測地多面体

測地多面体は、三角形で作られた凸多面体です。測地多面体は通常、 20 面体対称性を持ち、頂点には 6 つの三角形がありますが、12 の頂点には 5 つの三角形があります。測地多面体は、対応するゴールドバーグ多面体の双対であり、最小のもの (正12 面体) を除いて、ほとんどが六角形の面を持っています。

測地多面体は、多くの目的において球体の近似値としてよく用いられ、さまざまな場面で用いられる。最も有名なのは、バックミンスター・フラーが設計した半球形の建築構造物である測地線ドームであろう。測地線多面体はこのドームにちなんで名づけられた。測地学で用いられる測地線グリッドも測地線多面体の形状をしている。一部のウイルスのカプシドは測地線多面体の形状をしており^{[1] [2]}、一部の花粉粒は測地線多面体に基づいている。^[3]フラーレン分子はゴールドバーグ多面体の形状をしている。測地線多面体は、Blender 3Dモデリングソフトウェアパッケージで幾何学的プリミティブとして利用でき、そこではアイコスフィアと呼ばれている。これは、 UV球の代替物であり、より規則的な分布をしている。^{[4] [5]}ゴールドバーグ・コクセター構造は、測地線多面体の基礎となる概念の拡張である。

Magnus Wenningerの球状モデルでは、多面体は{3, q +} _{b , c}の形式で測地線表記されます。ここで、{3, q } は、三角形の面と q-価の頂点を持つ正多面体を表すSchläfli 記号です。+記号は、頂点の価数が増加することを示します。b、c は細分記述を表し、 1,0 は基本形式を表します。形式の対称クラスは 3 つあります。四面体の場合は {3,3+} _{1,0 、}八面体の場合は{3,4+} _{1,0 、}二十面体の場合は {3,5+} _1,0です。

ゴールドバーグ多面体の双対表記は{ q +,3} _{b , c}で、頂点の価数は 3、面の数はq角形と六角形です。形状の対称クラスは 3 つあります。四面体の場合は{3+,3} _{1,0 、}立方体の場合は{4+,3} _{1,0 、}十二面体の場合は{5+,3} _1,0です。

b、cの値は3 つのクラスに分類されます。

クラス I (b=0 または c=0): {3, q +} _{b ,0}または{3, q +} _{0, b は}、元のエッジがb 個のサブエッジに分割される単純な分割を表します。

クラス II (b=c): {3, q +} _{b、b は}、まずq角形の面を中心点を持つ三角形に分割し、次にすべての辺をb個のサブ辺に分割した双対多面体{ q 、 3} から見るとわかりやすいです。

クラス III : {3, q +} _{b、c は}、 b、cに対してゼロ以外の不等な値を持ち、カイラルペアで存在します。b  >  cの場合、これを右手形式として定義でき、c  >  b は左手形式です。

ここで、クラス III のサブディビジョンは、単純に元のエッジと一列に並びません。サブグリッドは、三角形のタイリングを見て、グリッドの頂点の上に大きな三角形を配置し、1 つの頂点から1 方向にbステップ進み、時計回りまたは反時計回りに回転してから、次のプライマリ頂点までcステップ進むことで抽出できます。

たとえば、二十面体は {3,5+} _1,0であり、五十六面体十二面体{3,5+} _1,1は、五角形の面が 5 つの三角形に分割された 正十二面体として見られます。

細分化の主な面は、主多面体三角形(PPT) または内訳構造と呼ばれます。 1 つの PPT を計算することで、図形全体を作成できます。

測地多面体の周波数は、 ν = b + c の合計によって定義されます。高調波はサブ周波数であり、νの任意の全約数になります。クラス II では、 ν = 2 bであるため、常に高調波は 2 になります。

三角形分割数はT = b ² + bc + c ²です。この数に元の面の数を掛けると、新しい多面体に含まれる三角形の数を表します。

要素の数は三角形分割数によって指定されます。2 つの異なる測地多面体の要素数は同じである場合があります。たとえば、{3,5+} _5,3と {3,5+} _7,0はどちらも T=49 です。 ${\displaystyle T=b^{2}+bc+c^{2}}$

測地多面体は、より単純な多面体の面を細分化し、新しい頂点を球の表面に投影することによって構築されます。測地多面体は、球に近い直線の辺と平らな面を持ちますが、球の表面の真の測地曲線の辺と球面三角形の面を持つ球面多面体(球面上のモザイク)として作成することもできます。

この場合、{3,5+} _3,0 、頻度および三角形分割数では、多角形の 4 つのバージョンのそれぞれに、92 個の頂点 (6 つの辺が結合する部分が 80 個、5 つの辺が結合する部分が 12 個)、270 個の辺、および 180 個の面があります。 ${\displaystyle \nu =3}$${\displaystyle T=9}$

測地多面体はゴールドバーグ多面体の双対です。ゴールドバーグ多面体は、kis 演算子(面を中心点を持つ三角形に分割する) を適用すると新しい測地多面体が作成され、測地多面体の頂点を切り取ると新しいゴールドバーグ多面体が作成されるという点でも関連しています。たとえば、ゴールドバーグ G(2,1)を切り取ると {3,5+} _4,1になり、それを切り取ると G(6,3) になります。同様に、{3,5+} _2,1を切り取ると G(4,1) になり、それを切り取ると{3,5+} _6,3になります。

マグナス・ウェニンガーの著書「球状モデル」では、多面体モデルの構築におけるこれらの細分化について考察しています。これらのモデルの構築を説明した後、彼はパターンをマークするために三角形のグリッドを使用し、モデル内の三角形を色付けしたり除外したりすることを説明しました。^[6]

• コンウェイ多面体表記

• ウィリアムズ、ロバート(1979)。『自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック』pp. 142-144、図 4-49、50、51 12 個の球、42 個の球、92 個の球のクラスター。
• Pugh, Antony (1976)。「第 6 章 R. Buckminster Fuller の測地線多面体と関連する多面体」。多面体: 視覚的アプローチ。
• ウェニンガー、マグナス（1979）。球状モデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-29432-4. MR  0552023. 2008年7月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 Dover (1999) より再版、ISBN 978-0-486-40921-4。 
• Popko, Edward S. (2012)。「第 8 章 細分化スキーマ、8.1 測地線表記法、8.2 三角測量数、8.3 周波数と高調波、8.4 グリッド対称性、8.5 クラス I: 交代とフォード、8.5.1 主三角形の定義、8.5.2 エッジ参照ポイント」。分割された球: 測地線と球の整然とした細分化。