猫の落下問題

猫の転倒問題とは、猫の立ち直り反射の観察の背後にある基礎物理学を説明する問題です。

この問題の解決法は、面白くて自明な問題であるが、その説明から想像されるほど単純ではない。角運動量保存則との明らかな矛盾は、猫が剛体ではなく、猫の柔軟な背骨と機能しない鎖骨のおかげで落下中に形状を変えることが許されているため解決される。したがって、猫の行動は変形可能な物体の力学の典型である。

この現象については 19 世紀後半からいくつかの説明が提案されてきました。

• 猫は角運動量保存則に依存している。^[1]
• 前部ボディの回転角度は後部ボディの回転角度よりも大きい。^[2]
• 落下する猫の力学はウドワディア・カラバ方程式を使って説明されている。^[3]

猫の落下問題は、ジョージ・ガブリエル・ストークス、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、エティエンヌ＝ジュール・マレーなどの科学者の関心を集めた。妻のキャサリン・メアリー・クラーク・マクスウェルに宛てた手紙の中で、マクスウェルは次のように書いている。「トリニティには、私がここにいたころ、猫が足で着地しないように投げる方法を発見し、窓から猫を投げ捨てていたという言い伝えがある。研究の正しい目的は猫がどれだけ素早く向きを変えるかを知ることであり、正しい方法は猫を約2インチの高さからテーブルやベッドに落とすことであり、それでも猫は足で着地するということだと説明しなければならなかった。」^[4]

猫の落下問題は、マクスウェル、ストークスらによって単なる好奇心として扱われていたが、この問題のより厳密な研究は、クロノフォトグラフィーを応用したエティエンヌ＝ジュール・マレーによって行われた。マレーはクロノフォトグラフィー銃を使用して猫の落下をフィルムに記録した。1秒間に12フレームを撮影できる銃で撮影された画像から、猫は落下開始時に回転運動をしていなかったため、猫は猫の調教師の手を支点として「ごまかし」をしているのではないとマレーは推測した。これ自体が、自由落下中の物体が角運動量を獲得する可能性があることを示唆していたため、問題を提起した。マレーはまた、空気抵抗は猫の体の回復を促進する上で何ら役割を果たさないこと を示した。

彼の研究はその後Comptes Rendusに掲載され^[5] 、その研究結果の要約はNature^{誌に掲載された[6]} 。Nature誌の記事の要約は次の通りである。

マレー氏は、猫が体を起こすために使うのは自身の質量の慣性であると考えている。脊椎の筋肉の作用を生み出すねじれ対は、まず前足に作用する。前足は短縮されて首に押し付けられているため、前足の慣性運動は非常に小さい。しかし、後ろ足は伸ばされて体の軸にほぼ垂直になっているため、ねじれ対が生み出す方向とは逆の方向の運動に抵抗する慣性モーメントを持つ。動作の第 2 段階では、足の姿勢が逆転し、前足の慣性が後足の回転の支点となる。

画像が公開されたにもかかわらず、当時の多くの物理学者は、猫の動きは剛体が角運動量を獲得していることを意味しているように見えるため、猫が開始位置から飼い主の手を使って自分自身を正すことで「不正行為」をしていると主張した。^[7]

この問題は、1969 年に、猫を相対的な向きを変えることができる一対の円筒 (猫の前半分と後ろ半分) としてモデル化することで最初に解決され、物理的に許容される猫の 2 つの部分の相対的な動きをカプセル化する構成空間の接続の観点から説明されました。 ^{[8] [9]} 単純化された「猫」は、中央の柔軟な背骨で接続された 2 つの円筒としてモデル化できます。また、柔軟な背骨はねじれを許さないため、両方の円筒は同じ角度でしか回転できないと仮定します。したがって、システムの構成空間は 3 次元のみです。

• ${\displaystyle \オメガ}$、水平軸の周りの猫の全体的な角度。
• ${\displaystyle \theta}$、背骨の曲げ角度
• ${\displaystyle \phi}$、シリンダーの回転角度

このように考えると、猫が落ちる問題のダイナミクスは非ホロノミックシステムの典型的な例であり、^[10]その研究は制御理論の中心的な関心事の一つである。猫が落ちる問題の解は、所定の初期構成と最終構成を持つ接続に対して水平な（つまり、物理学的に許容される）構成空間内の曲線である。最適解を見つけることは、最適動作計画の一例である。^{[11] [12]}

物理学の用語で言えば、モンゴメリの接続は配置空間上の特定のヤン・ミルズ場であり、ゲージ場によって表される変形体のダイナミクスに対するより一般的なアプローチの特殊なケースであり、^{[9] [10]}シェイパーとウィルチェックの研究に従っている。^{[13] [14]}

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• Gbur, Gregory J. (2019年10月22日)。Falling Felinesと基礎物理学。ニューヘブンロンドン：イェール大学出版局。ISBN 978-0-300-23129-8。
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