ハーゲン・ポアズイユ方程式

非理想流体力学において、ハーゲン・ポアズイユの法則、ポアズイユの法則、ポアズイユ方程式とも呼ばれるハーゲン・ポアズイユの式は、一定断面積の長い円筒管を流れる層流における非圧縮性ニュートン流体の圧力降下を与える物理法則である。この法則は、肺胞内の空気の流れ、またはストローや皮下注射針を通る流れにうまく適用できる。この法則は、1838年にジャン・レオナール・マリー・ポアズイユ^[1]とゴットヒルフ・ハインリヒ・ルートヴィヒ・ハーゲン^[2]によって独立に実験的に導出され、1839年にハーゲン^[1]によって発表され、その後1840～41年と1846年にポアズイユによって発表された。 ^[1]ポアズイユの法則の理論的根拠は、1845年にジョージ・ストークスによって示された。 ^[3]

この式の仮定は、流体が非圧縮性でニュートン流体であること、流れが一定円形断面のパイプを通る層流で、パイプの直径よりもかなり長いこと、パイプ内で流体が加速されないことです。速度とパイプ直径が閾値を超えると、実際の流体の流れは層流ではなく乱流になり、ハーゲン・ポアズイユの式で計算されるよりも大きな圧力降下が生じます。

ポアズイユの法則は、流体の粘性による圧力降下を記述します。流体では他の種類の圧力降下が発生することもあります（ここでデモンストレーションを参照してください）。 ^[4]たとえば、粘性流体を重力に逆らって押し上げるために必要な圧力には、ポアズイユの法則に必要な圧力とベルヌーイの法則に必要な圧力の両方が含まれるため、流体のどの点でも圧力はゼロより大きくなります（そうでなければ流れは起こりません）。

別の例として、血液が狭い狭窄部に流れ込む場合、その速度は直径が大きい場合よりも速くなり（体積流量の連続性のため）、圧力は直径が大きい場合よりも低くなります^[4]（ベルヌーイの法則のため）。ただし、血液の粘性により、流れの方向に沿って圧力降下がさらに発生し、これは移動距離に比例します^[4]（ポアズイユの法則による）。両方の効果が実際の圧力降下に寄与します。

標準的な流体力学表記法では：^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi R^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{A^{2}}},}$

どこ

Δ pは両端間の圧力差であり、

Lはパイプの長さ、

μは動粘度であり、

Qは体積流量であり、

Rはパイプの半径、

Aはパイプの断面積です。

この式はパイプの入口付近では成立しない。^{[8] : 3}

この式は、低粘性、幅広および/または短パイプの限界では成り立たない。低粘性または幅広パイプは乱流を引き起こす可能性があり、ダルシー・ワイスバッハの式などのより複雑なモデルを使用する必要がある。ハーゲン・ポアズイユの法則が成立するためには、パイプの長さと半径の比はレイノルズ数の1/48より大きくなければならない。 ^[9]パイプが短すぎると、ハーゲン・ポアズイユの式は物理的に不可能なほど高い流量をもたらす可能性がある。流れはベルヌーイの原理によって制限されるが、より制限の少ない条件下では、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p={\frac {1}{2}}\rho {\overline {v}}_{\text{max}}^{2}&={\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {Q_{\text{max}}}{\pi R^{2}}}\right)^{2}\\\Rightarrow \quad Q_{\max }{}&=\pi R^{2}{\sqrt {\frac {2\Delta p}{\rho }}},\end{aligned}}}$

非圧縮性の流れでは 負の（絶対）圧力（ゲージ圧と混同しないでください）を持つことは不可能だからです。

通常、ハーゲン・ポアズイユ流は、上記の圧力降下の関係だけでなく、放物線状の層流プロファイルの完全な解も意味します。ただし、乱流の場合の有効乱流粘性を推測することで、圧力降下の結果を乱流に拡張できます。ただし、乱流の流れプロファイルは厳密に言えば実際には放物線ではありません。層流でも乱流でも、圧力降下は壁の応力と関連しており、壁の応力によっていわゆる摩擦係数が決まります。壁の応力は、摩擦係数とレイノルズ数の関係が与えられれば、水力学の分野におけるダルシー・ワイスバッハの式によって現象的に決定できます。層流の場合、円形の断面では次のようになります。

${\displaystyle \Lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }},\quad \mathrm {Re} ={\frac {\rho vd}{\mu }},}$

ここで、Reはレイノルズ数、ρは流体の密度、v は平均流速で、層流の場合は最大流速の半分です。レイノルズ数を平均流速で定義すると、乱流の場合でもこの量が明確に定義されるのに対し、最大流速は明確に定義されないか、いずれにしても推測が難しいため、より有用です。この形式では、法則は、円筒管内の非常に低速の層流におけるダルシー摩擦係数、エネルギー（ヘッド）損失係数、摩擦損失係数、またはダルシー（摩擦）係数 Λを近似します。わずかに異なる形式の法則の理論的導出は、1856年に Wiedman と 1858 年（1859、1860 年）に Neumann と E. Hagenbach によって独立して行われました。Hagenbach は、こ​​の法則をポアズイユの法則と呼んだ最初の人物でした。

この法則は、生理学の分野である血液レオロジーや血行動態学においても非常に重要である。^[10]

ポアズイユの法則は、1891 年にハーゲンバッハの研究に基づいて L. R. ウィルバーフォースによって 乱流に拡張されました。

ハーゲン・ポアズイユ方程式は、ナビエ・ストークス方程式から導くことができます。均一な（円形）断面のパイプを通る層流は、ハーゲン・ポアズイユ流として知られています。ハーゲン・ポアズイユ流を支配する方程式は、次の一連の仮定を置くことで、 3D 円筒座標 （r、θ、x）のナビエ・ストークス運動量方程式から直接導くことができます。

1. 流れは安定している（⁠∂.../∂t ...⁠ = 0）。
2. 流体速度の半径方向成分と方位角成分はゼロです（u _r = u _θ = 0）。
3. 流れは軸対称である（⁠∂.../∂θ​⁠ = 0）。
4. 流れが完全に発達している（⁠∂u x_​/∂xの⁠ = 0）。ただし、ここでは質量保存則と上記の仮定によってこれを証明できます。

すると、運動量方程式の角方程式と連続方程式は同一に満たされる。動径運動量方程式は次のように簡約される。∂pの/∂rの⁠ = 0、つまり圧力 p は軸座標xのみの関数です。簡潔にするために、の代わりにu を使用します。軸運動量方程式は次のように簡略化されます 。${\displaystyle u_{x}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}}$

ここで、 μ は流体の動粘性です。上記の式では、左辺はrのみの関数であり、右辺はxのみの関数であるため、両方の項は同じ定数である必要があります。この定数の評価は簡単です。パイプの長さをLとし、パイプの両端の圧力差をΔ p (高圧 - 低圧) とすると、定数は単純に

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\Delta p}{L}}=G}$

Gが正となるように定義される。解は

${\displaystyle u=-{\frac {Gr^{2}}{4\mu }}+c_{1}\ln r+c_{2}}$

u はr = 0で有限である必要があるため、c ₁ = 0です。パイプ壁での滑りのない境界条件では、 r = R (パイプの半径)でu = 0である必要があり、 c ₂ = ⁠となります。GR2 ^{2015/03/13 16:00 更新}/4μ​⁠ . 最終的に次の放物線状の 速度プロファイルが得られます。

${\displaystyle u={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

最大速度はパイプの中心線（r = 0）で発生し、u _max = ⁠GR2 ^{2015/03/13 16:00 更新}/4μ​⁠平均速度はパイプの断面積にわたって積分することで得られます。

${\displaystyle {u}_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi ru\mathrm {d} r={\tfrac {1}{2}}{u}_{\mathrm {max} }.}$

実験で簡単に測定できる量は体積流量Q = π R ² u _avgである。これを整理するとハーゲン・ポアズイユの式が得られる。

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu QL}{\pi R^{4}}}.}$

一定の圧力勾配G = − ⁠d p/d x⁠ を長いパイプの両端に適用すると、流れはすぐにポアズイユプロファイルを得るのではなく、時間の経過とともに発達し、定常状態でポアズイユプロファイルに到達します。ナビエ・ストークス方程式は次のように簡約されます。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {G}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)}$

初期条件と境界条件を

${\displaystyle u(r,0)=0,\quad u(R,t)=0.}$

速度分布は次のように表される。

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)-{\frac {2GR^{2}}{\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{3}}}{\frac {J_{0}(\lambda _{n}r/R)}{J_{1}(\lambda _{n})}}e^{-\lambda _{n}^{2}\nu t/R^{2}},\quad J_{0}\left(\lambda _{n}\right)=0}$

ここでJ ₀ ( ⁠λnr_​​/R⁠ ) は0次の第一種ベッセル関数であり、 λ _{n はこの関数}の正根であり、 J ₁ ( λ _n )は1次の第一種ベッセル関数である。t → ∞になると、ポアズイユ解が回復する。 ^[11]

R ₁が内筒の半径、R _{2 が}外筒の半径で、両端の間に一定の圧力勾配がかかっている場合、 G = − ⁠d p/d x⁠、環状パイプを通る速度分布と体積流束は

${\displaystyle {\begin{aligned}u(r)&={\frac {G}{4\mu }}\left(R_{1}^{2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu }}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right){\frac {\ln r/R_{1}}{\ln R_{2}/R_{1}}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi }{8\mu }}\left[R_{2}^{4}-R_{1}^{4}-{\frac {\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)^{2}}{\ln R_{2}/R_{1}}}\right].\end{aligned}}}$

R ₂ = R、R ₁ = 0のとき、元の問題が回復される。^[12]

振動圧力勾配を有するパイプを通る流れは、大動脈を通る血流に応用されている。^{[13] [14] [15] [16]}課せられた圧力勾配は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-G-\alpha \cos \omega t-\beta \sin \omega t}$

ここで、G、α、βは定数、ωは周波数である。速度場は次のように与えられる。

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+[\alpha F_{2}+\beta (F_{1}-1)]{\frac {\cos \omega t}{\rho \omega }}+[\beta F_{2}-\alpha (F_{1}-1)]{\frac {\sin \omega t}{\rho \omega }}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {ber} (kR)+\mathrm {bei} (kr)\mathrm {bei} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\\[6pt]F_{2}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {bei} (kR)-\mathrm {bei} (kr)\mathrm {ber} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\end{aligned}}}$

ここで、berとbeiはケルビン関数であり、k ² = ⁠ρω/μ⁠ .

平面ポアズイユ流は、距離hで隔てられた 2 つの無限に長い平行板の間に生じる流れで、圧力勾配G = − ⁠d p/d x⁠ は流れの方向に適用されます。流れは無限の長さのため本質的に一方向です。ナビエ・ストークス方程式は次のように簡約されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}}$

両方の壁が 滑り止め状態

${\displaystyle u(0)=0,\quad u(h)=0}$

したがって、速度分布と単位長さあたりの体積流量は

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y(h-y),\quad Q={\frac {Gh^{3}}{12\mu }}.}$

ジョセフ・ブシネスクは1868年に長方形のチャネルと正三角形の断面を持つチューブ、および楕円形の断面を持つチューブの速度プロファイルと体積流量を導出した。^[17] ジョセフ・プラウドマンは1914年に二等辺三角形について同じことを導出した。^[18] G = −とすると⁠d p/d x⁠動きと平行な方向に作用する一定の圧力勾配とする。

高さ0 ≤ y ≤ h、幅0 ≤ z ≤ lの長方形チャネル内の速度と体積流量は、

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}y(h-y)-{\frac {4Gh^{2}}{\mu \pi ^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{3}}}{\frac {\sinh(\beta _{n}z)+\sinh[\beta _{n}(l-z)]}{\sinh(\beta _{n}l)}}\sin(\beta _{n}y),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{h}},\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{3}l}{12\mu }}-{\frac {16Gh^{4}}{\pi ^{5}\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{5}}}{\frac {\cosh(\beta _{n}l)-1}{\sinh(\beta _{n}l)}}.\end{aligned}}}$

辺の長さが⁠の正三角形の断面を持つ管の速度と体積流量2時間/√3​⁠は

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&=-{\frac {G}{4\mu h}}(y-h)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{4}}{60{\sqrt {3}}\mu }}.\end{aligned}}}$

直角二等辺三角形y = π、y ± z = 0における速度と体積流量は

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}(y+z)(\pi -y)-{\frac {G}{\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{3}\sinh(2\pi \beta _{n})}}\left\{\sinh[\beta _{n}(2\pi -y+z)]\sin[\beta _{n}(y+z)]-\sinh[\beta _{n}(y+z)]\sin[\beta _{n}(y-z)]\right\},\quad \beta _{n}=n+{\tfrac {1}{2}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi ^{4}}{12\mu }}-{\frac {G}{2\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{5}}}\left[\coth(2\pi \beta _{n})+\csc(2\pi \beta _{n})\right].\end{aligned}}}$

半軸aとbを持つ楕円断面の管の速度分布は[ ^11]

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu \left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}}\left(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\right),\\[6pt]Q&={\frac {\pi Ga^{3}b^{3}}{4\mu \left(a^{2}+b^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$

ここで、a = bのとき、円管のポアズイユ流れが再現され、a → ∞のとき、平面ポアズイユ流れが再現される。カタツムリ形断面、半円に続く切欠円の形状を持つ断面、同心楕円間の環状断面、非同心円間の環状断面などの断面を持つより明示的な解も利用可能であり、Ratip Berker  [tr; de]によってレビューされている。^{[19] [20]}

任意の断面u ( y , z )を通る流れは、壁上でu = 0という条件を満たす。支配方程式は次のように簡約される^[21]。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}.}$

新たな従属変数を導入すると、

${\displaystyle U=u+{\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right),}$

すると、問題はラプラス方程式を積分することで簡単にわかる。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0}$

条件を満たす

${\displaystyle U={\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right)}$

壁に。

チューブ内の圧縮性流体の場合、体積流量 Q ( x )と軸方向速度はチューブに沿って一定ではありませんが、質量流量はチューブの長さに沿って一定です。体積流量は通常、出口圧力で表されます。流体が圧縮または膨張すると、仕事が行われ、流体は加熱または冷却されます。これは、流量が流体への熱伝達と流体からの熱伝達に依存することを意味します。流体の温度が周囲と平衡になるように許容される等温ケースの理想気体の場合、圧力降下の近似関係を導くことができます。 ^[22]定温プロセス（つまり、は一定）の理想気体の状態方程式と質量流量の保存（つまり、は一定）を使用すると、関係Qp = Q ₁ p ₁ = Q ₂ p ₂が得られます。パイプの短いセクションでは、パイプを流れるガスは非圧縮であると仮定できるため、ポアズイユの法則を局所的に使用できます。 ${\displaystyle p/\rho }$${\displaystyle {\dot {m}}=\rho Q}$

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q}{\pi R^{4}}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi pR^{4}}}\quad \Rightarrow \quad -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

ここでは、局所的な圧力勾配は圧縮性の影響を及ぼさないほど大きくないと仮定しました。局所的には密度の変化による圧力変化の影響を無視しましたが、長距離ではこれらの影響が考慮されています。μは圧力に依存しないため、上記の式を長さLにわたって積分すると、

${\displaystyle p_{1}^{2}-p_{2}^{2}={\frac {16\mu LQ_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

したがって、パイプ出口での体積流量は次のように表される。

${\displaystyle Q_{2}={\frac {\pi R^{4}}{16\mu L}}\left({\frac {p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{p_{2}}}\right)={\frac {\pi R^{4}\left(p_{1}-p_{2}\right)}{8\mu L}}{\frac {\left(p_{1}+p_{2}\right)}{2p_{2}}}.}$

この式は、追加の補正係数を伴うポアズ​​イユの法則として見ることができる⁠p1 + p2_​​/2ページ₂⁠出口圧力に対する平均圧力を表します。

電気はもともと流体の一種であると理解されていました。この油圧のアナロジーは、回路を理解する上で概念的に今でも役立っています。このアナロジーは、回路ツールを使用して流体機械ネットワークの周波数応答を研究するためにも使用され、その場合、流体ネットワークは油圧回路と呼ばれます。ポアズイユの法則は、電気回路のオームの法則、V = IRに対応します。流体に作用する正味の力はΔ F = S Δ pに等しく、ここでS = π r ²、つまりΔ F = π r ² Δ Pであるため、ポアズイユの法則から次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LQ}{r^{2}}}}$。

電気回路の場合、n を自由荷電粒子の濃度（m ⁻³）、q * を各粒子の電荷（クーロン）とします。（電子の場合、q * = e =1.6 × 10 ⁻¹⁹  C ) すると、 nQ は体積Q内の粒子の数、 nQq * はそれらの総電荷です。これは、単位時間あたりに断面を流れる電荷、つまり電流I です。したがって、 I = nQq *です。したがって、 Q = ⁠私/いいえ*⁠、そして

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LI}{nr^{2}q^{*}}}.}$

しかし、Δ F = Eqであり、q はチューブの体積内の総電荷です。チューブの体積はπ r ² Lに等しいので、この体積内の荷電粒子の数はn π r ² Lに等しく、それらの総電荷はq = n π r ² Lq *です。電圧 V = ELなので、次のようになります。

${\displaystyle V={\frac {8\mu LI}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}.}$

これはまさにオームの法則であり、抵抗 R = ⁠五/私⁠ は式で表されます

${\displaystyle R={\frac {8\mu L}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}}$。

抵抗R は抵抗器の長さLに比例することになりますが、これは正しいです。しかし、抵抗Rは半径rの 4 乗に反比例します。つまり、抵抗Rは抵抗器の断面積S = π r ²の 2 乗に反比例します。これは電気式とは異なります。抵抗の電気的な関係は次のとおりです。

${\displaystyle R={\frac {\rho L}{S}},}$

ここでρは抵抗率、つまり抵抗Rは抵抗器の断面積Sに反比例する。 ^{[23]ポアズイユの法則が抵抗}Rの異なる式を導く理由は、流体の流れと電流の違いである。電子ガスは非粘性であるため、その速度は導体の壁までの距離に依存しない。抵抗は、流れる電子と導体の原子との相互作用によるものである。したがって、ポアズイユの法則と水力のアナロジーは、電気に適用する場合は、一定の範囲内でのみ有用である。オームの法則とポアズイユの法則はどちらも輸送現象を説明する。

ハーゲン・ポアズイユの式は、血管抵抗、ひいてはさまざまなサイズの末梢カニューレと中心カニューレを使用して達成できる静脈内 (IV) 液の流量を決定するのに役立ちます。この式では、流量は半径の 4 乗に比例すると述べられており、カニューレの内径がわずかに増加すると、IV 液の流量が大幅に増加します。IV カニューレの半径は通常「ゲージ」で測定され、半径に​​反比例します。末梢 IV カニューレは通常、(大きいものから小さいものの順に) 14G、16G、18G、20G、22G、26G として使用できます。たとえば、カニューレの長さが同じであると仮定すると、14G カニューレの流量は 16G カニューレの 1.73 倍、20G カニューレの 4.16 倍になります。また、流量は長さに反比例するため、ラインが長いほど流量は低くなります。緊急時には、多くの臨床医が長くて細いカテーテルよりも短くて大きいカテーテルを好むため、この点は覚えておくことが重要です。臨床上の重要性は低いものの、圧力の変化 ( ∆ p ) を大きくすると (たとえば、流体の入ったバッグに圧力をかける、バッグを圧迫する、バッグをカニューレの高さよりも高く吊るすなど)、流量を速めることができます。粘性のある流体は流れが遅くなることも理解しておくと役立ちます (例:輸血)。

• クエットフロー
• ダーシーの法則
• 脈
• 波
• 油圧回路

• Sutera, SP; Skalak, R. (1993). 「ポアズイユの法則の歴史」. Annual Review of Fluid Mechanics . 25 : 1–19. Bibcode :1993AnRFM..25....1S. doi :10.1146/annurev.fl.25.010193.000245.。
• Pfitzner, J (1976). 「ポアズイユとその法則」.麻酔. 第31巻第2号 (1976年3月発行). pp. 273–5. doi :10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x. PMID  779509.。
• Bennett, CO; Myers, JE (1962)。運動量、熱、および質量移動。McGraw-Hill。。

• べき乗則非ニュートン流体のポアズイユの法則
• わずかに先細りの管におけるポアズイユの法則
• ハーゲン・ポアズイユ方程式計算機