明確な説明

形式意味論と言語哲学において、定形記述とは「X」という形式の指示 句であり、X は名詞句または単数形の普通名詞である。定形記述は、 X が固有の個体またはオブジェクトに適用される場合に適切である。たとえば、「宇宙に行った最初の人物」や「アメリカ合衆国第 42 代大統領」は適切である。定形記述「宇宙にいる人物」や「オハイオ州の上院議員」は、名詞句 X が複数のオブジェクトに適用されるため不適切であり、定形記述「火星に最初に到着した人間」や「ワシントン DC の上院議員」は、 X が何にも適用されないため不適切である。不適切な記述は、排中律、指示、様相、精神的内容に関する難しい問題を提起する。

フランスは現在共和国であるため、国王は存在しない。バートランド・ラッセルは、このことが「現在のフランス国王はハゲである」という文の真理値に関する謎を生じさせると指摘した^[1]。

この文は真ではないようです。もし私たちが禿げているものすべてを考慮するなら、現在のフランス国王はその中にいません。なぜなら、現在のフランス国王は存在しないからです。しかし、もしそれが偽であるなら、この文の否定、つまり「現在のフランス国王が禿げているわけではない」、またはその論理的等価である「現在のフランス国王は禿げていない」が真であると予想されます。しかし、この文も真ではないようです。現在のフランス国王は、禿げていないものの中にも、禿げているものの中にも存在しません。したがって、排中律に違反しているようです。

それでは、それは無意味なのでしょうか? そう考える人もいるかもしれません (そして、何人かの哲学者はそう考えました) ^{[誰? ]} 。なぜなら、 「現在のフランス国王」は確かにを指していないからです。しかし、一方で、「現在のフランス国王は禿げている」という文 (およびその否定) は完全に理解可能であるように思われ、「現在のフランス国王」が無意味ではあり得ないことを示唆しています。

ラッセルは、記述理論によってこのパズルを解くことを提案しました。「現在のフランス国王」のような明確な記述は、私たちが素朴に考えるような指示表現ではなく、むしろそれが現れる文に量化構造を導入する「不完全な記号」であるとラッセルは示唆しました。たとえば、「現在のフランス国王はハゲである」という文は、次の 3 つの量化された文の結合として分析されます。

1. x が存在し、x は現在フランス国王である: (「x は現在フランス国王である」の代わりに「Kx」を使用)${\displaystyle \exists xKx}$
2. 任意の x と y について、x が現在フランス王であ​​り、y が現在フランス王であ​​る場合、x = y です (つまり、現在フランス王であ​​るものは最大で 1 つあります)。${\displaystyle \forall x\forall y((Kx\land Ky)\rightarrow x=y)}$
3. 現在フランス国王である x について、x はハゲです。(「ハゲ」の代わりに「B」を使用)${\displaystyle \forall x(Kx\rightarrow Bx)}$

もっと簡単に言えば、「現在のフランス国王はハゲである」という主張は、ある x は x が現在フランス国王であるようなものであり、任意の y は y = x の場合にのみ現在フランス国王であり、x はハゲである、ということを言っていることになります。

${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$

これは誤りです。なぜなら、あるxが現在フランス国王である わけではないからです。

この文の否定、つまり「現在のフランス国王はハゲではない」は曖昧です。否定の「ない」をどこに置くかによって、2 つの意味のいずれかになります。1 つの解釈では、現在フランス国王でハゲている人はいないという意味になります。

${\displaystyle \lnot \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$

この曖昧さ解消により、この文は真になります(現在フランス国王である x は実際には存在しないため)。

2 度目に読むと、否定は「はげ」に直接結びついていると解釈でき、その場合、この文は現在フランス王がいるが、この王ははげていないという意味になります。

${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land \lnot Bx)}$

この曖昧さ回避では、この文は誤りです(現在フランス国王である x が存在しないからです)。

したがって、「現在のフランス国王はハゲではない」が真か偽かは、論理形式のレベルでどのように解釈されるかによって決まります。否定が広い範囲を取るものとして解釈される場合 (上記の 1 番目) は真ですが、否定が狭い範囲を取るものとして解釈される場合 (上記の 2 番目) は偽です。どちらの場合も、真理値が欠けているわけではありません。

したがって、排中律は破綻していません。つまり、「現在のフランス国王はハゲである」(つまり) は誤りです。なぜなら、現在のフランス国王は存在しないからです。 ${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$

この文の否定は、「not」の範囲が広いものです。現在フランスの王様というものは存在しないので、 この文は真です。${\displaystyle \lnot \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$

スティーブン・ニール^[2]は、ラッセルの理論を擁護し、それを一般化量化子の理論に取り入れました。この見解では、「the」は「some」「every」「most」などの量化限定詞です。限定詞「the」は、次の表記法を持ちます（ラムダ表記を使用）。

${\displaystyle \lambda f.\lambda g.\exists x(f(x)=1\land \forall y(f(y)=1\rightarrow y=x)\land g(x)=1)}$

（つまり、定冠詞「the」は、特性 fとgのペアを真とする関数を表し、その関数が特性f を持つものが存在し、特性f を持つものは 1 つだけであり、そのものが特性gも持つ場合に限られます。）述語「現在のフランス国王」（これも略してK）と「はげ頭」（略して B ）の表示を考えると、

${\displaystyle \lambda x.Kx}$

${\displaystyle \lambda x.Bx}$

次に、関数適用の 2 つのステップを経て、ラッセルの真理条件を取得します。つまり、「現在のフランス国王はハゲである」は、 の場合に限り真となります。この見解では、「現在のフランス国王」のような明確な記述には表示があります (具体的には、明確な記述は、プロパティから真理値への関数を表します。その意味では、シンカテゴレマティック、つまり「不完全なシンボル」ではありません)。しかし、この見解はラッセル分析の本質を保持しており、ラッセルが主張した真理条件とまったく同じものをもたらします。 ${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$

フレーゲの定記述の分析は、フレーゲの研究に暗示され、後にストローソン^[3]などによって擁護され、ラッセル理論に対する主要な代替案を表しています。フレーゲの分析では、定記述は量化表現ではなく指示表現として解釈されます。存在と一意性は、定記述を含む文の前提として理解されるのであって、そのような文によって主張される内容の一部ではありません。たとえば、「現在のフランス国王は禿げている」という文は、禿げている唯一の現在のフランス国王が存在すると主張するために使用されているわけではありません。代わりに、唯一の現在のフランス国王が存在するということは、この文が前提としているものの一部であり、この個人は禿げ​​ているということです。前提が崩れると、定記述は指示に失敗し、文全体としては命題を表現できなくなります。

したがって、フレーゲ派の見解は、ラッセル派の分析が回避しようとしているような真理値のギャップ（および排中律の失敗）に固執する。現時点ではフランス国王は存在しないため、「現在のフランス国王はハゲである」という文は命題を表現しておらず、したがって真理値を持たない。その否定である「現在のフランス国王はハゲではない」も同様である。フレーゲ派は、これらの文のいずれかが真の命題を表現するために使用できる条件についての話者の知識に依存することで、それでもこれらの文が意味を持つという事実を説明する。フレーゲ派は、排中律の制限されたバージョンに固執することもできる。つまり、前提が満たされている（したがって命題を表現する）任意の文については、その文またはその否定のいずれかが真である。

フレーゲの見解では、定冠詞「the」の意味は次のようになります（ラムダ表記を使用）。

${\displaystyle \lambda f:\exists x(f(x)=1\land \forall y(f(y)=1\rightarrow y=x)).}$[となる唯一のz ]${\displaystyle f(z)=1}$

(つまり、「the」は、プロパティf を受け取り、プロパティf を持つ唯一のオブジェクトzを返す関数を表します(そのようなzが存在する場合)。そうでない場合は未定義です。) 存在条件と一意性条件の前提的性質は、ここでは定冠詞がプロパティの集合に対する部分関数を表すという事実に反映されています。つまり、これは、正確に 1 つのオブジェクトに当てはまるプロパティfに対してのみ定義されます。したがって、「現在フランス国王である」という述語の表示では未定義です。これは、現在フランス国王であるというプロパティがどのオブジェクトにも当てはまらないためです。同様に、「米国の上院議員である」という述語の表示でも未定義です。これは、米国の上院議員であるというプロパティが複数のオブジェクトに当てはまるためです。

プリンキピア・マテマティカの例に倣って、ギリシャ語の小文字イオタ文字「℩」を「回転」させて表記した確定記述演算子を使用するのが通例である。表記法℩は「となる唯一のもの」を意味し、 ${\displaystyle x(\phi x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi x}$

${\displaystyle \psi (}$℩${\displaystyle x(\phi x))}$

は、「正確に 1 つ存在し、そのプロパティは次のようになります 」 と同等です。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \exists x(\forall y(\phi (y)\iff y=x)\land \psi (x))}$

• ランバートの法則（論理）
• 言語哲学
• ジョン・サール
• 空虚な真実

• ドネラン、キース、「参照と明確な記述」、哲学評論75（1966）：281-304。
• ニール、スティーブン、「Descriptions」、MIT Press、1990年。
• Ostertag, Gary (編) (1998) Definite Descriptions: A Reader Bradford、MIT Press。(Donnellan (1966)、Neale (1990) の第 3 章、Russell (1905)、および Strawson (1950) を含む。)
• ライマー、マルガ、ベズイデンハウト、アン（編）（2004）、記述とその先、クラレンドン・プレス、オックスフォード
• ラッセル、バートランド、「表示について」、マインド14（1905）：479-493。オンラインテキスト、
• ストローソン、PF、「参照について」、Mind 59（1950）：320-344。

• ザルタ、エドワード N. (編)。「説明」。スタンフォード哲学百科事典。