動的平均場理論

自己無撞着条件は不純物グリーン関数を必要とする${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(\tau )}$局所格子グリーン関数と一致する${\displaystyle G_{ii}(\tau )=-\langle Tc_{i}(\tau )c_{i}^{\dagger }(0)\rangle }$:

${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=G_{ii}(i\omega _{n})=\sum _{k}{\frac {1}{i\omega _{n}+\mu -\epsilon (k)-\Sigma (k,i\omega _{n})}}=G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})}$

どこ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}$は格子自己エネルギーを表す。

DMFTの唯一の近似（アンダーソンモデルを解くために行える近似を除く）は、格子自己エネルギーの空間的ゆらぎを無視し、それを不純物自己エネルギーと等しくすることである。

${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{imp}(i\omega _{n})}$

この近似は、格子の配位数が無限大の極限、すなわち各サイトの隣接点の数が無限大の極限において厳密なものとなる。実際、格子の自己エネルギーの図式展開において、配位数が無限大の極限に入ると、局所的な図式のみが残ることを示すことができる。

したがって、古典的な平均場理論と同様に、DMFTは次元（つまり近傍の数）が増加するにつれて精度が向上すると考えられている。言い換えれば、低次元の場合、空間的なゆらぎによってDMFT近似の信頼性が低下する。

空間的なゆらぎも相転移の近傍で重要になる。ここで、DMFTと古典的な平均場理論は平均場臨界指数をもたらすが、相転移前の顕著な変化はDMFTの自己エネルギーには反映されない。

局所格子グリーン関数を求めるには、対応する不純物グリーン関数が求める局所格子グリーン関数と一致するような混成関数を決定する必要がある。この問題を解決する最も一般的な方法は、順方向再帰法を用いることである。すなわち、与えられたに対して、${\displaystyle U}$、${\displaystyle \mu }$温度${\displaystyle T}$:

1. 推測から始めましょう${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}$（通常、${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})=0}$）
2. DMFT近似を行う： ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$
3. 局所グリーン関数を計算する${\displaystyle G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})}$
4. 動的平均場を計算する${\displaystyle \Delta (i\omega )=i\omega _{n}+\mu -G_{\mathrm {loc} }^{-1}(i\omega _{n})-\Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$
5. 新しい不純物のグリーン関数に対するAIMを解く${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$自己エネルギーを抽出する：${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})-(G_{\mathrm {imp} })^{-1}(i\omega _{n})}$
6. 収束するまでステップ2に戻ります。${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }^{n}=G_{\mathrm {imp} }^{n+1}}$。

DMFTは、複数の軌道を持つハバードモデル、すなわち、電子間相互作用が次の形式であるモデルに拡張できます。${\displaystyle U_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }}$どこ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$異なる軌道を表す。密度汎関数理論（DFT+DMFT）^{[ 4 ] [ 8 ]}との組み合わせにより 、相関物質の現実的な計算が可能になる。^{[ 9 ]}

拡張DMFTは非局所相互作用に対する局所不純物自己エネルギーを生成し、それによってtJモデルなどのより一般的なモデルにDMFTを適用することが可能になります。

DMFT近似の精度を向上させるために、ハバードモデルを多サイト不純物（クラスター）問題にマッピングすることで、不純物の自己エネルギーに空間依存性を加えることができる。クラスターは低温では4～8サイト、高温では最大100サイトから構成される。

典型的な媒質動的クラスター近似（TMDCA）は、動的クラスター近似（DCA）に基づいて構築された、強相関多体システムの電子基底状態を得るための非摂動的なアプローチである。 ^{[ 10 ]}

DMFT を超える自己エネルギーの空間依存性、相転移近傍の長距離相関なども、解析的手法と数値的手法を組み合わせた DMFT の図式的拡張^{[ 11 ]}によって得ることができる。動的頂点近似^{[ 12 ]} およびデュアルフェルミオンアプローチ の出発点は、局所的な2 粒子頂点である。

DMFTは、非平衡輸​​送と光励起の研究に用いられてきた。^{[ 13 ]}ここで、非平衡状態におけるAIMのグリーン関数の信頼性の高い計算は、依然として大きな課題である。DMFTは、熱力学的に一定数の種を持つ群集の平均場ダイナミクスを記述するために、生態モデルにも適用されている。^{[ 14 ]}