軸性（幾何学）

ユークリッド平面の幾何学において、軸度は図形がどの程度軸対称性を持っているかを示す尺度です。これは、図形の最大の軸対称サブセットの面積と図形全体の面積の比として定義されます。同様に、これは図形の鏡映反射（任意の方向）でカバーできる図形の面積の最大部分です。

二等辺三角形など、それ自体が軸対称な形状の軸度はちょうど 1 になりますが、不等辺三角形などの非対称形状の軸度は 1 未満になります。

上限と下限

ラサック（2002）は、すべての凸集合の軸度が少なくとも2/3であることを示した。^[1]この結果は、クラコウスキー（1963）による以前の下限値5/8を改善した。^[2]知られている最良の上限値は、コンピュータ検索によって発見された、軸度が0.816未満の特定の凸四辺形である。^[3]

三角形および中心対称凸体の場合、軸度は常にいくらか高くなります。すべての三角形およびすべての中心対称凸体は、少なくともの軸度を持ちます。頂点が-座標、、を持つ鈍角三角形の集合では、 -座標が 0 に近づくにつれて軸度はに近づき、下限が可能な限り大きくなることを示しています。軸度が同じ極限を持つ中心対称平行四辺形を連続して構成することも可能であり、この場合も下限が厳密であることがわかります。^[4]^[5] $2({\sqrt {2}}-1)\approx 0.828$ $x$ $0$ ${\sqrt {2}}$ $1$ $2({\sqrt {2}}-1)$ $y$

アルゴリズム

与えられた凸形状の軸性は、与えられた方向の極値点を見つけるためのオラクルと、形状と直線の交点を見つけるためのオラクルによって形状にアクセスできれば、線形時間未満で任意に近い近似値を求めることができる。^[6]

Barequet と Rogol (2007) は、凸多角形と非凸多角形の両方について、軸性を正確に計算する問題を考察しています。平面上のすべての可能な反射対称線の集合は (射影双対性により) 2 次元空間であり、彼らはそれをセルに分割します。セル内では、多角形とその反射の交差パターンが固定されているため、各セル内で軸性が滑らかに変化します。したがって、彼らは問題を各セル内の数値計算に縮小しますが、明示的には解決しません。平面のセルへの分割には、一般的な場合はセルがあり、凸多角形の場合はセルがあります。これは、これらの境界よりも対数係数だけ大きい時間で構築できます。Barequet と Rogol は、実際には単一のセル内の面積最大化問題は時間で解決でき、凸の場合と一般的な場合の(非厳密な) 全体的な時間境界がになると主張しています。^[7] $O(n^{4})$ $O(n^{3})$ $O(n)$ $O(n^{4})$ $O(n^{5})$

参考文献

^ ab Lassak, Marek (2002)、「軸対称体による凸体の近似」、アメリカ数学会紀要、130 (10): 3075–3084 (電子版)、doi : 10.1090/S0002-9939-02-06404-3、MR 1908932。正誤表、土井:10.1090/S0002-9939-03-07225-3。
^ Krakowski, F. (1963)、「Bemerkung zu einer Arbeit von W. Nohl」、Elemente der Mathematik、18 : 60–61de Valcourt (1966) より引用。
^ チェ・チャンユル (2006)、凸多角形の最大内接軸対称多角形の探索(PDF)、修士論文、韓国科学技術院電気工学・コンピュータサイエンス学科。
^ Nohl, W. (1962)、「Die innere axise Symmetrie zentrischer Eibereiche der euklidischen Ebene」、Elemente der Mathematik、17 : 59–63de Valcourt (1966) より引用。
^ ブダ、アンジェイ B.;ミスロー、カート(1991)、「三角形領域の軸性の尺度について」、Elemente der Mathematik、46 (3): 65–73、MR 1113766。
^ Ahn, Hee-Kap; Brass, Peter; Cheong, Otfried; Na, Hyeon-Suk; Shin, Chan-Su; Vigneron, Antoine (2006)、「軸対称多角形の内接と平面凸集合のその他の近似アルゴリズム」、計算幾何学、33 (3): 152–164、doi :10.1016/j.comgeo.2005.06.001、hdl : 10203/ 314 、MR 2188943。
^ Barequet, Gill; Rogol, Vadim (2007)、「単純多角形に内接する軸対称多角形の面積の最大化」(PDF)、Computers & Graphics、31 (1): 127–136、doi :10.1016/j.cag.2006.10.006。
^ de Valcourt, B. Abel (1966)、「楕円の軸対称性の尺度」、イスラエル数学ジャーナル、4 (2): 65–82、doi : 10.1007/BF02937452、MR 0203589。
^ マローラ、ジョヴァンニ (1989)、「対称およびほぼ対称な平面画像の対称軸の検出について」、IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence、11 (1): 104–108、doi :10.1109/34.23119

[lassak02-1] Lassak, Marek (2002)、「軸対称体による凸体の近似」、アメリカ数学会紀要、130 (10): 3075–3084 (電子版)、doi : 10.1090/S0002-9939-02-06404-3、MR 1908932。正誤表、土井:10.1090/S0002-9939-03-07225-3。

[2] Krakowski, F. (1963)、「Bemerkung zu einer Arbeit von W. Nohl」、Elemente der Mathematik、18 : 60–61de Valcourt (1966) より引用。

[3] チェ・チャンユル (2006)、凸多角形の最大内接軸対称多角形の探索(PDF)、修士論文、韓国科学技術院電気工学・コンピュータサイエンス学科。

[4] Nohl, W. (1962)、「Die innere axise Symmetrie zentrischer Eibereiche der euklidischen Ebene」、Elemente der Mathematik、17 : 59–63de Valcourt (1966) より引用。

[5] ブダ、アンジェイ B.;ミスロー、カート(1991)、「三角形領域の軸性の尺度について」、Elemente der Mathematik、46 (3): 65–73、MR 1113766。

[6] Ahn, Hee-Kap; Brass, Peter; Cheong, Otfried; Na, Hyeon-Suk; Shin, Chan-Su; Vigneron, Antoine (2006)、「軸対称多角形の内接と平面凸集合のその他の近似アルゴリズム」、計算幾何学、33 (3): 152–164、doi :10.1016/j.comgeo.2005.06.001、hdl : 10203/ 314 、MR 2188943。

[7] Barequet, Gill; Rogol, Vadim (2007)、「単純多角形に内接する軸対称多角形の面積の最大化」(PDF)、Computers & Graphics、31 (1): 127–136、doi :10.1016/j.cag.2006.10.006。

[8] Valcourt, B. Abel (1966)、「楕円の軸対称性の尺度」、イスラエル数学ジャーナル、4 (2): 65–82、doi : 10.1007/BF02937452、MR 0203589。

[9] マローラ、ジョヴァンニ (1989)、「対称およびほぼ対称な平面画像の対称軸の検出について」、IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence、11 (1): 104–108、doi :10.1109/34.23119

上限と下限

アルゴリズム

関連概念

参考文献