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ユークリッド幾何学では、斜反射は、反射を垂線で行う必要がないようにすることで、通常の反射を一般化します。2 つの点が互いに斜反射している場合、アフィン変換でも斜反射のままになります。
3次元ユークリッド空間内の平面 Pを考えます。平面Pに対する空間内の点Aの通常の反射は、線分ABの中点が平面内にあり、線分ABが平面に垂直であるような空間内の別の点Bです。斜反射の場合、垂直ではなく、 ABが与えられた基準線に平行である必要があります。[1]
正式には、 3 次元空間に平面Pがあり、空間内にPに平行ではない直線L があるとします。平面Pに関して空間内の点Aの斜反射を得るには、 A を通ってLに平行な線を引き、 Aの斜反射を平面の反対側のその線上の点Bとし、 ABの中点がP内にあるようにします。基準線Lが平面に垂直であれば、通常の反射が得られます。
たとえば、平面P をxy平面、つまり直交座標でz =0の式で与えられる平面とします。基準線Lの方向はベクトル ( a , b , c ) で与えられ、 c ≠0 (つまり、L はPに平行ではありません)です。点 ( x , y , z ) の斜反射は、次のようになります 。
斜反射の概念は、再び直線を基準としてR n内のアフィン超平面に関する斜反射、またはさらに一般的には、 n − k次元アフィン部分空間を基準としてk次元アフィン部分空間に関する斜反射に簡単に一般化できます。3 次元に戻ると、平面を基準として直線に関する斜反射を定義できます。
斜反射はアフィン変換であり、反転であり、点の反射の反射がその点そのものであることを意味します。[2]
参考文献
- ^ モーテンソン、マイケル E. (2007)、3D モデリングのための幾何学的変換 (第 2 版)、インダストリアル プレス、p. 211、ISBN 9780831192419。
- ^ カプール、ジャガット・ナライン（1976）、変換幾何学、Affiliated East-West Press Pvt.、p. 124。