選好順位付け組織化方法による濃縮評価

させて${\displaystyle A=\{a_{1},..,a_{n}\}}$n 個のアクションの集合とし、${\displaystyle F=\{f_{1},..,f_{q}\}}$は、q 個の基準からなる一貫性のある族である。一般性を失うことなく、これらの基準は最大化されなければならないと仮定する。

このような問題に関連する基本データは、以下の表に記述できます。${\displaystyle n\times q}$評価。各行は行動に対応し、各列は評価基準に対応します。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &f_{1}(\cdot )&f_{2}(\cdot )&\cdots &f_{j}(\cdot )&\cdots &f_{q}(\cdot )\\\hline a_{1}&f_{1}(a_{1})&f_{2}(a_{1})&\cdots &f_{j}(a_{1})&\cdots &f_{q}(a_{1})\\\hline a_{2}&f_{1}(a_{2})&f_{2}(a_{2})&\cdots &f_{j}(a_{2})&\cdots &f_{q}(a_{2})\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &.\cdots \\\hline a_{i}&f_{1}(a_{i})&f_{2}(a_{i})&\cdots &f_{j}(a_{i})&\cdots &f_{q}(a_{i})\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline a_{n}&f_{1}(a_{n})&f_{2}(a_{n})&\cdots &f_{j}(a_{n})&\cdots &f_{q}(a_{n})\\\hline \end{array}}}$

まず、各基準について、すべてのアクション間でペアワイズ比較を行います。

${\displaystyle d_{k}(a_{i},a_{j})=f_{k}(a_{i})-f_{k}(a_{j})}$

${\displaystyle d_{k}(a_{i},a_{j})}$基準に対する 2 つの行動の評価の差は${\displaystyle f_{k}}$もちろん、これらの違いは使用される測定尺度によって異なり、意思決定者にとって必ずしも容易に比較できるとは限りません。

その結果、差異を単一基準の選好度に変換するために、選好関数の概念が導入され、以下のように定義される。

${\displaystyle \pi _{k}(a_{i},a_{j})=P_{k}[d_{k}(a_{i},a_{j})]}$

どこ${\displaystyle P_{k}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$は、正の非減少選好関数であり、${\displaystyle P_{k}(0)=0}$オリジナルのPrometheeの定義では、6種類の異なる選好関数が提案されている。その中でも、線形単一基準選好関数は、量的基準に対して実際によく用いられる。

${\displaystyle P_{k}(x){\begin{cases}0,&{\text{if }}x\leq q_{k}\\{\frac {x-q_{k}}{p_{k}-q_{k}}},&{\text{if }}q_{k}<x\leq p_{k}\\1,&{\text{if }}x>p_{k}\end{cases}}}$

どこ$q_j$そして${\displaystyle p_{j}}$はそれぞれ無差別閾値と選好閾値です。これらのパラメータの意味は次のとおりです。差が無差別閾値より小さい場合、意思決定者はそれを無視できるとみなします。したがって、対応する単一基準選好度はゼロになります。差が選好閾値を超える場合、それは重要であるとみなされます。したがって、単一基準選好度は 1 (最大値) になります。差が 2 つの閾値の間にある場合、線形補間を使用して選好度の中間値が計算されます。

意思決定者が各基準に選好関数を関連付けると、すべての基準について、すべての行動ペア間の比較を行うことができます。その後、すべての行動ペアを全体的に比較するために、多基準選好度が計算されます。

${\displaystyle \pi (a,b)=\displaystyle \sum _{k=1}^{q}P_{k}(a,b)\cdot w_{k}}$

どこ${\displaystyle w_{k}}$基準の重みを表す${\displaystyle f_{k}}$と想定されるのは${\displaystyle w_{k}\geq 0}$そして${\displaystyle \sum _{k=1}^{q}w_{k}=1}$直接的な結果として、以下のことが言えます。

${\displaystyle \pi (a_{i},a_{j})\geq 0}$

${\displaystyle \pi (a_{i},a_{j})+\pi (a_{j},a_{i})\leq 1}$

すべてのアクションを他のすべてのアクションとの関係で位置づけるために、2つのスコアが計算されます。

$\displaystyle \phi ^{+}(a)={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{x\in A}\pi (a,x)}$

$\displaystyle \phi ^{-}(a)={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{x\in A}\pi (x,a)}$

正の選好の流れ${\displaystyle \phi ^{+}(a_{i})}$ 特定のアクションがどのように${\displaystyle a_{i}}$は、他のすべての行動よりも世界的に好まれ、一方、否定的な選好の流れは${\displaystyle \phi ^{-}(a_{i})}$ 特定のアクションがどのように${\displaystyle a_{i}}$他のすべてのアクションによってグローバルに好まれているアクション。理想的なアクションは、正の選好フローが1、負の選好フローが0となる。2つの選好フローは、アクションの集合に対して一般的に異なる2つの完全なランキングをもたらす。1つ目は、正のフロースコアの減少値に従ってアクションをランク付けすることによって得られる。2つ目は、負のフロースコアの増加値に従ってアクションをランク付けすることによって得られる。Promethee Iの部分ランキングは、これら2つのランキングの交差として定義される。結果として、アクションは${\displaystyle a_{i}}$他の行動と同じくらい良いでしょう${\displaystyle a_{j}}$もし${\displaystyle \phi ^{+}(a_{i})\geq \phi ^{+}(a_{j})}$そして$\displaystyle \phi ^{-}(a_{i})\leq \phi ^{-}(a_{j})$

正の選好フローと負の選好フローは、純選好フローに集約されます。

${\displaystyle \phi (a)=\phi ^{+}(a)-\phi ^{-}(a)}$

前述の公式の直接的な帰結は以下のとおりです。

${\displaystyle \phi (a_{i})\in [-1;1]}$

$\displaystyle \sum _{a_{i}\in A}\phi (a_{i})=0}$

Promethee IIの総合ランキングは、ネットフロースコアの値が高い順にアクションを並べることによって得られます。

多基準選好度の定義によれば、多基準純フローは以下のように分解できる。

${\displaystyle \phi (a_{i})=\displaystyle \sum _{k=1}^{q}\phi _{k}(a_{i}).w_{k}}$

どこ：

$\displaystyle \phi _{k}(a_{i})={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{a_{j}\in A}\{P_{k}(a_{i},a_{j})-P_{k}(a_{j},a_{i})\}}$。

単一基準の正味フローは、${\displaystyle \phi _{k}(a_{i})\in [-1;1]}$は、多基準ネットフローと同じ解釈を持つ。$\displaystyle \phi (a_{i})$しかし、単一の基準に限定される。${\displaystyle a_{i}}$ベクトルで特徴付けることができる${\displaystyle {\vec {\phi }}(a_{i})=[\phi _{1}(a_{i}),\ldots ,\phi _{k}(a_{i}),\phi _{q}(a_{i})]}$で${\displaystyle q}$次元空間。GAIA平面は、この空間内の一連のアクションに主成分分析を適用することによって得られる主平面である。

• いつもの

${\displaystyle P_{j}(d_{j})={\begin{cases}0&{\text{if }}d_{j}\leq 0\\[4pt]1&{\text{if }}d_{j}>0\end{cases}}}$

• U字型

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&|d_{j}|\leq q_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>q_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• V字型

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {|d_{j}|}{p_{j}}}&{\text{if}}&|d_{j}|\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• レベル

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&|d_{j}|\leq q_{j}\\\\{\frac {1}{2}}&{\text{if}}&q_{j}<|d_{j}|\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• リニア

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&|d_{j}|\leq q_{j}\\\\{\frac {|d_{j}|-q_{j}}{p_{j}-q_{j}}}&{\text{if}}&q_{j}<|d_{j}|\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• ガウス

${\displaystyle P_{j}(d_{j})=1-e^{-{\frac {d_{j}^{2}}{2s_{j}^{2}}}}}$

Promethee I は、行動の部分的な順位付けです。これは、肯定的および否定的な流れに基づいています。これには、選好、無差別性、および比較不可能性（部分的な事前順序）が含まれます。

Promethee IIは、行動の完全な順位付けです。これは多基準ネットフローに基づいており、選好と無差別（事前順序）を含みます。