ラティス（音楽）

音楽の調律において、格子とは「純正律システムの調律関係をモデル化する方法です。格子は周期的な多次元パターンの点の配列です。格子上の各点は比率（つまり、格子上の他の点に対するピッチまたは音程）に対応します。格子は2次元、3次元、またはn次元にすることができ、各次元は異なる素数部分音（ピッチクラス）に対応します。」^[1]スプレッドシートにリストされている場合、格子は調律表と呼ばれることがあります。

格子内の点はピッチクラス (オクターブが表されている場合はピッチ) を表し、格子内のコネクタはそれらの間の音程を表します。格子内の接続線は音程をベクトルとして表すため、同じ長さと角度の線は、格子内のどこにあっても、接続する点間の音程関係が常に同じになります。同じベクトルを繰り返し追加する (同じ音程を繰り返し積み重ねる) と、同じ方向に進みます。純正律の格子 (素数、その累乗、およびその積で構成される音程に限定) は、理論的には無限です (どの素数の累乗も、別の素数の累乗と等しくないため)。ただし、格子は、特に興味深い限定されたサブセットを表記するために使用されることもあります (以下でさらに説明するエイコサニーや、より大きな格子から特定の音階形状を抽出するさまざまな方法など)。

音楽格子の例には、オイラー（1739）とフーゴ・リーマンのトネットや、作曲家で理論家のベン・ジョンストンとジェームズ・テニーの調律システムがある。純正律の音程は、アドリアン・フォッカーのフォッカー周期性ブロックによって、均等調律の音程と関連付けられている。多くの多次元の高極限調律は、アーヴ・ウィルソンによってマッピングされている。極限とは、調律で使用される音程を定義する比率で使用される最大の素数のことである。

したがって、完全五度 (3/2) とオクターブ (2/1) およびそれらの倍数 ( 2 と 3 の累乗) のみを使用するピタゴラス音律は、2 次元格子 (または、オクターブ相当を考えると 1 次元) で表されますが、標準 (5 限界) 純正律は、純正長三度 (5/4) の使用を追加して、3 次元格子で表すことができます。ただし、「12 音の「半音階」スケールは、スケールをマッピングするために必要な 3 次元 (2,3,5) 空間内の 2 次元 (3,5) 投影面として表すことができます。^[a] (オクターブ相当は、他の 2 つに対して直角の軸上に表示されますが、この配置はグラフィックでは実際には必要ありません。)」。^[1]言い換えれば、 1次元目に五度圏、2次元目にその五度上の長三度（水平方向と垂直方向）の連続、そしてオクターブをモデル化するために深さを想像するオプションがある：

5制限
 A----E----B----F#+     5/3 -- 5/4 - 15/8 - 45/32
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 F----C----G----D =   4/3 -- 1/1 -- 3/2 -- 9/8
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(Db—)-Ab-—-Eb—--Bb      16/15 - 8/5 -- 6/5 -- 9/5

Erv Wilson は、 2 次元以上の高次高調波を 2 次元で表示しながら表現できる格子の開発で大きな進歩を遂げました。これは、彼がインスピレーションを得た場所にちなんで「オイラー」格子と呼ぶものを生成するために使用したテンプレートです。各素数高調波 (n が素数の場合、1/n または n/1 の比率を表す各ベクトル) には固有の間隔があり、多次元の高調波ベースの構造の格子を生成する場合でも衝突を回避します。Wilson は、通常、1 インチあたり 10 マスのグラフ用紙を使用していました。この方法により、比率とスケール次数の両方を記入する余地ができました。そのため、すべての数字を 2 で割ったテンプレートを使用しませんでした。スケール次数は、比率と区別するために常にピリオドまたはドットで区切られています。

例:

• 一次元
  • ピタゴラス音律（3/2）
  • 平均律を含む音楽の音律（12音平均律 = 2 ^1/12（または 2 ^7/12）、24四重音 = 2 ^1/24、四分音律= ）${\displaystyle {\sqrt[{5}]{4}}}$
• 2次元
  • 5 限界純正律 (3/2 と 5/4)
  • 833セントスケール（および3/2）${\displaystyle \varphi}$
• 3次元
  • 7 限界純正律 (3/2、5/4、7/4)

• トーンダイヤモンド

• ジョンストン、ベン (2006)。「音楽における合理的構造」、「最大限の明瞭性」、および音楽に関するその他の著作、ボブ・ギルモア編。アーバナ：イリノイ大学出版局。ISBN 0-252-03098-2。 
• ワナメーカー、ロバート、「ジェイムズ・テニーの音楽、第1巻：文脈とパラダイム」（イリノイ大学出版、2021年）、155-65。</ref>

• ウィルソンアーカイブには数多くの例が含まれている