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音楽集合論は、音楽の対象を分類し、それらの関係を記述するための概念を提供する。ハワード・ハンソンは、調性音楽を分析するための多くの概念を最初に詳述した。[2]アレン・フォルテなどの他の理論家は、ミルトン・バビットの十二音理論を参考にして、無調音楽を分析するための理論をさらに発展させた。音楽集合論の概念は非常に一般的であり、平均律の調律システムにおける調性および無調のスタイルに適用でき、ある程度はそれよりも一般的に適用できる。
音楽集合論の一分野は、音高と音高クラスの集合（集合と順列）を扱う（音高クラス集合論）。音高と音高クラスは順序付けられている場合も順序付けられていない場合もあり、移調、旋律の反転、補数化などの音楽操作によって関連付けられる。一部の理論家は、音楽集合論の方法をリズムの分析にも適用している。
数学的集合論との比較
音楽集合論は数学的集合論を音楽に応用したものだとよく考えられていますが、両者の方法論や用語には多くの違いがあります。たとえば、音楽家は転置や反転という用語を使用しますが、数学者は平行移動や反転を使用します。さらに、音楽集合論が順序集合を指すのに対し、数学では通常、組やシーケンスを指します (数学では順序集合について言及しており、ある意味では音楽の集合も含まれると考えられますが、はるかに複雑です)。
さらに、音楽集合論は、例えば無限に大きい集合の様々なサイズなどの問題を扱う数学集合論よりも、群論や組合せ論に近い。組合せ論では、ピッチクラスなどのn個のオブジェクトの順序付けられていない部分集合は組合せと呼ばれ、順序付けられた部分集合は順列と呼ばれる。音楽集合論は、数学集合論の分野というよりも、音楽理論への組合せ論の応用とみなしたほうがよい。音楽集合論と数学集合論との主なつながりは、有限集合について話すために集合論の語彙を使用することである。
セットの種類
音楽集合論の基本概念は（音楽）集合であり、これは音階クラスの順序付けられていない集合である。[4]より正確には、音階クラス集合は、異なる整数（つまり重複のない）からなる数値表現である。[5]集合の要素は、同時進行する和音、連続する音（メロディーなど）、またはその両方として音楽に現れることがある。[要出典]表記規則は著者によって異なるが、集合は通常、中括弧 {} [6]または角括弧 [] で囲まれる。[5]
理論家の中には、山括弧⟨ ⟩ を使用して順序付きシーケンスを表す人もいれば[7]、数字をスペースで区切って順序付きセットを区別する人もいます。[8]したがって、ピッチクラス 0、1、2 (この場合は C、C ♯、D に対応) の順序なしセットは {0,1,2} と表記されます。順序付きシーケンス CC ♯ -D は⟨0,1,2⟩または (0,1,2)と表記されます。この例では C は 0 と見なされますが、常にそうであるとは限りません。たとえば、ピッチの中心が F であることが明確な曲 (調性か無調かに関係なく) は、F を 0 に設定して分析すると最も便利になる場合があります (その場合、{0,1,2} は F、F ♯、G を表します)。(音符を表すための数字の使用については、ピッチクラスを参照してください。)
集合論者は通常、平均律の音高クラスの集合を考慮するが、音高の集合、非平均律の音高クラス、[要出典]リズムの始まり、または「拍子クラス」を考慮することも可能である。[9] [10]
2要素のセットはダイアッド、3要素のセットはトリコードと呼ばれます（「トライアド」と呼ばれることもありますが、これはトライアドという言葉の伝統的な意味と混同されやすいです）。より高い濃度のセットはテトラコード（またはテトラッド）、ペンタコード（またはペンタッド）、ヘキサコード（またはヘキサド）、ヘプタコード（ヘプタッド、またはラテン語とギリシャ語の語源が混ざった「セプタコード」—例：ラーン）、[11] オクタコード（オクタッド）、ノナコード（ノナッド）、デカコード（デカッド）、ウンデカコード、そして最後にドデカコードと呼ばれます。
基本操作
集合に対して実行できる基本的な操作は、転置と反転である。転置または反転によって関連付けられている集合は、転置関連または反転関連していると言われ、同じ集合クラスに属する。転置と反転はピッチクラス空間の等長変換であるため、集合の要素の音楽的特徴（つまり、物理的現実）を保存しない場合でも、集合の音程構造を保存する。[要出典]これは、音楽集合論の中心的公理と考えることができる。実際には、集合論的な音楽分析は、多くの場合、楽曲に見られる集合間の自明でない転置または反転関係の特定から構成される。
補数と乗算の演算も考慮する著者もいる。集合 X の補数は、X に含まれないすべてのピッチクラスからなる集合である。[12] 2 つのピッチクラスの積は、それらのピッチクラス数の積を 12 で割ったものである。補数と乗算はピッチクラス空間の等長変換ではないため、変換するオブジェクトの音楽的特徴を必ずしも維持するわけではない。アレン・フォルテなどの他の著者は、Z 関係を強調している。これは、同じ総音程内容、つまり音程ベクトルを共有するが、転置的または反転的に同等ではない2 つの集合の間に成立する。 [13]この関係の別名は、ハンソン[14]によって「異性体」と呼ばれている。[15]
ピッチクラスの順序付けられたシーケンスに対する操作には、転置と反転、および逆行と回転も含まれます。順序付けられたシーケンスを逆行させると、その要素の順序が逆になります。順序付けられたシーケンスを回転させることにより、巡回置換が実行されます。
転置と反転は、基本的な算術演算として表すことができます。x がピッチクラスを表す数値である場合、そのn半音による転置は、T n = x + n mod 12と書きます。反転は、ピッチクラス空間内の固定点の周りの反射に対応します。x がピッチクラスである場合、インデックス番号nの反転は、 I n = n - x mod 12 と書きます。
同値関係
「集合Sの関係が[代数学において]同値関係となるためには、3つの条件を満たす必要がある。すなわち、反射的であること、対称的であること、推移的であることである。」[16]「実際、同値性の非公式な概念は常に音楽理論と分析の一部であった。しかし、PC集合論は同値の正式な定義に従っている。」[17]
転置集合と反転集合のクラス
転置的に関連する 2 つのセットは、同じ転置セット クラス (T n ) に属すると言われます。転置または反転によって関連する 2 つのセットは、同じ転置/反転セット クラス (反転は T n I または I nと表記されます) に属すると言われます。同じ転置セット クラスに属するセットは、非常によく似た響きになります。一方、同じ転置/反転セット クラスに属するセットには、同じタイプでキーが異なる 2 つのコードが含まれる可能性があり、その場合、響きはそれほど類似しませんが、明らかに境界のあるカテゴリであることに変わりはありません。このため、音楽理論家は、セット クラスを音楽の関心の基本的なオブジェクトと見なすことがよくあります。
平均律の集合クラスの命名には、主に2つの慣例がある。1つはフォルテ数と呼ばれ、アレン・フォルテに由来する。フォルテの『無調音楽の構造』 （1973年）は、音楽集合論における最初の著作の1つである。フォルテは、各集合クラスにc – d の形式の番号を与えた。ここで、 c は集合の濃度、dは序数である。[18]したがって、半音三和音 {0, 1, 2} は集合クラス 3–1 に属し、フォルテのリストの最初の3音集合クラスであることを示す。[19]増三和音 {0, 4, 8} には、フォルテのリストの最後の三和音である 3–12 というラベルが付けられる。
フォルテの命名法に対する主な批判は次の通りである。(1) フォルテのラベルは恣意的で覚えにくく、実際にはセット クラスの要素を単にリストする方が簡単な場合が多い。(2) フォルテのシステムは平均律を前提としており、全音階セット、ピッチ セット (ピッチ クラス セットではなく)、マルチセット、または他のチューニング システムのセットを含めるように簡単に拡張できない。 (3) フォルテの元のシステムでは、反転関係にあるセットは同じセット クラスに属すると見なされる。つまり、たとえば長三和音と短三和音は同じセットと見なされる。
西洋の調性音楽では、何世紀にもわたり、長調と短調、そしてコードの転回形は、大きく異なるものとみなされてきました。これらは、実際にまったく異なる物理的オブジェクトを生成します。音の物理的現実を無視することは、無調理論の明らかな限界です。しかし、この理論は、既存の理論が調性音楽を十分に説明できない空白を埋めるために作られたものではないという弁明がなされてきました。むしろ、フォルテの理論は、無調音楽を説明するために使用され、そこでは、作曲家は、{0、4、7}（調性理論では「長調」と呼ばれる）とその転回形{0、3、7}（調性理論では「短調」と呼ばれる）の区別が関係ないかもしれないシステムを発明しました。
2 番目の表記法では、セットに正規形というラベルを付けます。これは正規順序の概念に依存します。セットを正規順序にするには、 1 オクターブ未満のピッチクラス空間で昇順のスケールとして順序付けします。次に、最初と最後の音が可能な限り近くなるまで、セットを循環的に並べ替えます。同音の場合は、最初の音と最後から 2 番目の音の間の距離を最小にします。(ここで同音の場合は、最初の音と最後から 2 番目の音の間の距離を最小にします。以下同様です。) したがって、{0, 7, 4} を正規順序で表すと {0, 4, 7} になり、{0, 2, 10} を正規順序で表すと {10, 0, 2} になります。集合を正規形にするには、まずそれを正規の順序に並べ、次に最初のピッチクラスが 0 になるように転置します。 [20]数学者やコンピュータ科学者は、アルファベット順、2進数（基数2）順、またはグレイコーディングのいずれかを使用して組み合わせを順序付けることが最も多く、それぞれが異なるが論理的な正規形につながります。[要出典]
転置的に関連するセットは同じ正規形を共有するため、正規形を使用して T nセット クラスにラベルを付けることができます。
セットの T n /I nセット クラスを識別するには:
- セットの T nセット クラスを識別します。
- 集合を反転し、反転の T n集合クラスを見つけます。
- これら 2 つの正規形を比較して、どちらが最も「左詰め」になっているかを確認します。
結果セットは、初期セットの T n /I nセット クラスにラベルを付けます。
対称性
あるシステムにおいて、集合をそれ自身に写像する異なる演算の数は、その集合の対称度である。[21]対称度は、「パーティションの順序付けられていない pcset を保存する演算の数を指定します。つまり、そのパーティションのピッチクラス集合が、転置または反転の下で互いに写像される（または写像される）範囲を示します」。[22]すべての集合は、恒等演算 T 0の下でそれ自身に写像されるため、少なくとも 1 つの対称性を持ちます。[23]転置対称集合は、nが 0 (mod 12)でない T nに対してそれ自身に写像されます。反転対称集合は、T n I の下でそれ自身に写像されます。任意の T n /T n I タイプに対して、すべての集合は同じ対称度を持ちます。タイプ内の異なる集合の数は、24 (n = 0 から 11 までの転置と反転の演算の総数) を T n /T n I タイプの対称度で割ったものです。
転置対称のセットはオクターブを均等に分割するか、またはオクターブを均等に分割する等しいサイズのセットの和音として記述できます。反転対称のコードは、ピッチクラス空間での反射に対して不変です。これは、コードを循環的に順序付けることができるため、連続する音符間の一連の間隔は、前方または後方から読んでも同じであることを意味します。たとえば、循環的な順序付け (0、1、2、7) では、最初の音符と2番目の音符の間隔は1、2番目と3番目の音符の間隔は1、3番目と4番目の音符の間隔は5、4番目の音符と最初の音符の間隔は5です。[24]
系列の3番目の要素から始めて逆方向に進んでも同じ数列が得られる。系列の3番目の要素と2番目の要素の間隔は1、系列の2番目の要素と1番目の要素の間隔は1、系列の最初の要素と4番目の要素の間隔は5、系列の最後の要素と3番目の要素の間隔は5である。したがって、T 0とT 2 Iの間には対称性が見られ、T n /T n I同値類には12セットある。 [24]
参照
参考文献
- ^ シュイジャー 2008, 99.
- ^ ハンソン 1960年。
- ^ フォルテ 1973年。
- ^ ラーン1980、27。
- ^ フォルテ1973、3より。
- ^ ラーン1980、28。
- ^ ラーン1980、21、134。
- ^ フォルテ1973、60-61。
- ^ ウォーバートン1988年、148ページ。
- ^ コーン1992年、149ページ。
- ^ ラーン1980、140。
- ^ フォルテ1973、73-74。
- ^ フォルテ 1973, 21.
- ^ ハンソン 1960, 22.
- ^ コーエン2004、33。
- ^ シュイジャー2008、29-30。
- ^ シュイジャー2008、85。
- ^ フォルテ 1973年、12ページ。
- ^ フォルテ1973、179-181。
- ^ ラーン1980、33-38。
- ^ ラーン1980、90。
- ^ アレガント 2001, 5.
- ^ ラーン1980、91。
- ^ ab ラーン1980、148。
出典
- アレガント、ブライアン。2001年。「12音音楽におけるハーモニーと声部の導きとしてのクロスパーティション」。音楽理論スペクトラム23、第1号（春）：1-40。
- コーエン、アレン・ローレンス。2004年。ハワード・ハンソンの理論と実践。音楽と舞踏の研究への貢献66。コネチカット州ウェストポートおよびロンドン：Praeger。ISBN 0-313-32135-3 。
- コーン、リチャード. 1992. 「スティーブ・ライヒの位相シフト音楽におけるビートクラスセットの転置的組み合わせ」.パースペクティブズ・オブ・ニュー・ミュージック30、第2号（夏）：146-177。
- フォルテ、アレン. 1973.無調音楽の構造. ニューヘイブンおよびロンドン: イェール大学出版局. ISBN 0-300-01610-7 (ハードカバー) ISBN 0-300-02120-8 (ペーパーバック)
- ハンソン、ハワード. 1960.現代音楽のハーモニックマテリアル：平均律のリソース. ニューヨーク：アップルトン・センチュリー・クロフトス.
- ラーン、ジョン. 1980.基礎無調理論. ニューヨーク: シルマーブックス; ロンドンおよびトロント: プレンティスホールインターナショナル. ISBN 0-02-873160-3 .
- Schuijer, Michiel. 2008.無調音楽の分析：ピッチクラス集合理論とそのコンテキスト. ISBN 978-1-58046-270-9 .
- ウォーバートン、ダン、1988年、「ミニマルミュージックのための実用的な用語集」、インテグラル2:135-159。
さらに読む
- カーター、エリオット。2002年。ニコラス・ホプキンスとジョン・F・リンク編『ハーモニー・ブック』。ニューヨーク：カール・フィッシャー。ISBN 0-8258-4594-7。
- ルーウィン、デイヴィッド。1993年。『音楽の形式と変容：4つの分析的エッセイ』。ニューヘブン：イェール大学出版局。ISBN 0-300-05686-9。エドワード・ゴリンによる序文付きで再版、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、2007年。ISBN 978-0-19-531712-1。
- ルーウィン、デイヴィッド。1987年。「一般化された音楽の音程と変換」。ニューヘブン：エール大学出版局。ISBN 0-300-03493-8。再版、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、2007年。ISBN 978-0-19-531713-8。
- モリス、ロバート. 1987.ピッチクラスによる作曲：作曲デザインの理論. ニューヘブン：イェール大学出版局. ISBN 0-300-03684-1 .
- パール、ジョージ. 1996.十二音調性、第2版、改訂・増補版。バークレー：カリフォルニア大学出版局。ISBN 0-520-20142-6。（初版1977年、ISBN 0-520-03387-6）
- スター、ダニエル。1978年。「集合、不変性、分割」。音楽理論ジャーナル22、第1号（春）：1-42。
- ストラウス、ジョセフ・N. 2005. 「ポストトーナル理論入門」 、第3版。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール。ISBN 0-13-189890-6。
外部リンク
- タッカー、ゲイリー (2001)「ピッチクラスセット分析の簡単な紹介」、マウントアリソン大学音楽学部。
- Nick Collins「ピッチクラス空間、最小基数、Z パートナーの一意性」、Sonic Arts。
- 「20 世紀のピッチ理論: いくつかの有用な用語とテクニック」、Form and Analysis: 仮想教科書。
- Solomon, Larry (2005)。「音楽のための集合論入門」、SolomonMusic.net。
- Kelley, Robert T (2001)。「ポスト機能的音楽分析入門: ポスト機能的理論用語」、RobertKelleyPhd.com。
- ケリー、ロバート T (2002)。「ポスト機能的音楽分析入門: 集合論、マトリックス、および 12 音法」。
- 「SetClass View (SCv)」、Flexatone.net。オンラインの Web ベースのピッチ クラス分析と参照用の athenaCL netTool。
- Tomlin, Jay. 「集合論のすべて」。JayTomlin.com。
- 「Java 集合論マシン」または計算機
- Kaiser, Ulrich. 「ピッチクラスセット計算機」、musikanalyse.net。(ドイツ語)
- 「ピッチクラス集合理論と知覚」、Ohio-State.edu。
- 「作曲家のためのソフトウェア ツール」、ComposerTools.com。Javascript PC セット計算機、2 セット関係計算機、および理論チュートリアル。
- 「PC セット計算機」、MtA.Ca。
- Taylor, Stephen Andrew。「SetFinder」、stephenandrewtaylor.net。ピッチ クラス セット ライブラリと素数形式計算機。