流体力学 において、ハーゲン・ポアズイユ方程式 （ハーゲン・ポアズイユの法則 、ポアズイユの法則 、またはポアズイユ方程式 とも呼ばれる）は、一定の断面積を持つ長い円筒管を流れる非圧縮性 ニュートン 流体の層流 における圧力降下を 与える物理法則 である。肺 の気道内の空気の流れ、ストローや 皮下注射針 を通る流れにうまく適用できる。これは、 1838年にジャン・レオナール・マリー・ポアズイユ [ 1 ] ゴットヒルフ・ハインリヒ・ルートヴィヒ・ハーゲン [ 2 ] によって [ 1 ] [ 1 ] ジョージ・ストークスによって与えられた [ 3 ]。
この方程式の前提条件は、流体が非圧縮性 かつニュートン流体 であること、流れが直径よりもかなり長い一定の円形断面のパイプ内を層流で流れること、そしてパイプ内で流体の 加速 がないことです。速度とパイプ直径が閾値を超えると、実際の流体の流れは層流ではなく乱流 となり、ハーゲン・ポアズイユの式で計算されるよりも大きな圧力降下が生じます。
ポアズイユの式は流体の粘性による 圧力降下を表します。流体では他の種類の圧力降下も発生する可能性があります（ここでのデモンストレーションを参照）。 [ 4 ] と ベルヌーイの式 で必要な圧力の両方を含み、流れの中のどの点でも圧力がゼロより大きくなります（そうでなければ流れは発生しません）。
別の例として、血液がより狭い狭窄 部に流れ込む場合、その速度はより大きな直径の場合よりも速くなり（体積流量 の連続性 による）、圧力はより大きな直径の場合よりも低くなります[ 4 ] 追加の 圧力降下が生じ、これは移動した長さに比例します[ 4 ] 実際の 圧力降下に寄与します。
方程式 標準的な流体運動学表記では：[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
Δ p = 8 μ L Q π R 4 = 8 π μ L Q A 2 、 {\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi R^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{A^{2}}},} どこ
Δpは 両端間の圧力差であり、L はパイプの長さです。μは 動粘度 であり、Q は体積流量 であり、R はパイプの半径です。A はパイプの断面積です。この方程式はパイプ入口付近では成り立たない。[ 8 ] ：
この方程式は、低粘度、幅広、および/または短いパイプの極限では成り立ちません。低粘度または幅広のパイプは乱流を引き起こす可能性があり、ダルシー・ワイスバッハ方程式 などのより複雑なモデルを使用する必要が生じます。ハーゲン・ポアズイユの法則が有効であるためには、パイプの長さと半径の比はレイノルズ数 の 1/48 より大きくなければなりません。[ 9 ] ベルヌーイの原理 によって制限されます。
Δ p = 1 2 ρ v ¯ 最大 2 = 1 2 ρ （ Q 最大 π R 2 ） 2 ⇒ Q 最大 = π R 2 2 Δ p ρ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p={\frac {1}{2}}\rho {\overline {v}}_{\text{max}}^{2}&={\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {Q_{\text{max}}}{\pi R^{2}}}\right)^{2}\\\Rightarrow \quad Q_{\max }{}&=\pi R^{2}{\sqrt {\frac {2\Delta p}{\rho }}},\end{aligned}}} 非圧縮性流体では負の（絶対）圧力（ゲージ圧力 と混同しないように）は存在し得ないからである。
通常、ハーゲン・ポアズイユ流れは、上記の圧力降下に関する関係式だけでなく、放物線状の層流プロファイルの完全な解も意味します。しかし、乱流の場合、流れプロファイルは厳密には放物線状ではありませんが、有効乱流粘性を推測することで、圧力降下に関する結果を乱流に拡張することができます。層流と乱流のどちらの場合も、圧力降下は壁面応力と関連しており、この応力によっていわゆる摩擦係数が決定されます。壁面応力は、レイノルズ数に関する摩擦係数の関係式が与えられれば、水力学 の分野におけるダルシー・ワイスバッハ方程式 によって現象論的に決定できます。円形断面の層流の場合：
Λ = 64 R e 、 R e = ρ v d μ 、 {\displaystyle \Lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }},\quad \mathrm {Re} ={\frac {\rho vd}{\mu }},} ここで、Re はレイノルズ数 、ρ は流体密度、v は平均流速であり、層流の場合は最大流速の半分です。レイノルズ数を平均流速で定義する方がより有用です。なぜなら、この量は乱流の場合でも明確に定義されるのに対し、最大流速はそうでない場合があり、いずれにしても推測するのが難しい場合があるからです。この形式では、円筒管内の非常に低い速度での層流におけるダルシー摩擦係数 エネルギー（ヘッド）損失係数 、摩擦損失係数 、またはダルシー（摩擦）係数 Λ を近似します。わずかに異なる形式の法則の理論的導出は、1856 年に Wiedman によって、また 1858 年に Neumann と E. Hagenbach によって独立に行われました (1859、1860)。Hagenbach は、この法則をポアズイユの法則と呼んだ最初の人物です。
この法則は、生理学 の分野である血液レオロジー と血行動態 においても非常に重要である。[ 10 ]
ポアズイユの法則は、後に1891年にL・R・ウィルバーフォースによって、ハーゲンバッハの研究に基づいて乱流 にも拡張された。
導出 ハーゲン・ポアズイユ方程式は、ナビエ・ストークス方程式 から導出できます。断面が 均一な（円形の）パイプを通過する層流は、ハーゲン・ポアズイユ流れとして知られています。ハーゲン・ポアズイユ流れを支配する方程式は、次の仮定を置くことにより、3D円筒座標 （r 、θ 、x ）におけるナビエ・ストークス運動量方程式から直接導出できます。
流れは定常である（∂ ... / ∂ t = 流体速度の半径方向成分と方位角方向成分はゼロである（u r = u θ = 0 流れは軸対称である（∂ ... / ∂θ = 0 ） 流れは完全に発達している（∂u x / ∂ x = 0 ）。ただし、ここで は質量保存則と上記の仮定によってこれ を すると、 連続方程式 が同一に満たされます。動径運動量方程式は ∂ p / ∂ r = 0 に簡略化され、 つまり 圧力 p は 軸 方向 座標x のみ の 関数となります。簡潔にするために、u の代わりにを使用します。u x u_x
1 r ∂ ∂ r （ r ∂ u ∂ r ） = 1 μ d p d x ${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}}$ ここで、μ は流体の動粘度です。上記の式では、左辺はr のみの関数であり、右辺はx のみの関数であるため、両方の項は同じ定数でなければなりません。この定数を評価するのは簡単です。パイプの長さをL とし、パイプの両端間の圧力差をΔp （高圧マイナス低圧）とすると、定数は単純に次のようになります。
− d p d x = Δ p L = G {\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\Delta p}{L}}=G} G が正となるように定義する。解は
u = − G r 2 4 μ + c 1 ln r + c 2 {\displaystyle u=-{\frac {Gr^{2}}{4\mu }}+c_{1}\ln r+c_{2}} r = 0で u が 有限である必要があるため、c 1 = 0 となり ます 境界条件では、 r = R u = 0である必要があり、これにより c 2 = GR 2 / 4 μ となります。 放物線状の 速度 プロファイルが得られます。
u = G 4 μ （ R 2 − r 2 ） 。 u={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).} 最大速度はパイプの中心線 ( r = 0u max = GR 2 / 4 μ となります。平均速度はパイプの断面 に沿って積分することで得られます。
u 1 v g = 1 π R 2 ∫ 0 R 2 π r u d r = 1 2 u m 1 x 。 {\displaystyle {u}_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi ru\mathrm {d} r={\tfrac {1}{2}}{u}_{\mathrm {max} }。 実験で容易に測定できる量は体積流量Q = π R 2 u avg
Δ p = 8 μ Q L π R 4 。 {\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu QL}{\pi R^{4}}}.} 第一原理から直接出発する精緻な導出
ナビエ・ストークス方程式を 直接用いるよりも手順は長くなりますが、ハーゲン・ポアズイユ方程式を導出する別の方法を以下に示します。
パイプを通る液体の流れ a) 仮想の薄板を示すチューブ。b ) チューブの断面図は、薄板が異なる速度で移動している様子を示している。チューブの端に近い部分はゆっくりと移動し、中心に近い部分は速く移動している。層流 を示すと仮定します。円形管内の層流とは、液体が円形の層（ラミナ）に分かれており、それぞれの速度は管の中心からの半径方向の距離のみによって決まることを意味します。また、中心部が最も速く移動し、管の壁に接する液体は静止している（滑りなし条件 のため）と仮定します。 液体の動きを把握するには、各層に作用するすべての力を知る必要がある。
液体を管を通して押し出す圧力は 、圧力の変化に面積を掛けたものです。F = − A Δ p 。この力は液体の運動方向と同じです。負の符号は 、 Δ p = p end − p top < 0 という 従来の定義方法に由来します。 粘性 効果により、チューブの中心に最も近い、より速い層から流れが引き抜かれる。粘性 効果により、流れの遅い層は管の壁に最も近い位置で引っ張られる。
粘度 2つの流体がx 方向にすれ違う。上の液体の方が速く動いているため、下の液体から負の方向に引っ張られる。一方、下の液体は上の液体から正の方向に引っ張られる。互いに接触している2つの液体層が異なる速度で移動すると、それらの間にせん断力が生じます。 、 接触面積 A 、流れの方向に垂直な速度勾配Δvx / Δy 、 比例し、次 式 で 与えられます。
F 粘度、トップ = − μ A Δ v x Δ y 。 {\displaystyle F_{\text{粘度、上}}=-\mu A{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}.} 負の符号が付いているのは、より速く動く液体（図の上部）が、より遅く動く液体（図の下部）によって減速されているためです。ニュートンの運動第三法則 によれば、より遅く動く液体にかかる力は、より速く動く液体にかかる力と等しく逆向き（負の符号なし）です。この式は、接触面積が非常に大きいため、端の影響を無視でき、流体がニュートン流体 として振る舞うことを前提としています。
より速いラミナ 半径 r の薄板にかかる力を求めていると仮定します。上記の式から、接触面積と速度 勾配を知る必要があります。薄板を半径 r 、厚さdr 、長さΔ x のリングと考えます。薄板と速い方の薄板との接触面積は、単純に円筒の表面積です。A = 2π r Δ x 半径の変化に対する速度の変化 です。その交点は半径r にあります。したがって、この力は液体の動きに対して正になります（ただし、速度の微分は負です）ことを考慮すると、式の最終的な形式は次のようになります。
F 粘度、速 = − 2 π r μ Δ x d v d r | r {\displaystyle F_{\text{粘度、高速}}=-2\pi r\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}} ここで、導関数 に続く縦棒と添え字r は 、半径r で導関数を取るべきであることを示しています。
より遅いラミナ 次に、遅い方の層からの抗力を求めましょう。速い方の層からの力を計算したときと同じ値を計算する必要があります。この場合、接触面積はr ではなくr + drに
F 粘度、遅い = 2 π （ r + d r ） μ Δ x d v d r | r + d r {\displaystyle F_{\text{粘度、遅い}}=2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}}
すべてをまとめると 管内を流れる層流の解を求めるには、最後に一つ仮定を置く必要があります。管内の液体には加速がなく、 ニュートンの第一法則 により、正味の力はゼロです。正味の力がゼロであれば、すべての力を合計してゼロにすることができます。
0 = F プレッシャー + F 粘度、速 + F 粘度、遅い {\displaystyle 0=F_{\text{圧力}}+F_{\text{高速粘度}}+F_{\text{低速粘度}}} または
0 = − Δ p 2 π r d r − 2 π r μ Δ x d v d r | r + 2 π （ r + d r ） μ Δ x d v d r | r + d r 。 {\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r-2\pi r\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right\vert _{r+\mathrm {d} r}.} まず、すべての事象が同じ地点で起こるようにするために、速度勾配のテイラー級数展開の最初の2項を使用します。
d v d r | r + d r = d v d r | r + d 2 v d r 2 | r d r 。 {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}=\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}\right|_{r}\,\mathrm {d} r.} この式はすべての層に対して有効です。すべての導関数が半径r にあると仮定されるため、同類項をグループ化し、縦棒を削除します。
0 = − Δ p 2 π r d r + 2 π μ d r Δ x d v d r + 2 π r μ d r Δ x d 2 v d r 2 + 2 π μ （ d r ） 2 Δ x d 2 v d r 2 。 {\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r+2\pi \mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}+2\pi r\mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+2\pi \mu (\mathrm {d} r)^{2}\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}.} 最後に、この式を微分方程式 の形にして、 dr の 2 次項を削除します。
1 μ Δ p Δ x = d 2 v d r 2 + 1 r d v d r {\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {\Delta p}{\Delta x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}} 上記の式はナビエ・ストークス方程式から得られる式と同じであり、ここからの導出はこれまでと同様である。
パイプ内におけるポアズイユ流れの開始 長いパイプの両端に一定の 圧力勾配G = − d p / d x ナビエ・ストークス方程式は 次のように簡略化されます。
∂ u ∂ t = G ρ + ν （ ∂ 2 u ∂ r 2 + 1 r ∂ u ∂ r ） {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {G}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)} 初期条件と境界条件付きで、
u （ r 、 0 ） = 0 、 u （ R 、 t ） = 0. {\displaystyle u(r,0)=0,\quad u(R,t)=0.} 速度分布は次のように表される。
u （ r 、 t ） = G 4 μ （ R 2 − r 2 ） − 2 G R 2 μ ∑ n = 1 ∞ 1 λ n 3 J 0 （ λ n r / R ） J 1 （ λ n ） e − λ n 2 ν t / R 2 、 J 0 （ λ n ） = 0 {\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)-{\frac {2GR^{2}}{\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{3}}}{\frac {J_{0}(\lambda _{n}r/R)}{J_{1}(\lambda _{n})}}e^{-\lambda _{n}^{2}\nu t/R^{2}},\quad J_{0}\left(\lambda _{n}\right)=0} ここで、J 0 ( λ n r / R 第 0 種の第 1 種ベッセル関数 であり、λ n は この関数の正の根であり、J 1 ( λ n )は第 1 種の第 1 種ベッセル関数 である。t → ∞ の [ 11 ]
環状断面におけるポアズイユ流れ 環状断面におけるポアズイユ流れ R 1 R 2 を 一定の圧力勾配 G = − d p / d x
u （ r ） = G 4 μ （ R 1 2 − r 2 ） + G 4 μ （ R 2 2 − R 1 2 ） ln （ r / R 1 ） ln （ R 2 / R 1 ） 、 Q = G π 8 μ [ R 2 4 − R 1 4 − （ R 2 2 − R 1 2 ） 2 ln （ R 2 / R 1 ） ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}u(r)&={\frac {G}{4\mu }}\left(R_{1}^{2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu }}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right){\frac {\ln(r/R_{1})}{\ln(R_{2}/R_{1})}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi }{8\mu }}\left[R_{2}^{4}-R_{1}^{4}-{\frac {\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})}}\right].\end{aligned}}} R 2 = RR 1 [ 12 ]
圧力勾配が変動するパイプ内のポアズイユ流れ 振動する圧力勾配を持つパイプ内の流れは、大動脈を流れる血液の流れに応用されている。[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
∂ p ∂ x = − G − α コス ω t − β 罪 ω t {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-G-\alpha \cos \omega t-\beta \sin \omega t} ここで、 G 、α 、β は定数であり、ω は周波数である。速度場は次のように与えられる。
u （ r 、 t ） = G 4 μ （ R 2 − r 2 ） + [ α F 2 + β （ F 1 − 1 ） ] コス ω t ρ ω + [ β F 2 − α （ F 1 − 1 ） ] 罪 ω t ρ ω {\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+[\alpha F_{2}+\beta (F_{1}-1)]{\frac {\cos \omega t}{\rho \omega }}+[\beta F_{2}-\alpha (F_{1}-1)]{\frac {\sin \omega t}{\rho \omega }}} どこ
F 1 （ k r ） = b e r （ k r ） b e r （ k R ） + b e 私 （ k r ） b e 私 （ k R ） b e r 2 （ k R ） + b e 私 2 （ k R ） 、 F 2 （ k r ） = b e r （ k r ） b e 私 （ k R ） − b e 私 （ k r ） b e r （ k R ） b e r 2 （ k R ） + b e 私 2 （ k R ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {ber} (kR)+\mathrm {bei} (kr)\mathrm {bei} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\\[6pt]F_{2}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {bei} (kR)-\mathrm {bei} (kr)\mathrm {ber} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\end{aligned}}} ここで、ber とbeiは ケルビン関数 であり、k 2 = ρω / μ
平面ポアズイユ流れ 平面ポアズイユ流れ 平面ポアズイユ流れは、距離h だけ離れた 2 枚の無限に長い平行板の間に発生する流れで、流れの方向に一定の圧力勾配G = − d p / d x ナビエ・ストークス方程式は 次のように簡略化されます。
d 2 u d y 2 = − G μ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}} 両壁とも滑り止め加工 済み
u （ 0 ） = 0 、 u （ h ） = 0 {\displaystyle u(0)=0,\quad u(h)=0} したがって、速度分布と単位長さあたりの体積流量は
u （ y ） = G 2 μ y （ h − y ） 、 Q = G h 3 12 μ 。 {\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y(h-y),\quad Q={\frac {Gh^{3}}{12\mu }}.}
非円形断面を通過するポアズイユ流れ ジョセフ・ブシネスクは 1868年に、長方形チャネル、正三角形断面のチューブ、および楕円形断面のチューブについて、速度プロファイルと体積流量を導出した。[ 17 ] ジョセフ・プラウドマンは 1914年に、二等辺三角形について同じことを導出した。 [ 18 ] G = − d p / d x
高さ0 ≤ y ≤ h 、幅0 ≤ z ≤ l の長方形チャネル内の速度と体積流量は
u （ y 、 z ） = G 2 μ y （ h − y ） − 4 G h 2 μ π 3 ∑ n = 1 ∞ 1 （ 2 n − 1 ） 3 シン （ β n z ） + シン [ β n （ l − z ） ] シン （ β n l ） 罪 （ β n y ） 、 β n = （ 2 n − 1 ） π h 、 Q = G h 3 l 12 μ − 16 G h 4 π 5 μ ∑ n = 1 ∞ 1 （ 2 n − 1 ） 5 コッシュ （ β n l ） − 1 シン （ β n l ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}y(h-y)-{\frac {4Gh^{2}}{\mu \pi ^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{3}}}{\frac {\sinh(\beta _{n}z)+\sinh[\beta _{n}(l-z)]}{\sinh(\beta _{n}l)}}\sin(\beta _{n}y),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{h}},\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{3}l}{12\mu }}-{\frac {16Gh^{4}}{\pi ^{5}\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{5}}}{\frac {\cosh(\beta _{n}l)-1}{\sinh(\beta _{n}l)}}.\end{aligned}}} 辺の 長さが 2h / √3 の は
u （ y 、 z ） = − G 4 μ h （ y − h ） （ y 2 − 3 z 2 ） 、 Q = G h 4 60 3 μ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&=-{\frac {G}{4\mu h}}(y-h)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{4}}{60{\sqrt {3}}\mu }}.\end{aligned}}} 直角二等辺三角形y = πy ± z = 0
u （ y 、 z ） = G 2 μ （ y + z ） （ π − y ） − G π μ ∑ n = 1 ∞ 1 β n 3 シン （ 2 π β n ） { シン [ β n （ 2 π − y + z ） ] 罪 [ β n （ y + z ） ] − シン [ β n （ y + z ） ] 罪 [ β n （ y − z ） ] } 、 β n = n + 1 2 、 Q = G π 4 12 μ − G 2 π μ ∑ n = 1 ∞ 1 β n 5 [ 布 （ 2 π β n ） + csc （ 2 π β n ） ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}(y+z)(\pi -y)-{\frac {G}{\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{3}\sinh(2\pi \beta _{n})}}\left\{\sinh[\beta _{n}(2\pi -y+z)]\sin[\beta _{n}(y+z)]-\sinh[\beta _{n}(y+z)]\sin[\beta _{n}(y-z)]\right\},\quad \beta _{n}=n+{\tfrac {1}{2}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi ^{4}}{12\mu }}-{\frac {G}{2\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{5}}}\left[\coth(2\pi \beta _{n})+\csc(2\pi \beta _{n})\right].\end{aligned}}} 半軸がa とb の楕円形断面の管の速度分布は[ 11 ]
u （ y 、 z ） = G 2 μ （ 1 1 2 + 1 b 2 ） （ 1 − y 2 1 2 − z 2 b 2 ） 、 Q = π G 1 3 b 3 4 μ （ 1 2 + b 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu \left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}}\left(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\right),\\[6pt]Q&={\frac {\pi Ga^{3}b^{3}}{4\mu \left(a^{2}+b^{2}\right)}}.\end{aligned}}} ここで、a = b a → ∞平面ポアズイユ 流れが再現されます。カタツムリ形状の断面、半円に続くノッチ円の形状の断面、同焦点楕円間の環状断面、同心円でない円間の環状断面などの断面を持つより明示的な解も、Ratip Berker によってレビューされています。[ 19 ] [ 20 ]
任意の断面を通過するポアズイユ流れ 任意の断面u ( y , z )u = 0[ 21 ]に簡略化される。
∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = − G μ 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}.} 新しい従属変数を導入すると
U = u + G 4 μ （ y 2 + z 2 ） 、 {\displaystyle U=u+{\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right),} すると、問題はラプラス方程式を積分することに帰着することが容易にわかる。
∂ 2 U ∂ y 2 + ∂ 2 U ∂ z 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0} 条件を満たす
U = G 4 μ （ y 2 + z 2 ） {\displaystyle U={\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right)} 壁に。
管内の圧縮性流体の場合、体積流量 Q ( x )等温 の場合の理想気体の 場合、圧力降下の近似関係を導出できます。[ 22 ] p / ρ {\displaystyle p/\rho } m ˙ = ρ Q {\displaystyle {\dot {m}}=\rho Q} Qp = Q 1 p 1 = Q 2 p 2
− d p d x = 8 μ Q π R 4 = 8 μ Q 2 p 2 π p R 4 ⇒ − p d p d x = 8 μ Q 2 p 2 π R 4 。 {\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q}{\pi R^{4}}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi pR^{4}}}\quad \Rightarrow \quad -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.} ここでは、局所的な圧力勾配は圧縮性効果を及ぼすほど大きくないと仮定した。局所的には密度変化による圧力変化の影響を無視したが、長距離ではこれらの影響を考慮する。μは 圧力に依存しないため、上記の式を長さL にわたって積分すると次のようになる。
p 1 2 − p 2 2 = 16 μ L Q 2 p 2 π R 4 。 {\displaystyle p_{1}^{2}-p_{2}^{2}={\frac {16\mu LQ_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.} したがって、パイプ出口における体積流量は次のように表される。
Q 2 = π R 4 16 μ L （ p 1 2 − p 2 2 p 2 ） = π R 4 （ p 1 − p 2 ） 8 μ L （ p 1 + p 2 ） 2 p 2 。 {\displaystyle Q_{2}={\frac {\pi R^{4}}{16\mu L}}\left({\frac {p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{p_{2}}}\right)={\frac {\pi R^{4}\left(p_{1}-p_{2}\right)}{8\mu L}}{\frac {\left(p_{1}+p_{2}\right)}{2p_{2}}}.} この式は、出口圧力に対する平均圧力を表す追加の補正係数 p 1 + p 2 / 2 p 2 を加えたポアズイユの法則と見なすことができます。
電気回路のアナロジー 電気はもともと一種の流体として理解されていました。この水力学的アナロジーは 、回路を理解する上で今でも概念的に有用です。このアナロジーは、回路ツールを使用して流体機械ネットワークの周波数応答を研究するためにも使用され、その場合、流体ネットワークは水力回路 と呼ばれます。ポアズイユの法則は、電気回路のオームの法則 V = IR に対応します。流体に作用する正味の力はΔ F = S Δ p に等しく、ここでS = π r 2 Δ F = π r 2 Δ P なので、ポアズイユの法則から、次のことが導かれます。
Δ F = 8 μ L Q r 2 {\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LQ}{r^{2}}}} 電気回路の場合、n を 自由荷電粒子の濃度 (m −3 単位) とし、q * をクーロン 単位) とする。(電子の場合、q * = e =× 10 −19 C nQは体積 Q 内の粒子の数であり、 nQq *電流 I です。したがって、 I = nQq * Q = I / nq *
Δ F = 8 μ L 私 n r 2 q * 。 {\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LI}{nr^{2}q^{*}}}.} しかし、ΔF = Eq であり、q は π r 2 L に等しいので、この体積内の荷電粒子の数はn π r 2 L q = n π r 2 Lq *です。電圧 V = EL
V = 8 μ L 私 n 2 π r 4 （ q * ） 2 。 {\displaystyle V={\frac {8\mu LI}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}.} これはまさにオームの法則であり、抵抗 R = V / I
R = 8 μ L n 2 π r 4 （ q * ） 2 {\displaystyle R={\frac {8\mu L}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}} したがって、抵抗R は抵抗器の長さL に比例するが、これは正しい。しかし、抵抗R は半径r の4乗に反比例する、つまり抵抗R は抵抗器の断面積S = π r²の 2
R = ρ L S 、 {\displaystyle R={\frac {\rho L}{S}},} ここでρ は抵抗率です。つまり、抵抗R は抵抗器の断面積Sに反比例します。 [ 23 ] ポアズイユの法則が抵抗R の異なる式をもたらす理由は、流体の流れと電流の違いです。電子ガスは 非粘性で あるため、その速度は導体の壁までの距離に依存しません。抵抗は、流れる電子と導体の原子との相互作用によるものです。したがって、ポアズイユの法則と水力学的アナロジーは、電気に適用する場合、特定の範囲内でのみ有用です。オームの法則とポアズイユの法則はどちらも 輸送現象 を示しています。
ハーゲン・ポアズイユの式は、さまざまなサイズの末梢カニューレや中心カニューレ を使用して達成できる静脈内（IV）輸液の 血管抵抗 、ひいては流量を決定するのに役立ちます。この式は、流量が半径の4乗に比例することを示しており、カニューレの内径がわずかに増加すると、IV輸液の流量が大幅に増加することを意味します。IVカニューレの半径は通常「ゲージ」で測定され、これは半径に反比例します。末梢IVカニューレは通常、（大きいものから小さいものへ）14G、16G、18G、20G、22G、26Gとして入手可能です。例として、カニューレの長さが同じであると仮定すると、14Gカニューレの流量は16Gカニューレの1.73倍、20Gカニューレの4.16倍になります。また、流量は長さに反比例し、ラインが長いほど流量は低くなることも述べられています。これは、緊急時には多くの臨床医が長くて細いカテーテルよりも短くて太いカテーテルを好むため、覚えておくことが重要です。臨床的に重要度は低いものの、圧力の変化（Δp ） 輸血の場合）ことを理解しておくことも役立ちます。 エラストマーポンプ による抗生物質 や鎮痛剤 などの輸液も、ポアズイユ流モデルで理解できます。
引用文献 1 2 3 Sutera, Salvatore P.; Skalak, Richard (1993). "ポアズイユの法則の歴史". Annual Review of Fluid Mechanics 25 : 1– 19. Bibcode : 1993AnRFM..25....1S . doi : 10.1146/annurev.fl.25.010193.000245 . ↑ イシュトヴァーンのサボー (1979)。 プリンツィピエンとアンウェンドゥンゲンの主要な機械の設計 。バーゼル：ビルクホイザー・フェルラーク。 ↑ ストークス、GG（1845）。「運動する 流体の内部摩擦の理論、および弾性固体の平衡と運動について」。 ケンブリッジ哲学協会紀要 。8 ： 287–341 。 1 2 3 「圧力」 . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . 2019-12-15 に取得. ↑ カービー、BJ (2010). マイクロ・ナノスケール流体力学：マイクロ流体デバイスにおける輸送現象 . ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-11903-0 OCLC 665837940 ↑ Bruus, H. (2007). 理論マイクロ流体工学 。 ↑ Pfitzner, J. (1976). "ポアズイユとその法則" (PDF) . 麻酔学 . 31 (2): 273– 275. doi : 10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x . PMID 779509 . S2CID 40607063 . 2017年8月10日に オリジナル (PDF) からアーカイブ済み 。 ↑ Vogel, Steven (1981). Life in Moving Fluids: The Physical Biology of Flow . PWS Kent Publishers. ISBN 0-87150-749-8 。↑ tec-science (2020-04-02). "ハーゲン・ポアズイユの法則のエネルギー解析" . tec-science . 2020-05-07 に取得. ↑ 血管抵抗の決定要因。 1 2 バチェラー、ジョージ・キース（2000）。 「流体力学入門」 。 ケンブリッジ大学出版 局 。ISBN 978-0-521-66396-0 。↑ ローゼンヘッド、ルイス編 (1963). 層流境界層 . クラレンドン・プレス. ↑ Sexl、T. (1930)。 「EG Richardson の Über den von EG Richardson entdeckten 'Annularefekt'」 Zeitschrift für Physik . 61 ( 5–6 ): 349– 362. Bibcode : 1930ZPhy...61..349S . doi : 10.1007/BF01340631 . S2CID 119771908 . ↑ ランボシー、P. (1952)。 「非圧縮性の液体と管の剛体と水平方向の振動の力。力の計算」。 ヘルブ。物理学。アクタ 。 25 : 371–386 . ↑ Womersley, JR (1955). "動脈の圧力勾配が既知の場合の速度、流量、粘性抵抗の計算方法" . Journal of Physiology . 127 (3): 553– 563. doi : 10.1113/jphysiol.1955.sp005276 . PMC 1365740 . PMID 14368548 . ↑ 内田真司 (1956)。 「円管内の非圧縮性流体の定常層流に重ね合わされた脈動粘性流」。 数学と物理学に対する関心 。 7 (5): 403–422 。 ビブコード : 1956ZaMP....7..403U 。 土井 ： 10.1007/BF01606327 。 S2CID 123217023 。 ↑ ブシネスク、ジョセフ (1868)。 「Frottements dans Mouvements Réguliers des Fluids の影響に関する記憶」。 Ｊ．Ｍａｔｈ． Pures Appl . 13 (2): 377–424 . ↑ Proudman, J. (1914). "粘性液体の流路内運動に関する覚書" . The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 28 (163): 30– 36. doi : 10.1080/14786440708635179 . ↑ バーカー、R. (1963)。 "Integration des équations du mouvement d'un Fluide visqueux incompressible" [ 粘性非圧縮性流体の運動方程式の積分 ] 。 物理学ハンドブック 。 Vol. 3. 1 ～ 384 ページ。 ↑ ドラジン、フィリップ・G. ; ライリー、ノーマン (2006). ナビエ・ストークス方程式：流れの分類と厳密解 . ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-68162-9 。↑ Curle, Samuel Newby ; Davies, HJ (1971). Modern Fluid Dynamics . Vol. 1, Incompressible Flow. Van Nostrand Reinhold. ↑ Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987). Fluid Mechanics . Pergamon Press. p. 55, problem 6. ISBN 0-08-033933-6 。↑ Fütterer, C.; et al. (2004). "マイクロチャネル用注入および流量制御システム". Lab on a Chip . 4 (4): 351–356 . doi : 10.1039/B316729A . PMID 15269803 .
参考文献 Sutera, SP; Skalak, R. (1993). "ポアズイユの法則の歴史". Annual Review of Fluid Mechanics . 25 : 1–19 . Bibcode : 1993AnRFM..25....1S . doi : 10.1146/annurev.fl.25.010193.000245 . Pfitzner, J (1976). 「ポアズイユとその法則」麻酔学 。第31巻 、第2号（1976年3月 発行）。pp. 273–5。doi : 10.1111 /j.1365-2044.1976.tb11804.x。PMID 779509 。 Bennett, CO; Myers, JE (1962).運動量、熱、および物質移動 。McGraw-Hill。
外部リンク べき乗則非ニュートン流体に対するポアズイユの法則 わずかに先細りになった管におけるポアズイユの法則 ハーゲン・ポアズイユ方程式計算機 
![{\displaystyle {\begin{aligned}u(r)&={\frac {G}{4\mu }}\left(R_{1}^{2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu }}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right){\frac {\ln(r/R_{1})}{\ln(R_{2}/R_{1})}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi }{8\mu }}\left[R_{2}^{4}-R_{1}^{4}-{\frac {\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee081cdb23ced7b21c2144e5e3e1e6185db25b5)
![{\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+[\alpha F_{2}+\beta (F_{1}-1)]{\frac {\cos \omega t}{\rho \omega }}+[\beta F_{2}-\alpha (F_{1}-1)]{\frac {\sin \omega t}{\rho \omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062ecd5a16bc82133c4836db0c48ab5d32d56737)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {ber} (kR)+\mathrm {bei} (kr)\mathrm {bei} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\\[6pt]F_{2}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {bei} (kR)-\mathrm {bei} (kr)\mathrm {ber} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b80e79c68178b898d2d5870dfcd2dce90d413d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}y(hy)-{\frac {4Gh^{2}}{\mu \pi ^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{3}}}{\frac {\sinh(\beta _{n}z)+\sinh[\beta _{n}(lz)]}{\sinh(\beta _{n}l)}}\sin(\beta _{n}y),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{h}},\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{3}l}{12\mu }}-{\frac {16Gh^{4}}{\pi ^{5}\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{5}}}{\frac {\cosh(\beta _{n}l)-1}{\sinh(\beta _{n}l)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb9ab164cab9975d190ed0edf53685faf76a8f9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&=-{\frac {G}{4\mu h}}(yh)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{4}}{60{\sqrt {3}}\mu }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29c21501477144bcda7a06ec4b7ca0fa0820159)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}(y+z)(\pi -y)-{\frac {G}{\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{3}\sinh(2\pi \beta _{n})}}\left\{\sinh[\beta _{n}(2\pi -y+z)]\sin[\beta _{n}(y+z)]-\sinh[\beta _{n}(y+z)]\sin[\beta _{n}(yz)]\right\},\quad \beta _{n}=n+{\tfrac {1}{2}}、\\[6pt]Q&={\frac {G\pi ^{4}}{12\mu }}-{\frac {G}{2\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{5}}}\left[\coth(2\pi \beta _{n})+\csc(2\pi \beta _{n})\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13af8b60ea5b567bab14ae06625181c2580906ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu \left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}}\left(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\right),\\[6pt]Q&={\frac {\pi Ga^{3}b^{3}}{4\mu \left(a^{2}+b^{2}\right)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3121b3d0baa9e63366a33b165026e77056790c6c)
