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音楽理論における集合（ピッチ集合、ピッチクラス集合、集合クラス、集合形式、集合属、ピッチ集合）は、数学や一般用語と同様に、オブジェクトの集合である。音楽の文脈では、この用語は伝統的にピッチまたはピッチクラスの集合に最も頻繁に適用されるが、理論家は他の種類の音楽的実体にもその使用を拡張しており、例えば持続時間や音色の集合について話すこともできる。 [2]
集合自体は、必ずしも順序や順列などの追加の構造を持つわけではありません。しかし、音楽的には、順序関係（セグメントと呼ばれる）を備えた集合を考慮することが重要になることがよくあります。このような文脈では、強調のために、裸の集合は「順序なし」と呼ばれることがよくあります。[4]
2要素のセットはダイアッド、3要素のセットはトリコード（時には「トライアド」と呼ばれるが、これはトライアドという言葉の伝統的な意味と混同されやすい）。より高い濃度のセットはテトラコード（またはテトラッド）、ペンタコード（またはペンタッド）、ヘキサコード（またはヘキサド）、ヘプタコード（ヘプタッド、またはラテン語とギリシャ語の語源を混ぜた「セプタコード」と呼ばれることもある）[5] 、 オクタコード（オクタッド）、ノナコード（ノナッド）、デカコード（デカッド）、ウンデカコード、そして最後にドデカコードと呼ばれる。
タイムポイントセットは、アタックポイントまたはタイムポイント間の時間単位での距離が、ピッチクラス間の半音単位での距離である持続時間セットです。 [6]
シリアル
しかし、セリー音楽の理論では、一部の著者（ミルトン・バビット[ 7] [ページが必要] [引用による検証が必要]）は、他の人が「列」や「シリーズ」を使用するところで「セット」という用語を使用し、作品を構造化するために使用される順序付けられたコレクション（ 12音列など）を示します。これらの著者（ 12音セット）、時点セット、派生セットなどについて語っています（以下を参照）。これは、上記の「セット」という用語の使用法（および「集合論」という用語で言及されているもの）とは異なります。
これらの著者にとって、[曖昧な言葉]集合形式（または行形式）は、そのような順序付けられた集合の特定の配置です。つまり、プライム形式（元の順序）、逆（逆さま）、逆行（後ろ向き）、逆行逆（後ろ向きかつ逆さま）です。[2]
導出集合とは、部分集合に対する一貫した操作から生成または導出される集合である。例えば、ウェーベルンの協奏曲作品24では、最後の3つの部分集合は最初の部分集合から導出される。[8]
これは 0 から 11 までの整数として数値的に表すことができます。
0 11 3 4 8 7 9 5 6 1 2 10
最初のサブセット (BB ♭ D) は次のようになります。
0 11 3 素数形式、区間文字列 = ⟨−1 +4⟩
2 番目のサブセット (E ♭ GF ♯ ) は最初のサブセットの逆行反転であり、半音上に転調されています。
3 11 0 逆行、間隔文字列 = ⟨−4 +1⟩ mod 12 3 7 6 逆、区間文字列 = ⟨+4 −1⟩ mod 12 + 1 1 1 ------ = 4 8 7
3 番目のサブセット (G ♯ EF) は最初のサブセットを逆行し、6 半音上 (または下) に移調したものです。
3 11 0 逆行 + 6 6 6 ------ 9 5 6
4 番目のサブセット (CC ♯ A) は最初のサブセットの逆で、半音上に移調されています。
0 11 3 素数形式、区間ベクトル = ⟨−1 +4⟩ mod 12 0 1 9 逆、区間文字列 = ⟨+1 −4⟩ mod 12 + 1 1 1 ------- 1 2 10
4 つの三和音 (3 音セット) のそれぞれは、4 つの連続行操作のいずれかによって明らかにできる関係を示し、特定の不変性を生み出します。連続音楽におけるこれらの不変性は、調性音楽における共通音と共通コードの使用に似ています。[引用が必要]
非連載
非シリアルセットの基本的な概念は、ピッチクラスの順序付けられていない集合であるということである。[9]
集合の正規形は、集合内の音程の最もコンパクトな順序である。 [10]トムリンは「最もコンパクトな」順序を「任意の連続する2つの音程間の間隔のうち最大の間隔が、リストされた最初の音程と最後の音程の間である」順序と定義している。[10]たとえば、集合 (0,2) (長2度) は正規形であるが、集合 (0,10) (短7度、長2度の反転) は正規形ではなく、その正規形は (10,0) である。
素数形式は、集合の「元の」（転置されていない、反転されていない）形式ではなく、集合の通常形式またはその反転の通常形式のいずれか、より密に詰まっている方と見なすことができます。[11] Forte (1973) と Rahn (1980) はどちらも、集合の素数形式を、集合の可能な限り左に詰まったバージョンとして挙げています。Forte は左から詰め、Rahn は右から詰めます（「小さな数を小さくする」のに対し、「大きな数を...小さくする」[12]）。長年、2 つのアルゴリズムが異なる例は 5 つしかないと認められていました。[13]しかし、2017 年に音楽理論家の Ian Ring は、Forte と Rahn のアルゴリズムが異なる素数形式に到達する 6 番目の集合クラスがあることを発見しました。[14] Ian Ring は、集合の素数形式を計算するためのはるかに単純なアルゴリズムも確立しました。[ 14] このアルゴリズムは、John Rahn が以前に発表したより複雑なアルゴリズムと同じ結果を生成します。
ベクトル
参照
参考文献
- ^ ウィットオール、アーノルド（2008年）。ケンブリッジ・セリアリズム入門、 p.165。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-68200-8 （ペーパーバック）。
- ^ ab Wittlich, Gary (1975). 「20世紀音楽におけるセットと順序付けの手順」、Aspects of Twentieth-Century Music、p.475。Wittlich, Gary (編)。イングルウッドクリフス、ニュージャージー：Prentice-Hall。ISBN 0-13-049346-5。
- ^ ウィットオール（2008）、127ページ。
- ^ モリス、ロバート (1987)。ピッチクラスによる作曲：作曲デザインの理論、p.27。イェール大学出版局。ISBN 0-300-03684-1。
- ^ 例えば、ラーン（1980）、140。
- ^ ヴィットリッヒ（1975）、476ページ。
- ^ 十二音階に関する彼の著作はどれも、そのほとんどすべてが、S. Peles 他編『The Collected Essays of Milton Babbitt』 、Princeton University Press、2003 年、 ISBN 0-691-08966-3に再録されているので参照のこと。
- ^ ヴィットリッヒ（1975）、474ページ。
- ^ ジョン・ラーン『Basic Atonal Theory』（ロングマン社、ロンドンおよびトロント：プレンティス・ホール・インターナショナル、1980年）、27～28頁。ISBN 0-582-28117-2（ロングマン）；ISBN 0-02-873160-3 （プレンティス・ホール・インターナショナル）。1987年再版（シルマー・ブックス社、コリア・マクミラン社、1980年）、27頁。ISBN 0-02-873160-3。
- ^ ab Tomlin, Jay. 「集合論のすべて: 正規形とは何か?」、JayTomlin.com。
- ^ Tomlin, Jay. 「集合論のすべて: 素数形式とは何か?」、JayTomlin.com。
- ^ Nelson, Paul (2004). 「素数形式を計算するための2つのアルゴリズム」ComposerTools.com。2017年12月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。
{{cite web}}: CS1 メンテナンス: 不適切 URL (リンク) - ^ Tsao, Ming (2007). Abstract Musical Intervals: Group Theory for Composition and Analysis、p.99、n.32。ISBN 9781430308355。アルゴリズムはMorris, Robert (1991). Class Notes for Atonal Music Theory 、p.103に掲載されています。Frog Peak Music。
- ^ ab 「イアン・リングによる音階の研究」。
さらに読む
- Schuijer , Michiel (2008).無調音楽の分析: ピッチクラス集合理論とそのコンテキストISBN 978-1-58046-270-9 .
外部リンク
- 「集合論計算機」、JayTomlin.com 。指定された集合の正規形、素数、フォルト数、および区間クラス ベクトルを計算します。また、その逆も行います。
- 「PC セット計算機」、MtA.Ca。