ブランマンジェ曲線

数学において、ブランマンジェ曲線は、中点分割によって構成可能な 自己アフィン フラクタル曲線である。1901年にこの曲線を説明した高木貞治にちなんで高木曲線とも呼ばれる。また、高木とゲオルク・ランズベルクにちなんで名付けられた曲線の一般化として、高木-ランズベルク曲線とも呼ばれる。ブランマンジェという名前は、この曲線がブランマンジェ・プディングに似ていることに由来する。これは、より一般的なド・ラーム曲線の特殊なケースである。

ブランマンジェ関数は単位区間上で次のように 定義される。

${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}$

ここで、 は三角波で、 によって定義されます。つまり、はxから最も近い整数までの距離です。 ${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|xn|}$${\displaystyle s(x)}$

高木・ランズバーグ曲線は、次のように表される若干の一般化である。

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$

パラメータ の場合、ブランマンジェ曲線がこれに該当します。この値はハーストパラメータとして知られています。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle w=1/2}$${\displaystyle H=-\log _{2}w}$

この関数は実数線全体に拡張できます。上記の定義を適用すると、関数が各単位区間で繰り返されることがわかります。

高木曲線の周期バージョンは、関数方程式の唯一の有界解として定義することもできます。${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

確かに、ブランマンジェ関数は有界であり、関数方程式を解く。 ${\displaystyle T_{w}}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

逆に、関数方程式の有界解である場合、任意のNに対して得られる等式を反復すると、 ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ for }}N\to \infty ,}$

ところで、上記の関数方程式は、例えば、無限に多くの連続した非有界解を持つ。 ${\displaystyle T=T_{w}}$${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

ブランマンジェ曲線は、最初のいくつかの項の有限和で無限和を近似すると、三角波関数から視覚的に構築できます。下の図では、段階的に細かい三角関数 (赤で表示) が各段階で曲線に追加されています。

定義する無限和は、すべてに対して絶対収束する。すべてに対して${\displaystyle T_{w}(x)}$ ${\displaystyle x.}$${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$

パラメータのTakagi曲線は、単位区間（または）で定義されます。パラメータのTakagi関数は連続です。部分和によって定義される 関数は、${\displaystyle |w|<1.}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle w}$${\displaystyle T_{w,n}}$

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

連続しており、一様に収束する${\displaystyle T_{w}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|&=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|\\&=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\\&\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}\end{aligned}}}$

すべてのxに対して、この境界は次のように減少します。一様極限定理により、 | w | < 1 の場合には連続です。${\displaystyle |w|<1.}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle T_{w}}$

• 
  パラメータw = 2/3
• 
  パラメータw = 1/2
• 
  パラメータw = 1/3
• 
  パラメータw = 1/4
• 
  パラメータw = 1/8

絶対値は劣加法関数であるため、関数とその拡大も劣加法関数です。また、劣加法関数の正の線形結合と点ごとの極限は劣加法であるため、Takagi 関数はパラメータ の任意の値に対して劣加法です。 ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$${\displaystyle s(2^{k}x)}$${\displaystyle w}$

から放物線が得られます。放物線の中点分割による作図はアルキメデスによって説明されました。 ${\displaystyle w=1/4}$

パラメータの値に対して、高木関数は、二項有理数でない 任意の において古典的な意味で微分可能である。級数の符号の下での導出により、任意の二項有理数でない に対して、 ${\displaystyle 0<w<1/2,}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

ここで、 はの2 進数展開における 2 進数のシーケンスです。 ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

同様に、バイナリ展開のビットは、幅にスケーリングされた一連の矩形波、ハール ウェーブレットとして理解できます。三角波の導関数は矩形波であるため、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle 2^{-n}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1))}$

など

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1))}$

パラメータに対して関数は 定数のリプシッツである。特に、任意の非二項有理数に対して、前述の式に従って、 特別な値を見つける。${\displaystyle 0<w<1/2,}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle 1/(1-2w).}$${\displaystyle w=1/4}$${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

ブランマンジェ関数の場合、それは 空でない開集合上で 有界な変分ではありません。それは局所的にリプシッツでもありませんが、準リプシッツであり、実際、関数を連続性の係数として許容します 。 ${\displaystyle w=1/2}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$

高木・ランズバーグ関数は絶対収束するフーリエ級数展開を許容する。

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

および、のために${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

ここで はを割り切るの最大乗である。実際、上記の三角波は絶対収束するフーリエ級数展開を持つ。 ${\displaystyle 2^{\nu (m)}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

絶対収束により、対応する二重級数を並べ替えることができます。 ${\displaystyle T_{w}(x)}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

を置くと、上記のフーリエ級数が得られる。${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$${\displaystyle T_{w}(x).}$

再帰的定義により、曲線の自己対称性のモノイドを与えることができる。このモノイドは、曲線（単位区間に制限）に 作用する2つの生成元gとrによって与えられる。

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

そして

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdot x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x).}$

モノイドの一般元は、ある整数に対して次のような形になります。これは、定数a、b、cに対して、曲線に対して線形関数として作用します。作用は線形なので、ベクトル空間とベクトル空間基底で記述できます。 ${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

この表現では、 gとrの作用は次のように表される。

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

つまり、一般要素の作用は、単位区間 [0,1] 上のブランマンジュ曲線を、いくつかの整数m、n、pの部分区間にマッピングします。マッピングは、次のように正確に与えられます。ここで、a、b、cの値は、上記の行列を掛け合わせることで直接取得できます。つまり、次のようになります。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

即時であることに留意してください。 ${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

gとrによって生成されるモノイドは、二項モノイドと呼ばれることもあります。これは、モジュラー群のサブモノイドです。モジュラー群について議論する場合、 gとrのより一般的な表記はTとSですが、その表記はここで使用する記号と矛盾します。

上記の 3 次元表現は、それが持つことができる多くの表現の 1 つにすぎません。これは、ブランマンジェ曲線がアクションの 1 つの可能な実現であることを示しています。つまり、3 次元だけでなく、任意の次元の表現があり、そのいくつかはde Rham 曲線を与えます。

0から1までの積分が1/2であることを考えると、この恒等式により、任意の区間の積分を次の関係式で計算することができます。計算は再帰的に行われ、計算時間は必要な精度のlogのオーダーです。定義 ${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)}$${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\operatorname {blanc} (2x)/2+s(x)}$

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{x}\operatorname {blanc} (y)\,dy}$

一つはそれを持っている

${\displaystyle I(x)={\begin{cases}I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{if }}0\leq x\leq 1/2\\1/2-I(1-x)&{\text{if }}1/2\leq x\leq 1\\n/2+I(x-n)&{\text{if }}n\leq x\leq (n+1)\\\end{cases}}}$

定積分は次のように与えられます。

${\displaystyle \int _{a}^{b}\operatorname {blanc} (y)\,dy=I(b)-I(a).}$

より一般的な表現は次のように定義できる。

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}s(y)dy={\begin{cases}x^{2}/2,&0\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\-x^{2}/2+x-1/4,&{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\n/4+S(x-n),&(n\leq x\leq n+1)\end{cases}}}$

これを級数表現と組み合わせると、

${\displaystyle I_{w}(x)=\int _{0}^{x}T_{w}(y)dy=\sum _{n=0}^{\infty }(w/2)^{n}S(2^{n}x)}$

ご了承ください

${\displaystyle I_{w}(1)={\frac {1}{4(1-w)}}}$

この積分は、自己相似性の節で説明した二項モノイドの作用の下で、単位区間上でも自己相似である。ここで、表現は4次元であり、基底を持つ。単位区間上のgの作用は、可換図式である。${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}=\{1,x,x^{2},I_{w}(x)\}}$

${\displaystyle [g\cdot I_{w}](x)=I_{w}\left(g\cdot x\right)=I_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {w}{2}}I_{w}(x).}$

これから、4次元表現の 生成元をすぐに読み取ることができます。

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}\\0&0&0&{\frac {w}{2}}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&1&{\frac {1}{4(1-w)}}\\0&-1&-2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

繰り返し積分は 5、6、... 次元表現で変換されます。

させて

${\displaystyle N={\binom {n_{t}}{t}}+{\binom {n_{t-1}}{t-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{t}>n_{t-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.}$

クラスカル・カトナ関数を定義する

${\displaystyle \kappa _{t}(N)={n_{t} \choose t+1}+{n_{t-1} \choose t}+\dots +{n_{j} \choose j+1}.}$

クラスカル・カトーナの定理によれば、これはN t単体 の集合の面である( t − 1) 単体の最小数です。

tとN が無限大に近づくと、 （適切に正規化された）ブランマンジェ曲線に近づきます。 ${\displaystyle \kappa _{t}(N)-N}$

• カントール関数（悪魔の階段とも呼ばれる）
• ミンコフスキーの疑問符関数
• ワイエルシュトラス関数
• 二項変換

• ワイスタイン、エリック W.「ブラマンジェ関数」。マスワールド。
• 高木貞治 (1901)、「導関数なしの連続関数の簡単な例」、Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn.、1 : 176–177、doi :10.11429/subutsuhokoku1901.1.F176
• ブノワ・マンデルブロ、「折り目がなく川があるフラクタル風景」、ハインツ・オットー・ペイトゲン、ディートマー・ザウペ編『フラクタル画像の科学』、シュプリンガー・フェアラーク（1988年）243～260ページに掲載。
• リナス・ヴェプスタス、「周期倍加写像の対称性」、(2004)
• ドナルド・クヌース『The Art of Computer Programming』第 4a 巻。組み合わせアルゴリズム、パート 1。ISBN 0-201-03804-8。372 ～ 375 ページを参照。 

• Allaart, Pieter C.; Kawamura, Kiko (2011 年 10 月 11 日)、The Takagi function: a survey、arXiv : 1110.1691、Bibcode :2011arXiv1110.1691A
• ラガリアス、ジェフリー C. (2011 年 12 月 17 日)、高木関数とその特性、arXiv : 1112.4205、Bibcode :2011arXiv1112.4205L

• 高木エクスプローラー
• （高木関数のいくつかの性質）