パフィアン制約

力学において、パフィアン制約は次の形式で動的システムを記述する方法です。

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$^[1]

ここで、制約システム内の方程式の数です。 ${\displaystyle L}$

ホロノミック システムは常に Pfaffian 制約形式で記述できます。

ホロノミック制約方程式 の集合によって記述されるホロノミック系が与えられると、

${\displaystyle f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L}$

ここで、nはシステムを記述する一般化座標であり、ここで、制約システム内の方程式の数です。各方程式の連鎖律によって微分化できます。 ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$

命名法を単純に置き換えると次のようになります。

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$

振り子を考えてみましょう。重りの動きが腕によって制限されるため、重りの速度ベクトルは常に位置ベクトルに対して垂直でなければなりません。これらのベクトルは常に直交するため、それらのドット積はゼロでなければなりません。質量の位置と速度はどちらも-座標系で定義できます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {L}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0}$

ドット積を簡略化すると次のようになります。

${\displaystyle x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0}$

両辺に を掛けます。これにより、制約方程式の Pfaffian 形式が得られます。 ${\displaystyle {\text{d}}t}$

${\displaystyle x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0}$

このパフィアン形式は、もし存在するなら、それを積分してシステムのホロノミック制約方程式を解くことができるので便利です。この場合、積分はむしろ簡単です。

${\displaystyle \int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C}$

ここで、C は積分定数です。

慣例的に、次のように書くこともできます。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=L^{2}}$

項が2乗されるのは、単に正の数でなければならないからです。物理システムであるため、次元はすべて実数でなければなりません。実際、は振り子の腕の長さです。 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L}$

ロボットの 動作計画において、パフィアン制約は速度に関して線形なk個の 線形独立 制約の集合であり、すなわち次の形式である。$${\displaystyle A(q)\,{\dot {q}}=0}$$

パフィアン制約の1つの源泉は、車輪付きロボットが滑らずに転がることである。^[2]