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音楽集合論は、音楽的対象を分類し、それらの関係を記述するための概念を提供する。ハワード・ハンソンは、調性音楽を分析するための多くの概念を最初に詳細に説明した。[ 2 ]アレン・フォルテなどの他の理論家は、ミルトン・バビットの12音理論に基づいて、無調音楽を分析するための理論をさらに発展させた。 [ 3 ]音楽集合論の概念は非常に一般的であり、あらゆる平均律調律システムの調性および無調のスタイルに適用でき、ある程度はそれよりもさらに一般的に適用できる。
音楽集合論の一分野は、音高の集合（集合と順列）と音高クラス（音高クラス集合論）を扱います。これらは順序付けされている場合もそうでない場合もあり、移調、旋律の反転、補音などの音楽的操作によって関連付けることができます。一部の理論家は、音楽集合論の手法をリズムの分析にも応用しています。
音楽集合論は、数学集合論を音楽に応用したものとよく考えられがちですが、両者の方法論や用語には数多くの違いがあります。例えば、音楽家は移調や反転といった用語を用いますが、数学者は平行移動や鏡映といった用語を用います。さらに、音楽集合論では順序集合という概念が用いられるのに対し、数学では通常タプルやシーケンスといった概念が用いられます（ただし、数学でも順序集合という概念は存在し、ある意味では音楽における順序集合も含まれると言えますが、数学の方がはるかに複雑な概念です）。
さらに、音楽集合論は、例えば無限に大きな集合のさまざまなサイズといった事柄を扱う数学的集合論よりも、群論や組み合わせ論により密接に関連している。組み合わせ論では、音高クラスなどのn個の対象物の順序付けされていない部分集合は組み合わせと呼ばれ、順序付けされた部分集合は順列と呼ばれる。音楽集合論は、数学的集合論の一分野というよりも、組み合わせ論を音楽理論に応用したものと考える方が適切である。数学的集合論との主な関連性は、有限集合について議論する際に集合論の語彙を使用することである。[ 4 ]
音楽集合論の基本概念は、音高クラスの順序付けされていない集合である（音楽）集合です。[ 5 ]より正確には、音高クラス集合は、重複のない異なる整数からなる数値表現です。[ 6 ]集合の要素は、音楽では同時和音、連続する音（メロディーなど）、またはその両方として表現されます。表記規則は著者によって異なりますが、集合は通常、中括弧 {} [ 7 ]または角括弧 [] [ 6 ]で囲まれます。
理論家の中には、順序付きシーケンスを表すために山括弧⟨ ⟩を使用する者もいれば、数字をスペースで区切って順序付きセットを区別する者もいる。[ 8 ] [ 9 ]したがって、音高クラス 0、1、2 の順序なしセット (この場合は C、C♯、D に対応) を {0,1,2} と表記することができる。順序付きシーケンス CC♯ -Dは⟨ 0,1,2 ⟩または (0,1,2) と表記される。この例では C はゼロとみなされているが、常にそうとは限らない。たとえば、明確な音高中心が F である楽曲 (調性または無調性) は、F をゼロに設定して分析するのが最も有用かもしれない (この場合、{0,1,2} は F、F♯、G を表す)。(音符を表すために数字を使用する方法については、音高クラスを参照)。
集合論者は通常、平均律の音高クラスの集合を考えるが、音高、平均律でない音高クラス、リズムの開始、または「拍クラス」の集合を考えることも可能である。[ 10 ] [ 11 ]
2 要素の集合はdyads、3 要素の集合はtrichords (時折「triads」とも呼ばれるが、これは triad の伝統的な意味と混同されやすい)と呼ばれます。より高い要素数の集合はtetrachords (または tetrads)、pentachords (または pentads)、hexachords (または hexads)、heptachords (heptads または、ラテン語とギリシャ語の語根を混ぜて「septachords」と呼ばれることもある - 例: Rahn )、[ 12 ] octachords (octads)、nonachords (nonads)、decachords (decads)、undecachords、そして最後にdodecachord と呼ばれます。
集合に対して実行できる基本的な操作は、転置と反転です。転置または反転によって関連付けられた集合は、転置的に関連付けられている、または反転的に関連付けられていると言われ、同じ集合クラスに属します。転置と反転は音高クラス空間の等長変換であるため、集合の要素の音楽的特性を保持しない場合でも、集合の音程構造を保持します。これは、音楽集合論の中心的な公準と考えることができます。実際には、集合論的な音楽分析は、楽曲中に見られる集合間の、一見分かりにくい転置的または反転的な関係を特定することから成り立っています。
一部の著者は、補数と乗算の操作も考慮しています。集合 X の補数は、X に含まれないすべての音高クラスからなる集合です。[ 13 ] 2 つの音高クラスの積は、それらの音高クラスの数を 12 で割った値の積です。補数と乗算は音高クラス空間の等長変換ではないため、変換対象の音楽的特性を必ずしも保持するとは限りません。アレン・フォルテなどの他の著者は、同じ総音程内容または音程ベクトルを共有するが、転置または反転等価ではない2 つの集合の間に成立するZ 関係を強調しています。 [ 14 ]ハンソンが使用したこの関係の別の名前は「同型」です。[ 15 ] [ 16 ]
音高クラスの順序付きシーケンスに対する操作には、転置、反転、逆行、回転が含まれます。順序付きシーケンスの逆行は、その要素の順序を反転させます。順序付きシーケンスの回転は、巡回置換に相当します。
転置と反転は、基本的な算術演算として表すことができます。xが音高クラスを表す数である場合、n半音の転置は T n = x + n mod 12と表されます。反転は、音高クラス空間内の固定点を中心とした鏡映に対応します。xが音高クラスである場合、インデックス番号nの反転は I n = n - x mod 12と表されます。
「集合S内の関係が[代数学において]同値関係であるためには、反射的、対称的、推移的という 3 つの条件を満たさなければならない。」[ 17 ]「実際、同値性の非形式的な概念は常に音楽理論と分析の一部であった。しかし、PC 集合論は同値性の形式的な定義に従ってきた。」[ 18 ]
2 つの転置関係にある集合は、同じ転置集合クラス (T n ) に属すると言われます。転置または反転によって関係付けられた 2 つの集合は、同じ転置/反転集合クラス (反転は T n I または I nと表記) に属すると言われます。同じ転置集合クラスに属する集合は、非常に似た響きを持ちます。一方、同じ転置/反転集合クラスに属する集合には、同じ種類のコードでも調が異なる 2 つのコードが含まれることがあり、その場合、響きはそれほど似ていませんが、明らかに境界のあるカテゴリです。このため、音楽理論家は集合クラスを音楽研究の基本的な対象と考えることがよくあります。
平均律の集合クラスに名前を付ける主な慣習は 2 つあります。 1 つはフォルテ数として知られており、音楽集合論の初期の著作の 1 つです。彼の著書『無調音楽の構造』（1973 年）は、音楽集合論の初期の著作の 1 つです。フォルテは、各集合クラスにc – dの形式の番号を与えました。ここで、c は集合の濃度を示し、dは順序数です。[ 19 ]したがって、半音階三和音 {0, 1, 2} は集合クラス 3–1 に属し、フォルテのリストの最初の 3 音の集合クラスであることを示しています。[ 20 ]増三和音 {0, 4, 8} は、3–12 というラベルを受け取りますが、これはフォルテのリストの最後の三和音です。
フォルテの命名法に対する主な批判は次のとおりである。(1) フォルテのラベルは恣意的で覚えにくく、実際にはセットクラスの要素を単に列挙する方が簡単な場合が多い。(2) フォルテのシステムは平均律を前提としており、全音階セット、音高セット（音高クラスセットとは対照的に）、多重セット、または他の調律システムにおけるセットを含めるように容易に拡張することはできない。(3) フォルテの元のシステムでは、転回関係にあるセットは同じセットクラスに属するとみなされる。これは、たとえば長三和音と短三和音が同じセットとみなされることを意味する。
西洋の調性音楽では、何世紀にもわたり、長調と短調、そしてコードの転回形は大きく異なるものとして扱われてきました。実際、それらは全く異なる物理的対象を生み出します。音の物理的現実を無視することは、無調理論の明らかな限界です。しかし、既存の理論では調性音楽を十分に説明できないという空白を埋めるためにこの理論が作られたわけではない、という反論がなされてきました。むしろ、フォルテの理論は無調音楽を説明するために用いられており、作曲家は{0, 4, 7}（調性理論では「長調」と呼ばれる）とその転回形{0, 3, 7}（調性理論では「短調」と呼ばれる）の区別が重要ではないかもしれないシステムを考案したのです。
2番目の表記法では、セットを正規形に基づいてラベル付けします。正規形は正規順序の概念に基づいています。セットを正規順序にするには、 1オクターブ未満の音高クラス空間で昇順スケールとして並べます。次に、最初の音と最後の音が可能な限り近くなるまで、それを循環的に並べ替えます。同音の場合は、最初の音と最後から2番目の音の間の距離を最小にします。（ここで同音の場合は、最初の音と最後から2番目の音の間の距離を最小にし、以下同様です。）したがって、{0, 7, 4} を正規順序にすると {0, 4, 7} となり、{0, 2, 10} を正規順序にすると {10, 0, 2} となります。セットを正規形にするには、まず正規の順序に並べ、次に最初の音高クラスが 0 になるように転置します。[ 21 ]数学者やコンピュータ科学者は、組み合わせをアルファベット順、バイナリ (2 進数) 順、またはグレイ コーディングのいずれかを使用して順序付けることが最も多く、それぞれが異なりながらも論理的な正規形につながります。
転置的に関連する集合は同じ正規形を共有するため、正規形を用いて T n個の集合クラスにラベルを付けることができる。
集合のT n /I n集合クラスを識別するには：
結果として得られる集合は、元の集合の T n /I n集合クラスをラベル付けします。
集合をそれ自身に写像するシステム内の異なる操作の数は、その集合の対称度です。[ 22 ]対称度は、「分割の順序付けされていないpcsetを保存する操作の数を指定します。それは、その分割のピッチクラス集合が転置または反転の下で互いに写像される程度を示します」。[ 23 ]すべての集合は、恒等操作T 0の下でそれ自身に写像されるため、少なくとも1つの対称性を持っています。[ 24 ]転置対称集合は、 nが0ではない(mod 12)のT nに対してそれ自身に写像されます。反転対称集合は、T n Iの下でそれ自身に写像されます。任意のT n /T n I型に対して、すべての集合は同じ対称度を持ちます。型の異なる集合の数は、24(n = 0から11までの転置と反転の操作の合計数)をT n /T n I型の対称度で割ったものです。
移調対称な集合は、オクターブを均等に分割するか、オクターブを均等に分割する同じサイズの集合の和集合として表すことができます。反転対称な和音は、音高クラス空間での鏡映に対して不変です。これは、和音を循環的に並べることができ、連続する音の間の間隔の系列が順方向または逆方向に読んでも同じになることを意味します。たとえば、循環的な順序 (0, 1, 2, 7) では、最初の音と 2 番目の音の間の間隔は 1、2 番目の音と 3 番目の音の間の間隔は 1、3 番目の音と 4 番目の音の間の間隔は 5、4 番目の音と最初の音の間の間隔は 5 です。[ 25 ]
数列の 3 番目の要素から始めて逆方向に進んでも同じ数列が得られます。数列の 3 番目の要素と 2 番目の要素の間の間隔は 1、数列の 2 番目の要素と最初の要素の間の間隔は 1、数列の最初の要素と 4 番目の要素の間の間隔は 5、数列の最後の要素と 3 番目の要素の間の間隔は 5 です。したがって、T 0と T 2 I の間には対称性が見られ、T n /T n I 同値類には 12 個の集合があります。[ 25 ]
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