ニュートン力学ポテンシャル

数学において、ニュートンポテンシャルまたはニュートンポテンシャルは、ベクトル計算において、滑らかで無限大で十分急速に減少する関数に対して、負のラプラス演算子の逆として作用する演算子である。そのため、ポテンシャル理論における基本的な研究対象である。一般的には、原点に数学的な特異点を持つ関数、つまりラプラス方程式の基本解であるニュートン核との畳み込みによって定義される特異積分演算子である。ニュートンポテンシャルは、最初にこれを発見し、3 変数の特殊なケースで調和関数であることを証明したアイザック ニュートンにちなんで名付けられ、その場合、ニュートンの万有引力の法則における基本的な重力ポテンシャルとして機能する。現代のポテンシャル理論では、ニュートンポテンシャルは静電ポテンシャルとして考えられている。 ${\displaystyle \Gamma }$

コンパクトに支えられた積分 可能な関数 のニュートンポテンシャルは、 ニュートン核が次のように定義される 畳み込みとして定義される。${\displaystyle f}$ $${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)f(y)\,dy}$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle d}$$${\displaystyle \Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|},&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d},&d\neq 2.\end{cases}}}$$

ここでω _dは単位d球の体積である（符号の表記は変わることがある。(Evans 1998)と(Gilbarg & Trudinger 1983)を比較のこと）。例えば、${\displaystyle d=3}$${\displaystyle \Gamma (x)=-1/(4\pi |x|).}$

fのニュートンポテンシャルwはポアソン方程式の解であり 、関数のニュートンポテンシャルを取る操作はラプラス演算子の部分逆であると言えます。fが有界で、オットー・ヘルダーによって示されたように局所的にヘルダー連続である場合、 w は古典的な解、つまり 2 回微分可能になります。連続性だけで十分であるかどうかは未解決の問題でした。これはHenrik Petriniによって誤りであることが示され、彼はwが2 回微分可能ではない連続fの例を示しました。w に任意の調和関数を追加しても方程式に影響しないため、解は一意ではありません。この事実は、適切に正則な領域でのポアソン方程式、および適切に動作の良好な関数fに対するディリクレ問題の解の存在と一意性を証明するために使用できます。まずニュートンポテンシャルを適用して解を取得し、次に調和関数を追加して調整して正しい境界データを取得します。 $${\displaystyle \Delta w=f,}$$

ニュートンポテンシャルは、より広義には、 μがコンパクトに支えられたラドン測度の ときの畳み込みとして定義されます 。これは、超関数 の意味でポアソン方程式を満たします 。さらに、測度 が正のとき、ニュートンポテンシャルはR ^d上でサブハーモニックです。 $${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)\,d\mu (y)}$$$${\displaystyle \Delta w=\mu }$$

fがコンパクトに支えられた連続関数（または、より一般的には有限測度）であり、回転不変である場合、 fとΓの畳み込みは、fのサポートの外側のxに対して次式を満たす。 $${\displaystyle f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.}$$

次元d  = 3 では、これはニュートンの定理に帰着し、はるかに大きな球対称の質量分布の外側にある小さな質量の位置エネルギーは、より大きな物体の質量がすべてその中心に集中している場合と同じになります。

測度μが、 R ^{d を}2 つの領域D ₊とD ₋に分割する十分に滑らかな超曲面S (ヘルダー類 C ^1,αのリャプノフ面) 上の質量分布に関連付けられている場合、 μのニュートンポテンシャルは単純層ポテンシャルと呼ばれます。単純層ポテンシャルは連続しており、S上を除いてラプラス方程式を解きます。これらは、静電気の研究において、閉じた表面上の電荷分布に関連付けられた静電ポテンシャルの文脈で自然に現れます。 d μ = f d HがS上の連続関数と ( d  − 1) 次元ハウスドルフ測度との積である場合、 Sの点yにおいて、法線導関数は層を横切るときにジャンプ不連続f ( y ) を生じます。さらに、 wの法線導関数はS上で明確に定義された連続関数です。これにより、単純層はラプラス方程式の ノイマン問題の研究に特に適しています。

• 二重層電位
• グリーン関数
• リースの可能性
• 3変数ラプラス方程式のグリーン関数

• エヴァンス、LC（1998）、偏微分方程式、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0772-2。
• ギルバーグ、D.;トルディンガー、ニール(1983)、楕円型2次偏微分方程式、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7。
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「ニュートンポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「単純層ポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「表面ポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press