パスカルの定理

楕円に内接する自己交差六角形 $ABCDEF$ のパスカル線 $GHK$ 。六角形の向かい合う辺は同じ色で描かれている。

円に内接する自己交差六角形 $ABCDEF$ 。その辺は、対辺の組がパスカルの線上で交わるように延長されている。延長された対辺の組はそれぞれ異なる色（赤、黄、青）で示されている。パスカルの線は白で示されている。

射影幾何学において、パスカルの定理（ヘキサグラムム・ミスティクム定理とも呼ばれ、ラテン語で「神秘の六芒星」を意味する）は、円錐曲線（適切なアフィン平面上の楕円、放物線、または双曲線）上に任意の6つの点を選び、任意の順序で線分を結んで六角形を作ると、六角形の3組の対辺（必要に応じて延長）は、パスカル線と呼ばれる直線上の3点で交わる、と述べている。この定理はブレーズ・パスカルにちなんで名付けられた。

この定理はユークリッド平面においても有効であるが、対辺が平行である特殊な場合に対応するためには、記述を調整する必要がある。

この定理は、パップスの（六角形の）定理の一般化であり、各直線上に3つの点を持つ2つの直線からなる退化した円錐曲線の特殊な場合である。

ユークリッドの変形

パスカルの定理が最も自然に適用されるのは射影平面上である。なぜなら、任意の2つの直線は交わり、平行線についても例外を設ける必要がないからである。しかし、この定理はユークリッド平面上でも有効であり、六角形の対辺が平行である場合に何が起こるかを正しく解釈する必要がある。

六角形の対辺のうち、ちょうど一組が平行である場合、定理の結論は、2つの交点によって決定される「パスカル線」は、六角形の平行な辺に平行であるということである。対辺のうち2組が平行である場合、3組目の対辺も平行となり、ユークリッド平面上にはパスカル線は存在しない（この場合、拡張ユークリッド平面の無限遠点における直線が六角形のパスカル線となる）。

ヘキサグラムム・ミスティカム

円錐曲線上に順序付けされていない 6 つの点が与えられた場合、それらを 60 通りの異なる方法で接続して六角形にすることができ、その結果、パスカルの定理の 60 通りの異なる例と 60 通りの異なるパスカル線が得られます。この60 本の線の構成はHexagrammum Mysticumと呼ばれます。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

トーマス・カークマンが1849年に証明したように、これらの60本の線は、各点が3本の線上にあり、各線が3つの点を含むように、60個の点と関連付けることができます。このようにして形成された60個の点は、現在カークマン点として知られています。^{[ 5 ]}パスカル線は、20個のシュタイナー点を一度に3本ずつ通過します。シュタイナー点と3つのカークマン点からなる20本のケイリー線があります。シュタイナー点は、15本のプリュッカー線上にも一度に4本ずつ存在します。さらに、20本のケイリー線は、サーモン点として知られる15個の点を一度に4本ずつ通過します。^{[ 6 ]}

証明

パスカルのオリジナルのノート^{[ 1 ]}には証明がありませんが、この定理には様々な現代的な証明があります。

円錐曲線が円である場合に定理を証明すれば十分である。なぜなら、任意の（非退化）円錐曲線は射影変換によって円に還元できるからである。これはパスカルによって実現され、彼の第一補題は円に関する定理を述べている。彼の第二補題は、ある平面で真であることは、別の平面に射影しても真であり続けることを述べている。^{[ 1 ]}退化円錐曲線は連続性によって導かれる（定理は非退化円錐曲線に対して真であり、したがって退化円錐曲線の極限で成り立つ）。

円の場合のパスカルの定理の簡潔な初等的証明は、グッゲンハイマー（1967 ）の証明に基づいて、ファン・イゼレン（1993）によって発見された。この証明は円の場合の定理を証明し、それを円錐曲線に一般化するものである。

実射影平面の場合の簡潔な初等計算証明は、Stefanovic (2010)によって発見された。

等角共役の存在からも証明を推論できます。円周上の $ABCDEFに対して$ $X = AB \cap DE$ 、 $Y = BC \cap EF$ 、 $Z = CD \cap FA が$ 共線であることを示す場合、 $△$ $EYB$ と $△$ $CYF$ が相似であること、そして相似な三角形を重ね合わせると $X$ と $Z が$ $等角共役に対応することに注目します。これは∠$ $CYX$ $= ∠$ $CYZ$ を意味し、したがって $XYZ が$ 共線になります。

交差比の保存を利用して、簡単な証明を構築できます。 $点 D$ から直線 $ABに四角形$ $ABCEを投影すると四角形$ $ABPX$ が得られ、点 $F$ から直線 $BCに四角形$ $ABCEを投影すると四角形$ $QBCY$ が得られます。したがって、 $R$ $($ $AB$ $;$ $PX$ $) =$ $R$ $($ $QB$ $;$ $CY$ $)$ となります。ここで、2 つの四角形の点のうちの 1 つが重なり合っているため、交差比を保存するには、他の 3 つのペアを結ぶ他の直線が一致する必要があります。したがって、 $XYZ$ は共線です。

円に関するパスカルの定理の別の証明では、メネラウスの定理が繰り返し用いられている。

有名なダンデリン球を発見した幾何学者ダンデリンは、デザルグの定理の3次元証明に類似した「3次元持ち上げ」技術を用いた美しい証明を考案した。この証明は、すべての円錐曲線に対して、その円錐曲線を通る1葉双曲面が存在するという性質を利用している。

正弦定理と相似性を用いて、円に関するパスカルの定理の簡単な証明も存在する。

3次曲線を用いた証明

単純な円環六角形 $ABCDEF$ （右）の延長された対辺の交点は、パスカル線MNP（左）上にある。

パスカルの定理は、ケイリー・バカラックの定理を用いて簡単に証明できます。ケイリー・バカラックの定理によれば、任意の位置にある8つの点に対して、最初の8つの点を通るすべての3次曲線が9番目の点も通過するような、一意の9番目の点が存在します。具体的には、2つの一般的な3次曲線が8点で交わる場合、同じ8つの点を通る他のすべての3次曲線は、最初の2つの3次曲線の9番目の交点と交わります。パスカルの定理は、8つの点を六角形の6つの点と、パスカル直線となるはずの2つの点（図の $M$ と $Nなど$ ）とし、9番目の点を3番目の点（図の $P$ ）とすることで導き出されます。最初の 2 つの三次曲線は、六角形の 6 つの点を通る 3 つの直線の 2 つのセット (例えば、 $AB、CD、EF のセットと$ $BC、DE、FA の$ セット) であり、3 番目の三次曲線は円錐曲線と直線 $MN$ の和集合です。ここで、「9 番目の交点」 $P は$ 一般性により円錐曲線上に存在できず、したがって $MN$ 上にあります。

ケイリー・バカラックの定理は、3次楕円曲線上の群演算が結合法則を満たすことを証明するためにも用いられます。円錐曲線上の点 $E$ と平面上の直線 $MP を選択すれば、同じ群演算を円錐曲線にも適用できます。A$ $と$ $B$ の和は、まず直線 $AB$ と $MP$ の交点 $M$ を見つけることで得られます。次に、 $A$ と $Bを足すと、円錐曲線と直線$ $EM$ の 2 番目の交点 $D$ になります。したがって、 $Q が円錐曲線と直線$ $EN$ の 2 番目の交点である場合、

(A+B)+C=D+C=Q=A+F=A+(B+C)

したがって、群演算は結合法則を満たす。一方、パスカルの定理は上記の結合法則の公式から、そして連続性を介して楕円曲線の群演算の結合法則から導かれる。

ベズーの定理を用いた証明

$fを$ $AB、CD、EF$ を通る 3 つの直線上でゼロになる 3 次多項式とし、 $g$ を他の 3 つの直線 $BC、DE、FA 上$ でゼロになる 3 次多項式とする。円錐曲線上の任意の点 $Pを選び、3 次多項式$ $h$ $=$ $f$ $+$ $λgが$ $P$ 上でゼロになるように $λ$ を選択する。すると、 $h$ $= 0$ は、円錐曲線と 7 つの点 $A、B、C、D、E、F、P を$ 共有する 3 次多項式となる。しかし、ベズーの定理によれば、3 次多項式と円錐曲線は、共通の成分がない限り、最大で 3 × 2 = 6 つの点を共有する。したがって、3 次多項式 $h$ $= 0$ は円錐曲線と共通の成分を持ち、それは円錐曲線自体でなければならないので、 $h$ $= 0は円錐曲線と直線の和集合となる。この直線はパスカル直線である。なぜなら、$ $f$ と $g$ の解集合の交点にある任意の点は、 $h$ の解集合にも含まれるからである。

パスカルの六角形の性質

再びパスカルの定理の円錐上の六角形を上記の点の表記（最初の図）で与えると、^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.}