias Maya に同梱されています。http://www.alias.com/eng/index.shtml